19.1.1變量與函數 張三寨鎮第三初級中學：付巧貞 理解自變量的取值范圍和函數的意義,會求自變量的取值范圍,會根據自變量的取值范圍求函數的值. 在探究問題的過程中,體會從具體的事例中尋找常量和變量,判斷兩個變量之間是否滿足函數關系的過程. 通過列舉自己身邊的事例,體驗數學與生活的密切聯系,學會觀察與發現,激發同學們探究問題的興趣. 【重點】函數的概念和函數自變量的取值范圍.【難點】求函數自變量的取值范圍. 1.了解常量與變量的含義,能分清實例中的常量與變量.2.學會用含一個變量的代數式表示另一個變量. 經歷觀察、分析、思考等數學活動過程,發展合情推理,以提高分析問題和解決問題的能力. 引導學生探索實際問題中的數量關系,滲透事物是運動的,運動是有規律的辯證思想,培養學生對學習的興趣和積極參與數學活動的熱情. 【重點】認識變量、常量,會用式子表示變量間的關系.【難點】用含有一個變量的式子表示另一個變量. 【教師準備】教學中出示的教學插圖和例題.【學生準備】預習教材內容 一導入新課 當我們用數學的眼光來分析現實世界的各種現象時,會遇到各種各樣的量,如物體運動中的速度、時間和距離;圓的半徑、周長和圓周率;購買商品的數量、單價和總價;某城市一天中各時刻變化著的氣溫等.在某一個過程中,有些量固定不變,有些量不斷改變.為了更好地認識和了解這些變化現象中所隱含的變化規律,從本節課開始我們將學習這一部分知識.二新知構建 1.變量與常量的概念問題（1）:汽車以60 km/h的速度勻速行駛,行駛時間為t h.填寫表19-1,s的值隨t的值的變化而變化嗎?(出示教材表19-1)表19-1t/h12345s/km學生填表,并思考.1.根據題意填寫下表:t/h12345s/km2.在以上這個過程中,變化的量是.不變化的量是. 3.試用含t的式子表示s.教師引導學生交流:從題意中可以知道汽車是勻速行駛,那么它1 h行駛60 km,2 h行駛260 km,即120 km,3 h行駛360 km,即180 km,4 h行駛460 km,即240 km,5 h行駛560 km,即300 kmt/h12345s/km60120180240300因此其中行駛里程s與時間t是變化的量,速度60 km/h是不變的量.行駛里程s km與時間t h之間有關系:s=60t.s隨t的增大而增大. 問題（2）：電影票的售價為10元/張,第一場售出150張票,第二場售出205張票,第三場售出310張票,三場電影的票房收入各是多少元?設一場電影售出x張票,票房收入為y元,y的值隨x的值的變化而變化嗎?學生分析問題,并同桌交流.1.電影票的售價為10元/張,第一場售出150張票,則第一場電影的票房收入為元; 第二場售出205張票,則第二場電影的票房收入為元; 第三場售出310張票,則第三場電影的票房收入為元. 2.設一場電影售票x張,票房收入y元,則用含x的式子表示y為. 教師解析: 第一場電影的票房收入為15010=1500(元).第二場電影的票房收入為20510=2050(元).第三場電影的票房收入為31010=3100(元).用含x的式子表示y為y=10x,y隨x的增大而增大. 問題（3）:你見過水中漣漪嗎?如圖所示,圓形水波慢慢的擴大.在這一過程中,當圓的半徑r分別為10 cm,20 cm,30 cm時,圓的面積S分別為多少?S的值隨r的值的變化而變化嗎? 學生活動填表,并討論.(1)填表:半徑r(cm)102030圓面積S(cm2)(2) S與r之間滿足下列關系:S=. 教師解析:(1)半徑r(cm)102030圓面積S(cm2)31412562826(2) S=r2.圓的半徑越大,它的面積就越大. 問題（4）:用10 m長的繩子圍成一個矩形,當矩形的一邊長x分別為3 m,3.5 m,4 m,4.5 m時,它的鄰邊長y分別為多少?y的值隨x的值的變化而變化嗎?學生活動小組討論后,教師進行解析:因為矩形兩組對邊相等,所以它的一邊長與它的鄰邊長的和應是周長10 m的一半,即5 m.若矩形一邊長為3 m,則它的鄰邊長為5-3=2(m).若矩形一邊長為3.5 m,則它的鄰邊長為5-3.5=1.5(m).若矩形一邊長為4 m,則它的鄰邊長為5-4=1(m).若矩形一邊長為4.5 m,則它的鄰邊長為5-4.5=0.5(m).若矩形一邊長為x m,則它的鄰邊長為y=5-x(m),y隨x的增大而減小. 這些問題反映了不同事物的變化過程,涉及多個量,你能將這些問題中出現的量按照某種標準進行分類嗎?學生分組討論,交流自己的看法.按照有無變化,我們發現其中有些量(例如時間t,路程s;售出票數x,票房收入y)的值是變化的,有些量的值始終不變(例如速度60 km/h;電影票的單價10元),因此可分為兩類.師生共同總結出變量和常量的定義并板書.變量和常量的定義:在某個變化過程中,我們稱數值發生變化的量為變量;數值始終不變的量叫做常量. 2.問題講解在學習與生活中,經常要研究一些數量關系,先看下面的問題.問題(1):下圖是某地一天的氣溫變化圖象,任意給出這天中的某一時刻t,你能說出這一時刻的氣溫T嗎? 這一問題中涉及哪幾個量? 它們變化嗎?學生結合圖,說出每一時刻所對應的溫度值,教師進行確認. 問題(2):彈簧原長22 cm,彈簧掛上物體后會伸長,測得一彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質量x(kg)有如下關系:x/kg0123456y/cm2222.52323.52424.525在這個問題中變化的量是什么?不變化的量是什么?學生討論發現:彈簧的原長不變,為22 cm,彈簧伸長的長度隨著物體質量的變化而變化.因此,彈簧的總長=原長+伸長的長度.問題(3):你能舉出生活中類似的例子嗎?可以小組討論.學生討論、舉例,在上述實例的解決過程中,體會在一個變化過程中各個量的變化規律,進而發現有的量變化、有的量不變.教師引導學生概括:在上面的問題中,我們研究了一些數量關系,出現了各種各樣的量,有些量,它們始終保持不變,我們稱之為常量,而有些量,在某一變化過程中,可以取不同數值,我們稱之為變量. 知識拓展(1)常量與變量是相對而言的,是相對某個變化過程來說的,換句話說,在這個變化過程中是變量,而在另一個變化過程中有可能以常量身份出現.如s=vt中,若v=20,此式子為s=20t,可見s,t為變量,若t=10,此式子為s=10v,s,v為變量,變量與常量的身份可以相互轉化.(2)判斷一個量是常量還是變量關鍵是看這個量所在的變化過程中,該量的值是否發生變化.(3)常數也叫常量,如S=r2,其中常量是.3.例題講解 (補充) 若球體體積為V,半徑為R,則V=R3.其中變量是、,常量是. 解析根據變量和常量的概念進行求解,解題時注意是一個常量.答案:VR (補充) 寫出下列各問題中的關系式,并指出其中的常量與變量:(1)圓的周長C與半徑r的關系式;(2)火車以60千米/時的速度行駛,它駛過的路程s(千米)和所用時間t(小時)的關系式.解析先根據實際問題確定所給問題的關系式,再根據變量和常量的概念進行求解.解:(1)C=2r,2是常量,r,C是變量.(2)s=60t,60是常量,t,s是變量.三小結 1.確定事物變化中的變量與常量.變量和常量的定義:在某個變化過程中,我們稱數值發生變化的量為變量;數值始終不變的量叫做常量.2.嘗試運算尋求變量間存在的規律.3.利用學過的有關知識公式確定關系式.四課堂檢測 1.學校購買某種型號的鋼筆作為學生的獎品,鋼筆的價格是4元/支,則總金額y(元)與購買支數x(支)的關系式是,其中變量是,常量是. 解析:鋼筆的價格是4元/支,總金額y(元)與購買支數x(支)的關系式是y=4x,變量為x,y,常量為4.答案:y=4xx,y42.在圓的周長公式 C=2R 中,下列說法正確的是()A.,R是變量,2 是常量B. R是變量,C,2,是常量C.C是變量,2,R是常量D. C,R是變量,2,是常量解析:C=2R,變量為C,R,常量為2,. 故選D.3.分別指出下列各關系式中的變量與常量.(1)三角形的一邊長為5 cm,它的面積S(cm2)與這邊上的高h(cm)的關系式是S=h;(2)若直角三角形中的一個銳角的度數為(度),則另一個銳角(度)與(度)間的關系式是=90-.解:(1)S=h,變量為S,h,常量為.(2)=90- ,變量為,常量為-1,90.4.要畫一個面積為10 cm2的圓,圓的半徑應取多少?圓的面積為20 cm2呢?怎樣用含有圓面積S的式子表示圓半徑r?解:根據圓的面積公式S=r2 ,得r=,面積為10 cm2的圓半徑r=1.78(cm).面積為20 cm2的圓半徑r=2.52(cm).用圓面積S的式子表示圓半徑r的關系式為r=.五布置作業1.甲、乙兩地相距s千米,某人行完全程所用的時間t(小時)與他的速度v(千米/時)滿足vt=s,在這個變化過程中,下列判斷中錯誤的是()A.s是變量B.t是變量C.v是變量D.s是常量2.小軍用50元錢去買單價是8元的筆記本,則他剩余的錢Q(元)與他買這種筆記本的本數x之間的關系式是()A.Q=8x B.Q=8x-50C.Q=50-8xD.Q=8x+503.(2015臨