勾股定理 人教版八年級 下 第十八章 a勾 b股 c弦 這是2002年國際數(shù)學家大會會徽的圖案 活動1 你見過這個圖案嗎 你聽說過勾股定理嗎 這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解 周髀算經(jīng) 時給出的 人們稱之為 趙爽弦圖 能做出來嗎 勾廣三 股修四 弦隅五 在我國古代 人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾 長的直角邊叫做股 斜邊叫做弦 a勾 b股 c弦 趙爽弦圖 是對勾股定理的圖形證明 表現(xiàn)了我國古代人對數(shù)學的鉆研精神和聰明睿智 它是我國古代數(shù)學的驕傲 因此 這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會的會徽 在西方 一般認為這個定理是畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的 所以人們稱這個定理為畢達哥拉斯定理 相傳2500年前 畢達哥拉斯有一次在朋友家里做客時 發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系 我們也來觀察右圖中的地面 看看有什么發(fā)現(xiàn) 活動2 探索勾股定理 A B C的面積有什么關(guān)系 SA SB SC 等腰直角三角形三邊有什么關(guān)系 兩直邊的平方和等于斜邊的平方 對于等腰直角三角形有這樣的性質(zhì) 兩直邊的平方和等于斜邊的平方 那么對于一般的直角三角形是否也有這樣的性質(zhì)呢 請大家畫一個任意的直角三角形 量一量 算一算 猜想 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a b 斜邊長為c 那么a2 b2 c2 1 觀察右邊兩個圖并填寫下表 16 9 25 4 9 13 2 觀察右邊兩個圖并填寫下表 16 9 25 4 9 13 3 三個正方形A B C面積之間有什么關(guān)系 SA SB SC 即 兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積 圖1 1 正方形的面積怎樣求 4 你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎 與同伴交流 圖1 1 a c b c b a b c a 是不是所有的直角三角形都具有這樣的特點呢 這就需要我們對一般的直角三角形進行證明 到目前為止 對這個命題的證明方法已有幾百種之多 下面我們就來看一看我國數(shù)學家趙爽是怎樣證明這個命題的 結(jié)論 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a b 斜邊長為c 那么 a2 b2 c2 看左邊的圖案 這個圖案是公元3世紀我國漢代的趙爽在注解 周髀算經(jīng) 時給出的 人們稱它為 趙爽弦圖 趙爽根據(jù)此圖指出 四個全等的直角三角形 紅色 可以如圖圍成一個大正方形 中間的部分是一個小正方形 黃色 趙爽弦圖的證法 疊合法 化簡得 c2 a2 b2 c c c S大正方形S小正方形4S直角三角形 c2 b a 2 4 ab 勾股定理的證法 補拼法 a2 b2 c2 a b 2 c2 4 ab 茄菲爾德的證法 3 S三角形1S三角形2S三角形3 S梯形 化簡得 c2 a2 b2 定理 經(jīng)過證明被確認為正確的命題叫做定理 勾股定理 如果直角三角形的兩直角邊長分別為 斜邊為 那么 2 b2 c2 如圖 在Rt ABC中 C 90 則 2 b2 c2 常用的勾股數(shù) 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 勾股定理 如果直角三角形的兩直角邊長分別為 斜邊為 那么 2 b2 c2 勾股定理的作用 在直角三角形中 1 已知兩邊求第三邊2 已知一邊和另兩邊的關(guān)系求兩邊3 已知一邊和一角求兩邊 勾股定理的各種表達式 在RT ABC中 C 90 A B C的對邊分別為a b c 則 c2 a2 b2a2 c2 b2b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 c a b a b c A 169 1 求下圖字母A B所代表的正方形的面積 B 225 勾股定理的應(yīng)用 2 在RT ABC中 C 90 若a 4 b 3 則c 若c 13 b 5 則a 若c 17 a 8 則b 5 12 15 3 在Rt ABC中 C 90 1 已知a b 6 求c 2 已知a 1 c 3 求b 5 已知a b 3 4 c 25 求a和b 6 已知a c 5 13 b 24 求a和c 3 在Rt ABC中 C 90 1 已知a b 6 求c 2 已知a 1 c 3 求b 解 3 在Rt ABC中 C 90 解 3 在Rt ABC中 C 90 5 已知a b 3 4 c 25 求a和b 6 已知a c 5 13 b 24 求a和c 解 設(shè)a 3x b 4x 1 1 直角 ABC的兩直角邊長分別是3和4 求第三邊長 2 直角 ABC的兩邊長分別是8和10 求第三邊長 解 若8和10都為直角邊時 若8為直角邊 10為斜邊時 所以第三邊的長度是 2 等邊三角形的邊長為12 則它的高為 3 直角三角形兩直角邊分別為5厘米 12厘米 那么斜邊上的高是 A 6厘米B 8