用頻率估計(jì)概率 4 3 我們知道 拋擲一枚均勻硬幣 硬幣落地后 出現(xiàn) 正面朝上 的可能性和 反面朝上 的可能性是一樣的 即 正面朝上 的概率和 反面朝上 的概率都是 在實(shí)際擲硬幣時(shí) 會(huì)出現(xiàn)什么情況 若只拋一次說明不了什么問題 我們不妨多拋擲幾次試試 1 拋擲一枚均勻硬幣400次 每隔50次 分別記錄 正面朝上 和 反面朝上 的次數(shù) 匯總數(shù)據(jù)后 完成下表 2 根據(jù)上表的數(shù)據(jù) 在圖中畫折線統(tǒng)計(jì)圖表示 正面朝上 的頻率 3 在圖中 用紅筆畫出表示頻率為的直線 你發(fā)現(xiàn)了什么 4 下表是歷史上一些數(shù)學(xué)家所做的擲硬幣的試驗(yàn)數(shù)據(jù) 這些數(shù)據(jù)支持你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎 看來用頻率估計(jì)硬幣出現(xiàn) 正面朝上 的概率是合理的 上面的例子說明 通過大量重復(fù)試驗(yàn) 可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)該事件發(fā)生的概率 對(duì)于擲硬幣試驗(yàn) 它的所有可能結(jié)果只有兩個(gè) 而且出現(xiàn)兩種可能結(jié)果的可能性相等 而對(duì)于一般的隨機(jī)事件 當(dāng)試驗(yàn)所有的可能結(jié)果不是有限個(gè) 或者各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí) 就不能用4 2節(jié)的方法來求概率 頻率是否可以估計(jì)該隨機(jī)事件的概率呢 我們?cè)賮碜鲆粋€(gè)拋瓶蓋試驗(yàn) 在一塊平整地板上拋擲一個(gè)礦泉水瓶蓋 瓶蓋落地后有兩種可能情況 開口朝上 和 開口不朝上 由于瓶蓋頭重腳輕 上下不對(duì)稱 開口朝上 和 開口不朝上 的可能性一樣嗎 如果不一樣 出現(xiàn)哪種情況的可能性大一些 我們借助重復(fù)試驗(yàn)來解決這個(gè)問題 1 全班同學(xué)分成6組 每組同學(xué)依次拋擲瓶蓋80次 觀察瓶蓋著地時(shí)的情況 并根據(jù)全班試驗(yàn)結(jié)果填寫下表 2 根據(jù)上表中的數(shù)據(jù) 在圖中畫折線統(tǒng)計(jì)表示 開口朝上 的頻率 3 觀察 開口朝上 的頻率分布圖 隨著拋擲次數(shù)的增加 開口朝上 的頻率是如何變化的 4 該試驗(yàn)中 是 開口朝上 的可能性大還是 開口不朝上 的可能性大 研究隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件的基本方法就是重復(fù)地對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行觀察 在n次觀察中 如果某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生了m次 則在這n次觀察中這個(gè)事件發(fā)生的頻率為如果隨機(jī)事件發(fā)生的概率 即可能性 大 則它在多次的重復(fù)觀察中出現(xiàn)的次數(shù)就越多 因而其頻率就大 所以頻率在一定程度上也反映了隨機(jī)事件的可能性的大小 可以發(fā)現(xiàn) 在拋瓶蓋試驗(yàn)中 開口朝上 的頻率一般會(huì)隨著拋擲次數(shù)的增加 穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近 這個(gè)常數(shù)就是 開口朝上 發(fā)生的可能性 即事件 開口朝上 的概率 所以在大量重復(fù)試驗(yàn)中 如果事件A發(fā)生的頻率為 那么用作為事件A發(fā)生的概率的估計(jì)是合理的 在拋瓶蓋試驗(yàn)中 開口朝上 的頻率穩(wěn)定于哪一個(gè)數(shù)值 你能估計(jì)出瓶蓋 開口朝上 的概率嗎 需要指出的是 頻率和概率都是隨機(jī)事件可能性大小的定量的刻畫 但頻率與試驗(yàn)次數(shù)及具體的試驗(yàn)有關(guān) 因此頻率具有隨機(jī)性 而概率是刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值 是一個(gè)固定的量 不具有隨機(jī)性 因此 擲100次硬幣并不一定能得到 正面朝上 的頻率是和 反面朝上 的頻率是 瓷磚生產(chǎn)受燒制時(shí)間 溫度 材質(zhì)的影響 一塊磚坯放在爐中燒制 可能成為合格品 也可能成為次品或廢品 究竟發(fā)生哪種結(jié)果 在燒制前無法預(yù)知 所以這是一種隨機(jī)現(xiàn)象 而燒制的結(jié)果是 合格品 是一個(gè)隨機(jī)事件 這個(gè)事件的概率稱為 合格品率 由于燒制結(jié)果不是等可能的 我們常用 合格品 的頻率作為 合格品率 的估計(jì) 例 舉例 某瓷磚廠對(duì)最近出爐的一大批某型號(hào)瓷磚進(jìn)行質(zhì)量抽檢 結(jié)果如下 1 計(jì)算上表中合格品的各頻率 精確到0 001 2 估計(jì)這種瓷磚的合格品率 精確到0 01 3 若該工廠本月生產(chǎn)該型號(hào)瓷磚500000塊 試估計(jì)合格品數(shù) 0 960 0 950 0 957 0 963 0 962 0 962 0 963 0 961 0 962 2 觀察上表 可以發(fā)現(xiàn) 當(dāng)抽取的瓷磚數(shù)n 400時(shí) 合格品頻率穩(wěn)定在0 962的附近 所以我們可取p 0 96作為該型號(hào)瓷磚的合格品率的估計(jì) 0 960 0 950 0 957 0 963 0 962 0 962 0 963 0 961 0 962 3 500000 96 480000 塊 可以估計(jì)該型號(hào)合格品數(shù)為480000塊 如圖是一個(gè)能自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤 盤面被分成8個(gè)相同的扇形 顏色分為紅 黃 藍(lán)3種 轉(zhuǎn)盤的指針固定 讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動(dòng) 當(dāng)它停止后 記下指針指向的顏色 如此重復(fù)做50次 把結(jié)果記錄在下表中 1 試估計(jì)當(dāng)圓盤停下來時(shí) 指針指向黃色的概率是多少 2 如果自由轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤240次 那么指針指向黃色的次