1.比例分配問題 例題：一所學(xué)校一、二、三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)450人，三個年級的學(xué)生比例為2：3：4，問學(xué)生人數(shù)最多的年級有多少人？ A.100 B.150 C.200 D.250 答案為C。解答這種題，可以把總數(shù)看作包括了234=9份，其中人數(shù)最多的肯定是占4/9的三年級，所以答案是200人。 2.路程問題 例題：某人從甲地步行到乙地，走了全程的2/5之后，離中點還有2.5公里。問甲乙兩地距離多少公里？ A.15 B.25 C.35 D.45 答案為B。全程的中點即為全程的2.5/5處，離2/5處為0.5/5，這段路有2.5公里，因此很快可以算出全程為25公里。 3.工程問題 例題：一件工程，甲隊單獨做，15天完成；乙隊單獨做，10天完成。兩隊合作，幾天可以完成？ A.5天B.6天C.7.5天D.8天 答案為B。此題是一道工程問題。工程問題一般的數(shù)量關(guān)系及結(jié)構(gòu)是： 工作總量 _ =工作時間 工作效率 我們可以把全工程看作“1”，工作要N天完成推知其工作效率為1/N,兩組共同完成的工作效率為1/N11/N2,根據(jù)這個公式很快可以得到答案為6天。另外，工程問題還可以有許多變式，如水池灌水問題等等，都可以用這種思路來解題。 4.植樹問題 例題：若一米遠栽一棵樹，問在345米的道路上栽多少棵樹？ A.343 B.344 C.345 D.346 答案為D。這種題目要注意多分析實際情況，如本題要考慮到起點和終點兩處都要栽樹，所以答案為346。 數(shù)學(xué)運算（精彩！）1、某人連續(xù)打工24天，賺得190元（日工資10元，星期六做半天工，發(fā)半工資，星期日休息，無工資）。已知他打工是從1月下旬的某一天開始的，這個月的1號恰好是休息日。問：這人打工結(jié)束的那一天是2月幾號？分析解答：工作一星期共賺錢1055=55（元）， 190=5531025，所以24天恰是3個星期再加上星期四、星期五和星期六，由此我們可以知道打工開始這天是星期四。因為1月1日是星期日，所以1月22日也是星期日，1月下旬只有26號是星期四。從1月26號開始工作，第24天打工結(jié)束剛好是2月18日。2、李師傅加工一批零件，如果每天做50個，要比計劃晚8天完成；如果每天做60個，就可提前5天完成，這批零件共有多少個？每天做50個，到規(guī)定時間還剩50*8=400個。每天做60個，到規(guī)定時間還差60*5=300個。規(guī)定時間是：（50*8+60*5）/（60-50）=70天零件總數(shù)是：50*（70+8）=3900個。更多更精彩！請回復(fù)！3、三件運動衣上的號碼分別是1、2、3，甲、乙、丙三人各穿一件。現(xiàn)有25個小球。首先發(fā)給甲1個球，乙2個球，丙3個球。規(guī)定3人從余下的球中各取一次，其中穿1號衣的人取他手中球數(shù)的1倍，穿2號衣的人取他手中球數(shù)的3倍，穿3號衣的人取他手中球數(shù)的4倍，取走之后還剩下兩個球。那么，甲穿的運動衣的號碼是（ ）。 首先發(fā)出了1+2+3=6個球第二次又取出了25-6-2=17個球穿2號和3號球衣的人第二次取走的球都是3的倍數(shù)，穿1號球衣第二次取走的球不多于3，所以只能是2個，即是乙。甲丙二人第二次共取走17-2=15個。若甲穿3號球衣，丙穿2號球衣，兩人第二次只能取走3*3+1*4=13個，若甲穿2號球衣，丙穿3號球衣，兩人第二次取走1*3+3*4=15個。甲穿的是2號球衣。1.某校人數(shù)是一個三位數(shù)，平均每個班級36人，若將全校人數(shù)的百位數(shù)與十位數(shù)對調(diào)，則全校人數(shù)比實際少180人，那么原校人數(shù)最多可以達到多少人：A.900B.936C.972D.9902.27個小運動員在參加完比賽后，口渴難耐，去小店買飲料，飲料店搞促銷，憑三個空瓶可以再換一瓶，他們最少買多少瓶飲料才能保證一人一瓶？A.21B.23C.25D.273.甲乙丙丁四個數(shù)的和為43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，都相等，問這四個各是多少？A.141289B.161296C.1110814D.1412984.某企業(yè)發(fā)獎金是根據(jù)利潤提成的，利潤低于或等于10萬元時可提成10%；低于或等于20萬時，高于10萬元的部分按7.5%提成；高于20萬元時，高于20萬元的部分按5%提成。當利潤為40萬元時，應(yīng)發(fā)放獎金多少萬元？A.2B.2.75C.3D.4.55.甲、乙、丙三人現(xiàn)在年齡之得100歲。甲28歲時，乙是丙的2倍，乙20歲時，甲是丙的3倍。問三人現(xiàn)在的年齡各是多少歲？A.304624B.403822C.403624D.4238206.有一段木頭用一根繩子來量，繩子多出150公分，將繩子對折后量，又短了35公分。問這段木頭有多長？A.220B.250C.320D.3607.某商場1996年銷售的A品牌電腦按臺數(shù)統(tǒng)計，12月銷售了120臺。如按每月銷售平均增長20%計算，預(yù)計1997年3月份比1月份多銷售多少臺？A.57B.58C.60D.63.8.甲1天做的工作等于乙2天做的工作，等于丙3天做的工作。現(xiàn)有一工程，甲2天可完成。問乙與丙合作要多少天完成？A.12天B.5天C.2.4天D.10天9.一只木桶，上方有兩個注水管，單獨打開第一個，20分鐘可注滿木桶；單獨打開第二個，10分鐘可注滿木桶。若木桶底部有一個漏孔，水可以從孔中流出，一滿桶水用40分鐘流完。問當同時打開兩個注水管，水從漏孔中也同時流出時，木桶需經(jīng)過多長時間才能注滿水？A.8分鐘B.9分鐘C.10分鐘D.12分鐘10甲、乙、丙三人共賺錢48萬元。已知丙比甲少賺8萬元，乙比甲少賺4萬元，則甲、乙、丙賺錢的比是:A245B345C542D543答案及詳細解析1C。解析：根據(jù)能被36整除和百位十位對調(diào)后相差180兩個條件，用代入法可很快求得。2A。解析：代入法，購買21瓶可換回7瓶，顯然滿足。但本題有問題，如果計算本題，購買19平飲料即可。19瓶飲料可以換6瓶新的飲料，這六瓶又可以換得2瓶，一共得到19+6+2+1=28瓶。如果一定要說21時正確答案的話，那只能從口渴難耐四個字找原因了。只換一次，最少要購買21瓶。3D。解析：根據(jù)4個數(shù)的和為43、前三個數(shù)的關(guān)系，用帶入法很容易得到答案。4B。解析：由題意，提成為1010%+107.5%+205%=2.75萬元。5C。解析：根據(jù)題意，用代入法，易得答案。6A。解析：根據(jù)題意，繩子對折后剛好短了150+35=185公分，木頭長185+35=220公分。7D。解析：根據(jù)題意，1月份銷售1201.2=144臺，3月份銷售120=207臺。207-144=63臺。8C。解析：工程問題。甲兩天的工作，乙需要4天完成，每天完成；丙需要6天完成，每天完成。乙丙合作，每天完成+=，全部完成需要125=2.4天。9A。解析：工程問題。第一個注水管每分鐘注，第二個注水管每分鐘注，漏孔每分鐘漏，題設(shè)條件，每分鐘注水+-=，需要8分鐘注滿。10.【答案】D。解析：甲賺了（48+8+4）3=20萬元，乙為204=16萬元，丙為208=12萬元，則答案應(yīng)為20：16：12=5：4：3。某足球賽決賽，共有32個隊參加,他們先分成8個小組,決出16強,這16個隊按照確定的程序進行淘汰賽,最后決出冠、亞軍和第三第四名。共需要安排（）場比賽 ?A 48 B 51 C 58 D 64共有32個隊參加,他們先分成8個小組,決出16強每個組有4個小組，前兩名出現(xiàn)，有C426種6*848這是前面決出16強后面決出冠軍是16/2+8/2+4/2+2/2+18+4+2+1+11648+1664場嘿嘿，不知道對不對。對足球規(guī)則不是很懂在一次數(shù)學(xué)測驗中，老師只出了兩道題。結(jié)果全班有10個人全做對了，第一題有25人做對，第二題有18人做錯，那么兩道題都做錯的有多少人為chenfang解答問題，發(fā)個帖子 甲乙兩人分別從A，B兩地相向而行， 甲比乙早出發(fā)1小時，當甲行5千米時發(fā)現(xiàn) 小錢包遺忘立即回A地取小錢包，在A地泡妞15分鐘后繼續(xù)往B地，與乙在中點處相遇，已知甲的速度是4千米/小時，乙的速度是3千米/小時，求AB兩地間的距離？請列式并解答？（5/4）*2-1+0.25=1.75這個是乙比甲多走的時間(1.75+t)*3=t*4t=5.25所以路程為 （1.75+5.25）*3*2=425人的體重之和是423斤，他們的體重都是整數(shù)，并且各不相同，則體重最輕的人，最重可能重（ ）A、80斤 B、82斤 C、84斤 D、86斤5個80斤的，400，剩余23斤，分一下。從0 1 2 3 4 5 6 7中選，最輕只有選2了，如選3，則34567加起來超過23。所以82927 ,13 ,964 ,124 ,8125 ( ) A.9125 B.1124 C.1125 D.8125數(shù)學(xué)運算-還原問題“還原問題”怎樣思考?【典型問題】1. 某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，其結(jié)果等于6，則這個數(shù)是多少?解答：(66+6)6-6=1，這個數(shù)是1.2.有磚26塊，兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了。哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半。弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半。哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊，這時哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準備挑多少塊?解答：先算出最后各挑幾塊：(和差問題)哥哥是(26+2)2=14，弟弟是26-14=12，然后來還原：1. 哥哥還給弟弟5塊：哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17;2. 弟弟把搶走的一半還給哥哥：搶走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就應(yīng)該是9+9=18，弟弟是17-9=8;3. 哥哥把搶走的一半還給弟弟：那么弟弟原來就是8+8=16塊.3. 甲、乙、丙三人錢數(shù)各不相同，甲最多，他拿出一些錢給乙和丙，使乙和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果乙的錢最多;接著乙拿出一些錢給甲和丙，使甲和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果丙的錢最多;最后丙拿出一些錢給甲和乙，使甲和乙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果三人錢數(shù)一樣多了。如果他們?nèi)斯灿?1元，那么三人原來的錢分別是多少元?解答：三人最后一樣多，所以都是813=27元，然后我們開始還原：1. 甲和乙把錢還給丙：每人增加2倍，就應(yīng)該是原來的3倍，所以甲和乙都是273=9，丙是81-9-9=63;2. 甲和丙把錢還給乙：甲93=3，丙633=21，乙81-3-21=57;3. 最后是乙和丙把錢還給甲：乙573=19，丙213=7，甲81-19-7=55元.“和倍問題”怎樣思考?【典型問題】1. 四年級有4個班，不算甲班其余三個班的總?cè)藬?shù)是131人;不算丁班其余三個班的總?cè)藬?shù)是134人;乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問這四個班共有多少人?解答：用131+134=265，這是1個甲、丁和2個乙、丙的總和，因為乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，所以用265-1=264就剛好是3個乙、丙的和，2643=88，就是說乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以四個班的和是88+89=177人.2. 有四個數(shù)，其中每三個數(shù)的和分別是45，46，49，52，那么這四個數(shù)中最小的一個數(shù)是多少?解答：大家想想，我如果把4個數(shù)全加起來是什么?實際上是每個數(shù)都加了3遍!大家一定要記住這種思想!(45+46+49+52)3=64就是這四個數(shù)的和，題目要求最小的數(shù)，我就用64減去52(某三個數(shù)和最大的)就是最小的數(shù)，等于12.3. 在一個兩位數(shù)之間插入一個數(shù)字，就變成一個三位數(shù)。例如：在72中間插入數(shù)字6，就變成了762。有些兩位數(shù)中間插入數(shù)字后所得到的三位數(shù)是原來兩位數(shù)的9倍，求出所有這樣的兩位數(shù)。解答：對于這個題來說，首先要判斷個位是多少，這個數(shù)的個位乘以9以后的個位還等于原來的個位，說明個位只能是0或5!先看0，很快發(fā)現(xiàn)不行，因為209=180，309=270，409=360等等，不管是幾十乘以9，結(jié)果百位總比十位小，所以各位只能是5。略作計算，不難發(fā)現(xiàn)：15，25，35，45是滿足要求的數(shù)微軟招聘員工試題1. 有7克、2克砝碼各一個，天平一架，如何只用這些物品三次將140克的鹽分成50克、90克各一份?砝碼稱重是常見的數(shù)學(xué)問題。要使稱的次數(shù)最少需要講究方法技巧。經(jīng)過思考按下述步驟操作：(1)把2克重的砝 放在天平左端，分鹽于天平兩端直到平衡，此時，左端有鹽69克，右端有鹽71克。(2) 取下天平左端的2克砝碼換上7克重的砝碼， 端重(69+7)76克，右端仍重71克，從左端取出5克鹽后，天平兩端平衡，這時左端 余64克鹽。 在取下天平兩端物品。(3) 用剛才稱出的5克鹽當作砝碼，與2克、7克砝碼合成14克砝碼。從64克鹽 取出14克，恰好剩下50克鹽。則其余鹽的重量就是90克。2. 有兩個房間，其中一間房里有三盞燈，另一間房里有控制這三盞燈的開關(guān)。這兩間房是相對獨立、相對封閉的，沒有空 上的直接聯(lián)系;三盞燈與三個開關(guān)也沒有順序上的必然聯(lián)系。現(xiàn)在只允許你分別進入這兩個房間一次，然后判斷三盞燈分別是由哪個開關(guān)控制的對于這個問題，我們更多 慮的可能是燈與線之間怎樣連結(jié)及如何開關(guān)等，這樣就步入了解題的歧途。利用燈亮的發(fā)熱特性操作如下：(1) 先走進有開關(guān)的房間，將三個開關(guān)編號為A、B、C。(2) 將開關(guān)A打開數(shù)分鐘后關(guān)閉，再打開B。(3)立即進入有燈的房間，此時亮著的燈則由開關(guān)B控制。用手摸另外兩盞燈：發(fā)熱的由開關(guān)A控制，不熱的由開關(guān)C控制。3. U2合唱團趕往演唱會場，途中必需經(jīng)過一座橋，天色很暗，而他們只有一只手電筒。一次 時最多 以有兩人一起過橋，而過橋的時候必須持有手電筒，所以就得有人把手電筒帶來帶去，來回于橋的兩端。手電筒是不能用丟的方式來傳遞的。四個人的步行速度各不同，若兩人同行則以較慢者的速度為準。Bono需花1分鐘過橋，Edge需花2分鐘過橋，Adam需花5分鐘過橋，Larry需花10分鐘過橋，他們?nèi)绾卧?7 鐘內(nèi)過橋?此題屬于策略優(yōu)化問題。從題中我們知道，同行兩人的過橋時間應(yīng)該盡量接近，且來回傳遞電筒者應(yīng)盡量選用速度快的人。根據(jù)以上分析，作如下安排：(1) Bono和Edge兩人先行過橋后，Bono帶手電 回，共用時3分鐘。 2) Adam和Larry兩人同時過橋，Edge帶手電返回。共用時12分鐘。(3) Bono和Edge兩人再次過橋，用時2分鐘。至此，四人全部過橋，一共用時3+12+2=17(分鐘)。4. 有一列火車以每小時140千米的速度離開洛杉磯直奔紐約，同時，另一列火車以每小時160千米的速度從紐約開往洛杉磯。如果有一只鳥以每小時30千米的速度和兩列車同時啟動，從洛杉磯出發(fā)，碰到另一列車后返回，往返在兩列火車間，直到兩列火車相遇為止。已知洛杉磯到紐約的鐵路長4500千米，請問，這只小鳥飛行了多遠路程?小鳥在兩列火車之間往返飛行，思維也很容易隨著跑起來。如果我們試圖算出那些越來越短的路程，問題就會十分復(fù)雜。其實大可不必，因為這只小鳥一直在兩列火車間一刻不停地飛，所以，火車的相遇時間就是小鳥的飛行時間。這樣，小鳥的飛行路程為：304500(140+160)=450(千米)。5. 對一批編號為1-100，全部開關(guān)朝上(開)的燈進行以下操作：凡是1的倍數(shù)反方向撥一次開關(guān);2的倍數(shù) 方向又撥一次開關(guān);3的倍數(shù)反方向又撥一次開關(guān)問：最后為關(guān)熄狀態(tài)的燈的編 是哪些?若實際操作求解會相當繁瑣。我們知道，就某個亮著的燈而言，如果撥其開關(guān)的次數(shù)是奇數(shù)次，那么，結(jié)果它一定是關(guān)著的。根據(jù)題意可知，號碼為N的燈，撥開關(guān)的次數(shù)等于N的約數(shù)的個數(shù)，約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，則N一定是平方數(shù)。因為10=100，可知100以內(nèi)共有10個平方數(shù)，即，最后關(guān)熄狀態(tài)的燈共有10盞，編號為1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。6. 一個大院子里住了50戶人家，每家都養(yǎng)了一條狗。有一天他們接到通知說院子里有狗生病了，并要求所有主人在知道自家狗生病的當天應(yīng)立即把狗槍殺掉。所有主人和他們的狗都不得離開自家的房子，主人與主人之間也不準進行任何溝通，他們能看到其他49條狗，且能準確判斷是否生病，但看不到自家的狗。院中第一天、第二天都沒有槍聲，第三天傳出了一陣槍聲，問有多少條病狗被槍殺。這是一道邏輯推理趣題。分析如下：(1) 如果50條狗中只有1條病狗。比如說張家的狗有病，那么，張看到的另49條狗 是正常的，從而判斷自家的狗一定病了，張就會把自家的狗槍殺掉，但第1天沒有槍聲，說明病狗多于1條。(2 如果50條狗中只有2條病狗，比如說王家和李家的狗是病狗，那么，除了王和李以外，其余的人都看到了2條病狗，而王和李只能看到1條病狗和48條正常的狗，已經(jīng)知道病狗數(shù)量多于1，所以王和李可以判斷出自家的狗一定是病狗，按照規(guī)定應(yīng)該槍殺，但第2天沒有槍聲，說明病狗又多于2條。(3) 如果有4條或4條以上病狗，那么每個病狗的主人至少看到了3條病狗，由于病狗數(shù)量是不是3條無法確定，故每個人也就不能判斷自家的狗是否有病，第3天也就不會有槍聲，這與已知矛盾綜上可以判定，病狗的數(shù)量是3條三只船運貨西方傳入我國學(xué)校里的第一本算術(shù)教科書是美國人狄考文編的筆算數(shù)學(xué)，這本書中有這樣一道題：甲、乙、丙三艘船共運貨9400箱，甲船比乙船多運300箱，丙船比乙船少運200箱。求三艘船各運多少箱貨?這道題如果思路不對的話，就很難抓住解題的關(guān)鍵。事實上，它代表著一類廣泛的問題，其共同特點就是有兩個或兩個以上的未知量。思考時，一般先假設(shè)幾個未知量相等，或假定要求的一未知量是題里的某一已知量;然后按照題里的已知條件推算。所得結(jié)果常與題里對應(yīng)的已知量不符，再加以調(diào)整，即可得到正確的答案。因此，這道題就可以這樣來思考：根據(jù)已知甲船比乙船多運30O箱，假設(shè)甲船同乙船運的一樣多，那么甲船就要比原來少運300箱，結(jié)果三船運的總箱數(shù)就要減少300箱，變成(9400-300)箱。又根據(jù)丙船比乙船少運200箱，假設(shè)丙船也同乙船運的一樣多，那么丙船就要比原來多運200箱，結(jié)果三船總箱數(shù)就要增加200箱，變成(9400-300+200)箱。經(jīng)過這樣調(diào)整，三船運的總箱數(shù)為(9400-300+200)。根據(jù)假設(shè)可知，這正好是乙船所運箱數(shù)的3倍，從而可求出動船運的箱數(shù)。乙船運的箱數(shù)知道了，甲、丙兩船運的箱數(shù)馬上就可得到。巧算和與差一天，小明對一些小朋友說：“請你們隨意說出2個數(shù)來，我會一下子算出它們的和減去它們的差的結(jié)果來!”“真的嗎?”小光驚奇地問。“那當然，請出題吧!”小明自信地說。于是，小光寫出了兩道題：(348+256)-(348256)(7564+3125)-(7564-3125)小光剛寫完第2題，小明就立刻說出兩題的得數(shù)分別是512、6250。大家一起算，得的結(jié)果跟小明的一樣。小蘭想弄明白小明計算的奧秘，又說出下面4組數(shù)：47和23，400和278，120與80，16840與3020。結(jié)果小明總是很快就說出了答案。這時，小明問小蘭：“你找出規(guī)律了嗎?”“還沒找到。不過，我覺得關(guān)鍵在兩數(shù)中的較小數(shù)上。”小蘭回答。“對!你再研究一下得數(shù)跟較小數(shù)的關(guān)系就會明白!”“我知道了，得數(shù)是較小數(shù)的2倍!”小光興奮地說。小明給大家解釋：當我們從兩個數(shù)的和中減去這兩個數(shù)的差時，就是從兩個數(shù)的和中減去了較大數(shù)比較小數(shù)多的一部分，得到的結(jié)果是兩個較小數(shù)的和，也就是較小數(shù)的2倍。”“兩數(shù)之差”問題雞兔同籠中的總頭數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢?例7 買一些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張?解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.(680-840)(8+4)=30(張)，這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張.因此8分郵票有40+30=70(張).答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張.也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法.解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分.以“分”作為計算單位，此時郵票總值是420+860=560.比680少，因此還要增加郵票.為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是：(680-420-860)(4+8)=10(張).因此4分有20+10=30(張)，8分有60+10=70(張).例8 一項工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成?解：類似于例3，我們設(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法，晴天有(150-83)(10+8)= 7(天).雨天是7+3=10天，總共7+10=17(天).答：這項工程17天完成.請注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個.這說明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系.總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢?例9 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只?解一：假如再補上28只雞腳，也就是再有雞282=14(只)，雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳42=2(倍)，于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.兔的只數(shù)是：(100+282)(2+1)=38(只).雞是：100-38=62(只).答：雞62只，兔38只.當然也可以去掉兔284=7(只).兔的只數(shù)是(100-284)(2+1)+7=38(只).也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法.解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50(只).此時腳數(shù)之差是：450-250=100，比28多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了(雞數(shù)少了).為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只(千萬注意，不是2).因此要減少的兔數(shù)是：(100-28)(4+2)=12(只).兔只數(shù)是：50-12=38(只).另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”.例10 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字;七言絕句是四句詩，每句都是七個字.有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字數(shù)卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首.解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時字數(shù)相差1354+20=280(字).每首字數(shù)相差：74-54=8(字).因此，七言絕句有：28(28-20)=35(首).五言絕句有：35+13=48(首).答：五言絕句48首，七言絕句35首.解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字數(shù)分別是2023=460(字)，2810=280(字)，五言絕句的字數(shù)，反而多了：460-280=180(字).與題目中“少20字”相差：180+20=200(字).說明假設(shè)詩的首數(shù)少了.為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字數(shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加2008=25(首).五言絕句有23+25=48(首).七言絕句有10+25=35(首).在寫出“雞兔同籠”公式的時候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對于例7、例9和例10三個問題，當然也可以這樣假設(shè).現(xiàn)在來具體做一下，把列出的計算式子與“雞兔同籠”公式對照一下，就會發(fā)現(xiàn)非常有趣的事.例7，假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是(680-840)(8+4)=30(張).例9，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是(1004-28)(4+2)=62(只).例10，假設(shè)都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是(2013+20)(28-20)=35(首).首先，請讀者先弄明白上面三個算式的由來，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個算式只是有一處“-”成了“+”.其奧妙何在呢?當你進入初中，有了負數(shù)的概念，并會列二元一次方程組，就會明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事.例11有一輛貨車運輸2000只玻璃瓶，運費按到達時完好的瓶子數(shù)目計算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運費，還要每只賠償1元.結(jié)果得到運費379.6元，問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只?解：如果沒有破損，運費應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2(元).因此破損只數(shù)是(400-379.6)(1+0.2)=17(只).答：這次搬運中破損了17只玻璃瓶.請你想一想，這是“雞兔同籠”同一類型的問題嗎?例12 有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1題得5分，答錯(包含不答)1題倒扣1分;第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分?解一：如果小明第一次測驗24題全對，得524=120(分).那么第二次只做對30-24=6(題)得分是：86-2(15-6)=30(分). 兩次相差：120-30=90(分).比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得5+1=6(分)，而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16(分).(90-10)(6+10)=5(題).因此，第一次答對題數(shù)要比假設(shè)(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對：30-19=11(題).第一次得分：519-1(24- 9)=90.第二次得分：811-2(15-11)=80.答：第一次得90分，第二次得80分.解二：答對30題，也就是兩次共答錯24+15-30=9(題).第一次答錯一題，要從滿分中扣去5+1=6(分)，第二次答錯一題，要從滿分中扣去8+2=10(分).答錯題互換一下，兩次得分要相差6+10=16(分).如果答錯9題都是第一次，要從滿分中扣去69.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了69+10.因此，第二次答錯題數(shù)是：(69+10)(6+10)=4(題)第一次答錯 9-4=5(題).第一次得分 5(24-5)-15=90(分).第二次得分 8(15-4)-24=80(分).雞兔同籠問題“雞兔同籠”是一類有名的中國古算題.最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法-“假設(shè)法”來求解.因此很有必要學(xué)會它的解法和思路.例1 有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只?解：我們設(shè)想，每只雞都是“金雞獨立”，一只腳站著;而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是2442=122(只).在122這個數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88=34，有34只兔子.當然雞就有54只.答：有兔子34只，雞54只.上面的計算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù)2-總頭數(shù)=兔子數(shù).上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的.做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單!能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2，4又是2的2倍.可是，當其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時，“腳數(shù)”就不一定是4和2，上面的計算方法就行不通.因此，我們對這類問題給出一種一般解法.還說例1.如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有488只腳，比244只腳多了884-244=108(只).每只雞比兔子少(4-2)只腳，所以共有雞(884-244)(4-2)= 54(只).說明我們設(shè)想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式：雞數(shù)=(兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù))(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))當然，我們也可以設(shè)想88只都是“雞”，那么共有腳288=176(只)，比244只腳少了244-176=68(只).每只雞比每只兔子少(4-2)只腳，682=34(只).說明設(shè)想中的“雞”，有34只是兔子，也可以列出公式：兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞腳數(shù)總頭數(shù))(兔腳數(shù)-雞腳數(shù)).上面兩個公式不必都用，用其中一個算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個數(shù).假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為“假設(shè)法”.現(xiàn)在，拿一個具體問題來試試上面的公式.例2 紅鉛筆每支0.19元，藍鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元.問紅、藍鉛筆各買幾支?解：以“分”作為錢的單位.我們設(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個頭，280只腳.現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有：藍筆數(shù)=(1916-280)(19-11)=248=3(支).紅筆數(shù)=16-3=13(支).答：買了13支紅鉛筆和3支藍鉛筆.對于這類問題的計算，常常可以利用已知腳數(shù)的特殊性.例2中的“腳數(shù)”19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8(11+19)=240.比280少40.40(19-11)=5.就知道設(shè)想中的8只“雞”應(yīng)少5只，也就是“雞”(藍鉛筆)數(shù)是3.308比191