高等數學 核心題源探析 GHGHGHGH LAULAULAULAU 第 1 頁 共 6 頁 第二章第二章導數與微分 正式稿 導數與微分 正式稿 一 導數的概念一 導數的概念 有關導數定義的命題 有關導數定義的命題 1 已知 1 fx 則 0 00 lim 2 x x f xxf xx 2 設 f x在 0 x可導 求 00 0 3 lim x f xxf xx x 3 設 1 2 1000 f xx xxx 求 0 f 4 設 f x的一階導數在xa 處連續 且 0 lim1 x fxa x 則 0 lim 1 2 x A f xxa Bfxa C fa D fa 在處的二階導數不存在 一定不存在 5 若 fxf x 在 0 內 0fx 且 0fx 則在 0 內有 A 0 0fxfx C 0 0fxfx D 0 0fxfx 函數 函數 f x點點 0 xx 處導數存在的充分必要條件 處導數存在的充分必要條件 00 fxfx 6 設 3 2 1 3 1 x x f x xx 則 f x在1x 處 A左導數存在 但右導數不存在 B左右導數都存在 C左右導數都不存在 D左導數不存在 但右導數存在 高等數學 核心題源探析 GHGHGHGH LAULAULAULAU 第 2 頁 共 6 頁 7 設 2 1 cos 0 0 x x f xx x g x x 其中 g x是有界函數 則 f x在0 x 處 A極限存在 B可導 C連續不可導 D極限存在 但不連續 8 設 3 ln 1 1 sin 0 1 cos 0 x x f xxx x x 則 f x在0 x 處 A極限不存在 B極限存在 但不連續 C連續但不可導 D可導 9 設 f x有連續的二階導數 且 0f a 則函數 sin f x xa xag x fa xa 在xa 處 A不連續 B連續 但 g a不存在 C g a存在 但 g x在xa 處不連續 D g x在連續 10 設 f x在0 x 處可導 1 F xf xx 則 0 0f 是 F x在0 x 處可導的 A必要但非充分條件 B既非充分條件又非必要條件 C充分必要條件 D充分條件但非必要條件 11 設 f x函數對任意x均滿足關系 1 fxaf x 且有 0 fb 其中 a b為非零常數 則 A f x在1x 處可導 且 1 fa B f x在1x 處可導 且 1 fb C f x在1x 處可導 且 1 fab D f x在1x 處不可導 高等數學 核心題源探析 GHGHGHGH LAULAULAULAU 第 3 頁 共 6 頁 12 設函數 2 sin 0 2 1 0ln3 2 ln33 x xx f xex xx 在 內連續 可導 14 確定常數 a b 使函數 2 1 1 axb x f x xx 處處求導 15 設 0 sin f xg xxx 1 其中 g x在 0 x處連續 證明 f x在 0 x處可導 16 討論函數 1 f xx x x 在可導性 17 設不恒為零的奇函數 f x在0 x 處可導 試說明0 x 為函數 f x x 的何種間斷點 導數的幾何意義 導數的幾何意義 切線問題切線問題 18 設 f x是可導函數 且 0 1 1 lim1 2 x ffx x 則曲線 yf x 在點 1 1 f處的切線斜率為 1A 2B 0C 1D 19 設周期函數 f x在 內可導 周期為 4 又 0 1 1 lim1 2 x ffx x 則曲線 yf x 在點 5 5 f處的處的切線斜率為 A 1 2 B0 C1 D2 20 設曲線 3 yxax 與曲線 2 ybxc 在點 1 0 處相切 其中 a b c為常數 則 A1 1abc C1 2 2abc B1 2 2abc D1 1acb 21 曲線arctanyx 在橫坐標為 1 的點處的切線方程是 法線方程是 22 設函數 yf x 由方程 2 cos1 x y exye 所確定 則曲線 yf x 在點 0 1 處的法線方程為 23 曲線 3 3 cos sin xt yt 上對應于點 6 t 處的切線方程是 24 曲線 2 3 1xt yt 在2t 處的切線方程為 25 曲線 sin2 cos t t xet yet 在點 0 1 處的法線方程為 高等數學 核心題源探析 GHGHGHGH LAULAULAULAU 第 4 頁 共 6 頁 26 試求經過原點且與曲線 9 5 x y x 相切的切線方程 27 求與直線910 xy 垂直的曲線 32 35yxx 的相切方程 二 求各類函數的導數二 求各類函數的導數 求復合函數的導數 求復合函數的導數 28 設 lim x x xt f tt xt 則 ft 29 設 1 tan 1 sin x ye x 則 y 30 2 2 11 ln 11 x y x 求 y 31 設 2 1 ln sin x y x 求 dy dx 32 設 221 cossinyx x 則 y 33 設 2 2222 ln 22 xa yxaxxa 求 y 34 設 2 32 x yxe 則 0 xy 35 設 1 ln 1 x y x 則 0 xy 36 設 log ln x f xx 求 fe 37 已知 32 32 x yf x 2 arctanfxx 則 0 x dy dx 38 設 cos cos2fxx 求 fx 求隱函數的導數 求隱函數的導數 39 設函數 yy x 由方程cos0 x y exy 確定 則 dy dx 40 設函數 yy x 由方程 222 sin 0 x xyexy 所確定 則 dy dx 41 設函數 yy x 由方程 22 sin x x yey 確定 求 dy dx 42 設函數 yy x 由方程 22 arctanln y xy x 求 y 43 設 yf x 是由方程設 33 sin360 xyxy 所確定的隱函數 求 0 x dy dx 43 設函數 yy x 由方程1 x y exy 所確定 求 0 y 高等數學 核心題源探析 GHGHGHGH LAULAULAULAU 第 5 頁 共 6 頁 44 設 yy x 是由sinln1 xe xy y 確定的隱函數 求的 0 0 yy值 求參數方程的導數 求參數方程的導數 45 設函數 yy x 由參數方程 32 ln 1 xtt ytt 所確定 則 2 2 d y dx 46 設 1 c c xe yce 求 2 2 d y dx 47 設 2 1 cos xt yt 則 2 2 d y dx 48 設函數 yy x 由參數方程 32 ln 1 xtt ytt 所確定 則 2 2 d y dx 49 設 yy x 是由方程組 2 323 sin10 y xtt ety 所確定的隱函數 求 2 0 2 t d y dx 50 設 sin2 sin tt xeye zt 求 dx dy dz dz 51 設 2 1 2 tt xeye 求 2 2 d y dx 52 設 xftytftf t 且 0ft 求 2 2 d y dx 53 設 3 1 t xf t yf e 其中f可導 且 0 0f 則 0 t dy dx 三 微分三 微分 微分的概念 微分的概念 54 設 f x可導 則當0 x 時 ydy 是x 的 A高階無窮小 B等階無窮小 C同階無窮小 D低階無窮小 55 若函數 yf x 滿足 0 1 2 fx 則當0 x 時 0 x xdy 是 A與x 等價的無窮小 B與x 同階非等價的無窮小 C比x 低階的無窮小 D比x 高階的無窮小 高等數學 核心題源探析 GHGHGHGH LAULAULAULAU 第 6 頁 共 6 頁 求各類函