第八章 二 全微分在數值計算中的應用 應用 第三節 一元函數y f x 的微分 近似計算 估計誤差 機動目錄上頁下頁返回結束 本節內容 一 全微分的定義 全微分 一 全微分的定義 定義 如果函數z f x y 在定義域D的內點 x y 可表示成 其中A B不依賴于 x y 僅與x y有關 稱為函數 在點 x y 的全微分 記作 若函數在域D內各點都可微 則稱函數 f x y 在點 x y 可微 機動目錄上頁下頁返回結束 處全增量 則稱此函數在D內可微 2 偏導數連續 下面兩個定理給出了可微與偏導數的關系 1 函數可微 函數z f x y 在點 x y 可微 由微分定義 得 函數在該點連續 機動目錄上頁下頁返回結束 偏導數存在 函數可微 即 定理1 必要條件 若函數z f x y 在點 x y 可微 則該函數在該點偏導數 同樣可證 證 由全增量公式 必存在 且有 得到對x的偏增量 因此有 機動目錄上頁下頁返回結束 反例 函數 易知 但 因此 函數在點 0 0 不可微 注意 定理1的逆定理不成立 偏導數存在函數不一定可微 即 機動目錄上頁下頁返回結束 定理2 充分條件 證 若函數 的偏導數 則函數在該點可微分 機動目錄上頁下頁返回結束 所以函數 在點 可微 機動目錄上頁下頁返回結束 注意到 故有 推廣 類似可討論三元及三元以上函數的可微性問題 例如 三元函數 習慣上把自變量的增量用微分表示 記作 故有下述疊加原理 稱為偏微分 的全微分為 于是 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 計算函數 在點 2 1 處的全微分 解 例2 計算函數 的全微分 解 機動目錄上頁下頁返回結束 可知當 二 全微分在數值計算中的應用 1 近似計算 由全微分定義 較小時 及 有近似等式 機動目錄上頁下頁返回結束 可用于近似計算 誤差分析 可用于近似計算 半徑由20cm增大 解 已知 即受壓后圓柱體體積減少了 例3 有一圓柱體受壓后發生形變 到20 05cm 則 高度由100cm減少到99cm 體積的近似改變量 機動目錄上頁下頁返回結束 求此圓柱體 例4 計算 的近似值 解 設 則 取 則 機動目錄上頁下頁返回結束 分別表示x y z的絕對誤差界 2 誤差估計 利用 令 z的絕對誤差界約為 z的相對誤差界約為 機動目錄上頁下頁返回結束 則 特別注意 類似可以推廣到三元及三元以上的情形 乘除后的結果相對誤差變大很小的數不能做除數 機動目錄上頁下頁返回結束 例5 利用公式 求計算面積時的絕對誤差與相對誤差 解 故絕對誤差約為 又 所以S的相對誤差約為 計算三角形面積 現測得 機動目錄上頁下頁返回結束 例6 在直流電路中 測得電壓U 24伏 解 由歐姆定律可知 歐 所以R的相對誤差約為 0 3 0 5 R的絕對誤差約為 0 8 0 3 定律計算電阻R時產生的相對誤差和絕對誤差 相對誤差為 測得電流I 6安 相對誤差為0 5 0 032 歐 0 8 機動目錄上頁下頁返回結束 求用歐姆 內容小結 1 微分定義 2 重要關系 機動目錄上頁下頁返回結束 3 微分應用 近似計算 估計誤差 絕對誤差 相對誤差 機動目錄上頁下頁返回結束 思考與練習 1 P72題1 總習題八 函數 在 可微的充分條件是 的某鄰域內存在 時是無窮小量 時是無窮小量 2 選擇題 機動目錄上頁下頁返回結束 答案 也可寫作 當x 2 y 1 x 0 01 y 0 03時 z 0 02 dz 0 03 3 P73題7 機動目錄上頁下頁返回結束 4 設 解 利用輪換對稱性 可得 機動目錄上頁下頁返回結束 L P245例2 注意 x y z具有輪換對稱性 答案 作業P241 3 4 3 5 8 10 5 已知 第四節目錄上頁下頁返回結束 在點 0 0 可微 備用題 在點 0 0 連續且偏導數存在 續 證 1 因 故函數在點 0 0 連續 但偏導數在點 0 0 不連 機動目錄上頁下頁返回結束 證明函數 所以 同理 極限不存在 在點 0