數列求和1 公式法2錯位相減3列項相消法4分組求和5倒敘相加法1. 求數列,的前項和. 2 已知，求的前n項和.3. 求數列a,2a2,3a3,4a4,nan, (a為常數)的前n項和。4. 求證：5. 求數列，的前n項和S6. 數列an：，求S2002.7. 求數5，55，555，555 的前n項和Sn8. 已知數列 是等差數列，且，求的值.9. 已知數列的通項公式為 求它的前n項的和.10. 在數列中， 證明數列是等差數列，并求出Sn的表達式.11. 數列為正數的等比數列，它的前n 項和為80，前2 n項和為6560，且前n項中數值最大的項為54. 求其首項a1及公比q.12. 已知數列 求.13. 設 為等差數列，Sn 為數列的前n 項和，已知S7 = 7, S15 = 75. 記Tn 為數列的前n 項和，求Tn .14. 求數列的前項和15. 已知：.求.16. 求和.17. ，求。18. 設數列an的前n項和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項公式。19. 已知數列：，求的值。20. 求和:21. 求數列的前項和：求數列的前項和。23. 求證：24. 求的值。25. 已知數列的通項公式，求它的前n項和.26. 已知數列的通項公式求它的前n項和.27. 求和：28. 已知數列29. 求和30. 解答下列問題：（I）設（1）求的反函數（2）若（3）若31. 設函數求和： 32. 已知數列的各項為正數，其前n項和，（I）求之間的關系式，并求的通項公式；（II）求證33.已知數列的各項分別為的前n項和.34已知數列滿足：的前n項和 .35設數列中， 中5的倍數的項依次記為 ，（I）求的值.（II）用k表示，并說明理由.（III）求和：36數列的前n項和為，且滿足（I）求與的關系式，并求的通項公式；（II）求和37將等差數列的所有項依次排列，并如下分組：（），（），（），其中第1組有1項，第2組有2項，第3組有4項，第n組有項，記Tn為第n組中各項的和，已知T3=-48，T4=0，（I）求數列的通項公式； （II）求數列Tn的通項公式；（III）設數列 Tn 的前n項和為Sn，求S8的值.38. 設數列是公差為，且首項為的等差數列，求和：39. （1）設是各項均不為零的（）項等差數列，且公差，若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列（i）當時，求的數值；（ii）求的所有可能值（2）求證：對于給定的正整數()，存在一個各項及公差均不為零的等差數列，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列40. 某企業進行技術改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ （取）41設數列an的前n項和為Sn，滿足，nN,且a1，a2+5，a3成等差數列（1） 求a1的值；（2） 求數列an的通項公式（3） 證明：對一切正整數n，有.42已知是等差數列，其前n項和為Sn，是等比數列，且，.（）求數列與的通項公式；（）記，證明（）.答案1. 設則兩式相減得.2. 解：由 由等比數列求和公式得 13. 解：若a=0, 則Sn=0若a=1,則Sn=1+2+3+n= 若a0且a1則Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nanaSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1= Sn= 當a=0時，此式也成立。Sn=解析：數列是由數列與對應項的積構成的，此類型的才適應錯位相減，（課本中的的等比數列前n項和公式就是用這種方法推導出來的），但要注意應按以上三種情況進行討論，最后再綜合成兩種情況。4. 證明： 設. 把式右邊倒轉過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 5. 解：=） Sn= = =6. 解：設S2002由可得 （找特殊性質項）S2002 （合并求和） 57. n解： 因為555=n所以 Sn=5+55+555+555 = = =解析：根據通項的特點，通項可以拆成兩項或三項的常見數列，然后再分別求和。另外：Sn=可以拆成：Sn=（1+2+3+n）+()8. 為等差數列，且1+17=5+13，. 由題設易知 =117.又為與的等差中項，.9. (裂項) 于是有 方程組兩邊相加，即得 10. 【證明】.化簡，得 Sn-1Sn= 2 Sn Sn-1兩邊同除以. Sn Sn-1，得 數列是以為首項，2為公差的等差數列. 11. 此數列為遞增等比數列. 故q 1. 依題設，有 ，得 代入，得 代入，得 代入，得 , 再代入，得a1 =2, 再代入，得 q = 3.12. 令 （裂項） 故有 =.13. 設等差數列的公差為d，則 ( I ) 解得代入（I）得 （II）數列是首項為 2，公差為的等差數列，14. 解： Sn= 15. 當為正奇數時，當為正偶數時，綜上知，注意按的奇偶性討論！16. 17. 解：因為 所以 18. 解：()當n1時，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1當n2時，x2a2xa20有一根為S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由題設(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0當n2時，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，下面用數學歸納法證明這個結論(i)n1時已知結論成立(ii)假設nk時結論成立，即Sk，當nk1時，由得Sk1，即Sk1，故nk1時結論也成立綜上，由(i)、(ii)可知Sn對所有正整數n都成立于是當n2時，anSnSn1，又n1時，a1，所以an的通項公式an，n1，2，3，19. 解： （找通項及特征） （設制分組） （裂項） （分組、裂項求和） 20. 解:原式=21. 解：設將其每一項拆開再重新組合得 當時， 當時，22. 解：設 將其每一項拆開再重新組合得 23. 證明： 設. 把式右邊倒轉過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 24. 解：設. 將式右邊反序得 （反序） 又 +得 （反序相加） 25. =26. 27. 注意：數列的第n項“n1”不是數列的通項公式，記這個數列為，其通項公式是28. 為等比數列，應運用錯位求和方法：29. 而運用反序求和方法是比較好的想法， ，+得30. （1）（2）是公差為9的等差數列，（3）31. 當n為偶數時=當n為奇數時32. （I），而，得的等差數列，（II）33.（1）（2）當 當時，1）當n為奇數時 2）當n為偶數時34當而，得35（I） （II）（III）36（I）（II）37（I）設的公差為d，則，解、得 （II）當時，在前n1組中共有項數為 第n組中的 （III）38. 解析：因為，。39. （1）當n=4時, 中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續三項成等比數列，則推出d=0。 若刪去，則，即化簡得，得若刪去，則，即化簡得，得綜上，得或。當n=5時, 中同樣不可能刪去，否則出現連續三項。若刪去，則，即化簡得，因為，所以不能刪去；當n6時，不存在這樣的等差數列。事實上，在數列中，由于不能刪去首項或末項，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個，則必有，這與矛盾。(或者說：當n6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續的三項)綜上所述，。（2）假設對于某個正整數n，存在一個公差為d的n項等差數列，其中（）為任意三項成等比數列，則，即，化簡得 （*）由知，與同時為0或同時不為0當與同時為0時，有與題設矛盾。故與同時不為0，所以由（*）得因為，且x、y、z為整數，所以上式右邊為有理數，從而為有理數。于是，對于任意的正整數，只要為無理數，相應的數列就是滿足題意要求的數列。例如n項數列1，滿足要求。40. 解析：甲方