活用構造策略 進入解題佳境例說各種構造法解決導數壓軸題古縣二中 林立飛摘 要：函數與導數是高考的重要考點，不等式的恒成立問題、函數的零點問題、函數的極值點問題，隨著課改的深入與高等數學背景有關的這些問題也在考試中頻繁出現，這就需要一線教師對這些題型的解題規律進行探究與歸納。 關鍵詞：函數；導數；命題；構造；參數；羅比達法則自從導數進入中學數學教材之后，給傳統的中學數學帶來了生機和活力，為中學數學研究提供了新的視角、新的方法和新的途徑，拓寬了高考的命題空間。應用導數知識，研究函數的單調性、零點，以及參數的取值范圍和證明不等式是近年高考數學考察重點和熱點。特別值得關注的是，近幾年的高考導數壓軸題，題型新穎別致、不落俗套，綜合了函數、不等式、數列、邏輯等知識。往往以含參問題為載體，同時也蘊含了數形結合、分類討論、構造等等數學思想方法，綜合考察學生的分析問題和解決問題的能力，而且試題難度、深度和廣度試題還在不斷變化。如何進行突破，是值得研究的課題。通過對大量高考題和模擬題的分析研究，筆者給出了各種構造方法，能夠化復雜為簡單，化抽象為具體，達到以不變應萬變的功效。本文所有例題，均只給出與本文相關的題目條件和方法。一、構造函數，柳岸花明又一村構造函數是解決抽象不等式的基本方法，根據題設的條件，并借助初等函數的導數公式和導數的基本運算法則，相應地構造出輔助函數. 通過進一步研究輔助函數的有關性質，給予巧妙的解答.在導數題中體會構造函數的數學價值。題型1：已知函數，R(I)討論函數的單調性；()當時，恒成立，求的取值范圍。(I)解（省略不談）。() 二、構造子區間，端點分析顯奇效某些含參導數問題，如果追求一味的分離參數，往往很難奏效，但是假如從端點分析入手，發現端點是臨界情況，那么可以對端點進行分析，找到解題突破口。題型2.：設函數，其中（1）討論單調性（2）確定的所有確定的值，使得在區間內恒成立。解：對于第二問：等價于令。由于，欲使得，成立，則在的端點右側，必存在子區間（范圍很小，下同），必須單調遞增，即在必須成立，由極限思想，所以，顯然是命題成立的必要條件。另一方面。可以證明，當，可得 恒成立。證明過程如下：令則=故在遞增，又，所以，即綜上，3、 構造直線，突破重圍建奇功圖像是函數最直觀的模型，有些代數式經變形后具備特定的幾何意義，這時候可以考慮分解出一次函數，利用直線與函數圖象相切，充分運用數形結合求解,深刻揭示數學問題的本質題型3：（2010全國卷理科壓軸題）設函數=( 1 ) 若當=時，求的單調遞增區間；（2）若當時，求的取值范圍。分析：（1）解略。( 2 ) 考慮第二問，因為當時，恒成立當時，由題意變形為，令，設（），則，所以在時單調遞增，從而，易知，由羅比達法則，作出函數 和圖象可知，只要，由羅比達法則，所以。解題思路總結：這里，選擇，沒有選擇，目的是使得參數出現在直線方程中。以導數為工具，研究曲線的單調性,分析變化趨勢,然后在同一坐標系中，作出曲線和直線，從直線與曲線的位置關系出發，一般觀察或者比較在端點處曲線的切線斜率的大小關系建立不等式，有時需要求極限值，甚至使用羅比達法則。四、構造不等式，撥開云霧見藍天：已知條件中涉及導數的含參不等式問題頻繁出現在各類考題中，格外引人關注，由于這類問題對思維的靈活性較高，常讓學生忘而生畏，這種題型結構復雜，常規方法很難奏效，那么需要我們對不等式的結構進行分析，找到解決的突破口。（2018廈門市質檢題）：已知函數（1） 若，函數極大值為，求實數的值；（2） 若對任意的，在上恒成立，求實數b取值范圍。解：（1）問略（2）當，成立，由于，利用放縮法只需即可，這時候構建不等式：， 可用構造法先證明之，令，所以從而又只需要：，經過觀察再構建不等式，可用構造法證明，令，所以，從而只要，因此此種方法對于一些既含有指數函數，又含有對數函數的題目比較實用，通過化簡將二者進行分離，對于后面求解最值可降低難度.但此種方法需要進行合適的變形，這時需要讀者多嘗試幾種變形.總之，導數及其應用是高中數學的重要內容，是進一步學習高等數學的重要基礎.函數與導數綜合題其所含知識往往涉及函數、導數、方程、不等式等眾多高中數學主干知識,在高考試卷上，它是以壓軸題的形式呈現的.由于其信息量、思維量、運算量都比較大，解題方法往往有很強的綜合性和靈活性。需要具備較高的數學分析、解決問題的能力.由以上各例可以看出，上述幾種方法不是相互排斥的，而是相輔相成的.在具體問題中，往往是幾種方法互相配合