1 第九章剛體的平面運動 2 9 1剛體平面運動的概述 9 2平面運動分解為平動和轉動 剛體的平面運動方程 9 3平面圖形內各點的速度 9 4平面圖形內各點的加速度 加速度瞬心的概念習題課 第九章剛體的平面運動 3 剛體的平面運動是工程上常見的一種運動 這是一種較為復雜的運動 對它的研究可以在研究剛體的平動和定軸轉動的基礎上 通過運動合成和分解的方法 將平面運動分解為上述兩種基本運動 然后應用合成運動的理論 推導出平面運動剛體上一點的速度和加速度的計算公式 運動學 9 1剛體平面運動的概述 一 平面運動的定義在運動過程中 剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變 也就是說 剛體上任一點都在與該固定平面平行的某一平面內運動 具有這種特點的運動稱為剛體的平面運動 4 例如 曲柄連桿機構中連桿AB的運動 A點作圓周運動 B點作直線運動 因此 AB桿的運動既不是平動也不是定軸轉動 而是平面運動 運動學 5 運動學 請看動畫 6 運動學 二 平面運動的簡化剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內的運動 即在研究平面運動時 不需考慮剛體的形狀和尺寸 只需研究平面圖形的運動 確定平面圖形上各點的速度和加速度 7 9 2平面運動分解為平動和轉動 剛體的平面運動方程 運動學 一 平面運動方程為了確定代表平面運動剛體的平面圖形的位置 我們只需確定平面圖形內任意一條線段的位置 任意線段AB的位置可用A點的坐標和AB與x軸夾角表示 因此圖形S的位置決定于三個獨立的參變量 所以 8 二 平面運動分解為平動和轉動當圖形 上 點不動時 x y坐標已定 則剛體作定軸轉動當圖形 上 角不變時 x y坐標已定 則剛體作平動 故剛體平面運動可以看成是平動和轉動的合成運動 運動學 9 運動學 例如車輪的運動 車輪的平面運動可以看成是車輪隨同車廂的平動和相對車廂的轉動的合成 車輪對于靜系的平面運動 絕對運動 車廂 動系Ax y 相對靜系的平動 牽連運動 車輪相對車廂 動系Ax y 的轉動 相對運動 10 運動學 我們稱動系上的原點 為基點 于是 車輪的平面運動 隨基點A的平動 繞基點A 的轉動 剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉動 11 運動學 再例如 平面圖形 在 時間內從位置I運動到位置II 1 以A為基點 隨基點A平動到A B 后 繞基點轉角到A B 2 以B為基點 隨基點B平動到A B 后 繞基點轉角到A B 圖中看出 AB A B A B 于是有 12 運動學 所以 平面運動隨基點平動的運動規律與基點的選擇有關 而繞基點轉動的規律與基點選取無關 即在同一瞬間 圖形繞任一基點轉動的 都是相同的 基點的選取是任意的 通常選取運動情況已知的點作為基點 13 運動學 曲柄連桿機構 AB桿作平面運動平面運動的分解 請看動畫 14 9 3平面圖形內各點的速度 運動學 一 基點法 合成法 取B為動點 則B點的運動可視為牽連運動為平動和相對運動為圓周運動的合成 已知 圖形S內一點A的速度 圖形角速度 求 指向與 轉向一致 取A為基點 將動系固結于A點 動系作平動 15 由于A B點是任意的 因此表示了圖形上任意兩點速度間的關系 由于恒有 因此將上式在AB上投影 有 速度投影定理 即平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影彼此相等 這種求解速度的方法稱為速度投影法 運動學 即平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉動的速度的矢量和 這種求解速度的方法稱為基點法 也稱為合成法 它是求解平面圖形內一點速度的基本方法 二 速度投影法 16 三 瞬時速度中心法 速度瞬心法 1 問題的提出若選取速度為零的點作為基點 求解速度問題的計算會大大簡化 于是 自然會提出 在某一瞬時圖形是否有一點速度等于零 如果存在的話 該點如何確定 運動學 速度瞬心的概念平面圖形S 某瞬時其上一點A速度 圖形角速度 沿方向取半直線AL 然后順 的轉向轉90o至AL 的位置 在AL 上取長度則 17 即在某一瞬時必唯一存在一點速度等于零 該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心 簡稱速度瞬心 運動學 幾種確定速度瞬心位置的方法 已知圖形上一點的速度和圖形角速度 可以確定速度瞬心的位置 P點 且 在順 轉向繞A點轉90 的方向一側 已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動 則圖形與固定面的接觸點P為速度瞬心 18 運動學 已知某瞬間平面圖形上A B兩點速度的方向 且過A B兩點分別作速度的垂線 交點P即為該瞬間的速度瞬心 19 運動學 另 對 種 a 的情況 若vA vB 則也是瞬時平動 已知某瞬時圖形上A B兩點的速度方向相同 且不與AB連線垂直 此時 圖形的瞬心在無窮遠處 圖形的角速度 0 圖形上各點速度相等 這種情況稱為瞬時平動 此時各點的加速度不相等 20 例如 曲柄連桿機構在圖示位置時 連桿BC作瞬時平動 此時連桿BC的圖形角速度 BC桿上各點的速度都相等 但各點的加速度并不相等 設勻 則 而的方向沿AC的 瞬時平動與平動不同 運動學 21 速度瞬心法利用速度瞬心求解平面圖形上點的速度的方法 稱為速度瞬心法 平面圖形在任一瞬時的運動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉動 速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉動中心 若P點為速度瞬心 則任意一點A的速度方向 AP 指向與 一致 運動學 注意的問題 速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的 而是隨時間不斷變化的 在任一瞬時是唯一存在的 速度瞬心處的速度為零 加速度不一定為零 不同于定軸轉動 剛體作瞬時平動時 雖然各點的速度相同 但各點的加速度是不一定相同的 不同于剛體作平動 22 解 機構中 OA作定軸轉動 AB作平面運動 滑塊B作平動 基點法 合成法 研究AB 以A為基點 且方向如圖示 運動學 例1 已知 曲柄連桿機構OA AB l 取柄OA以勻 轉動 求 當 45 時 滑塊B的速度及AB桿的角速度 23 試比較上述三種方法的特點 運動學 根據速度投影定理 不能求出 速度投影法研究AB 方向 OA 方向沿BO直線 速度瞬心法研究AB 已知的方向 因此可確定出P點為速度瞬心 24 9 4平面圖形內各點的加速度加速度瞬心的概念 取A為基點 將平動坐標系固結于A點取B動點 則B點的運動分解為相對運動為圓周運動和牽連運動為平動 于是 由牽連平動時加速度合成定理可得如下公式 運動學 一 基點法 合成法 已知 圖形S內一點A的加速度和圖形的 某一瞬時 求 該瞬時圖形上任一點B的加速度 25 其中 方向 AB 指向與 一致 方向沿AB 指向A點 運動學 即平面圖形內任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉動的切向加速度和法向加速度的矢量和 這種求解加速度的方法稱為基點法 也稱為合成法 是求解平面圖形內一點加速度的基本方法 上述公式是一平面矢量方程 需知其中六個要素 方能求出其余兩個 由于方位總是已知 所以在使用該公式中 只要再知道四個要素 即可解出問題的待求量 26 二 加速度瞬心 由于的大小和方向隨B點的不同而不同 所以總可以在圖形內找到一點Q 在此瞬時 相對加速度大小恰與基點A的加速度等值反向 其絕對加速度Q點就稱為圖形在該瞬時的加速度瞬心 運動學 27 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定 且一般情況下又不存在類似于速度投影定理的關系式 故常采用基點法求圖形上各點的加速度或圖形角加速度 分析 大小 w2方向 故應先求出 運動學 例1 半徑為R的車輪沿直線作純滾動 已知輪心O點的速度及加速度 求車輪與軌道接觸點P的加速度 解 輪O作平面運動 P為速度瞬心 28 由于此式在任何瞬時都成立 且O點作直線運動 故而 由此看出 速度瞬心P的加速度并不等于零 即它不是加速度瞬心 當車輪沿固定的直線軌道作純滾動時 其速度瞬心P的加速度指向輪心 運動學 以O為基點 有其中 做出加速度矢量圖 由圖中看出 與等值反向 即 29 解 a AB作平動 運動學 例2 已知O1A O2B 圖示瞬時O1A O2B試問 a b 兩種情況下 1和 2 1和 2是否相等 a b 30 b AB作平面運動 圖示瞬時作瞬時平動 此時 運動學 31 運動學 例3 曲柄滾輪機構滾子半徑R 15cm n 60rpm求 當 60 時 OA AB 滾輪的 翻頁請看動畫 32 請看動畫 33 解 OA定軸轉動 AB桿和輪B作平面運動研究AB P 為其速度瞬心 運動學 分析 要想求出滾輪的 先要求出vB aB P1 P2為輪速度瞬心 34 運動學 取A為基點 指向O點 大小 方向 作加速度矢量圖 將上式向BA線上投影 35 第九章剛體平面運動習題課 一 概念與內容1 剛體平面運動的定義剛體運動時 其上任一點到某固定平面的距離保持不變 2 剛體平面運動的簡化可以用剛體上一個與固定平面平行的平面圖形S在自身平面內的運動代替剛體的整體運動 3 剛體平面運動的分解分解為4 基點可以選擇平面圖形內任意一點 通常是運動狀態已知的點 運動學 36 運動學 6 剛體定軸轉動和平面平動是剛體平面運動的特例 7 求平面圖形上任一點速度的方法 基點法 速度投影法 速度瞬心法 其中 基點法是最基本的公式 瞬心法是基點法的特例 37 8 求平面圖形上一點加速度的方法基點法 A為基點 是最常用的方法此外 當 0 瞬時平動時也可采用方法它是基點法在 0時的特例 運動學 9 平面運動方法與合成運動方法的應用條件 平面運動方法用于研究一個平面運動剛體上任意兩點的速度 加速度之間的關系及任意一點的速度 加速度與圖形角速度 角加速度之間的關系 合成運動方法常用來確定兩個相接觸的物體在接觸點處有相對滑動時的運動關系的傳遞 38 二 解題步驟和要點1 根據題意和剛體各種運動的定義 判斷機構中各剛體的運動形式 注意每一次的研究對象只是一個剛體 2 對作平面運動的剛體 根據已知條件和待求量 選擇求解速度 圖形角速度 問題的方法 用基點法求加速度 圖形角加速度 3 作速度分析和加速度分析 求出待求量 基點法 恰當選取基點 作速度平行四邊形 加速度矢量圖 速度投影法 不能求出圖形 速度瞬心法 確定瞬心的位置是關鍵 運動學 39 例1 曲柄肘桿壓床機構已知 OA 0 15m n 300rpm AB 0 76m BC BD 0 53m 圖示位置時 AB水平求該位置時的 及 運動學 翻頁請看動畫 40 請看動畫 41 例1 曲柄肘桿壓床機構已知 OA 0 15m n 300rpm AB 0 76m BC BD 0 53m 圖示位置時 AB水平 求該位置時的 及 解 OA BC作定軸轉動 AB BD均作平面運動根據題意 研究AB P 為其速度瞬心 運動學 研究BD P2為其速度瞬心 BDP2為等邊三角形DP2 BP2 BD 42 例2 行星齒輪機構 運動學 請看動畫 43 解 OA定軸轉動 輪A作平面運動 瞬心P點 運動學 例2 行星齒輪機構已知 R r o輪A作純滾動 求 44 例3 平面機構中 楔塊M 30 v 12cm s 盤 r 4cm 與楔塊間無滑動 求圓盤的 及軸O的速度和B點速度 運動學 請看動畫 45 解 軸O 桿OC 楔塊M均作平動 圓盤作平面運動 P為速度瞬心 運動學 例3 平面機構中 楔塊M 30 v 12cm s 盤 r 4cm 與楔塊間無滑動 求圓盤的 及軸O的速度和B點速度 46 比較 例2 和 例3 可以看出 不能認為圓輪只滾不滑時 接觸點就是瞬心 只有在接觸面是固定面時 圓輪上接觸點才是速度瞬心 每個作平面運動的剛體在每一瞬時都有自己的速度瞬心和角速度 并且瞬心在剛體或其擴大部分上 不能認為瞬心在其他剛體上 例如 例1 中AB的瞬心在P1點 BD的瞬心在P2點 而且P1也不是CB桿上的點 運動學 47 運動學 例4 導槽滑塊機構 請看動畫 48 運動學 例4 導槽滑塊機構 已知 曲柄OA r 勻角速度 轉動 連桿AB的中點C處連接一滑塊C可沿導槽O1D滑動 AB l 圖示瞬時O A O1三點在同一水平線上 OA AB AO1C 30 求 該瞬時O1D的角速度 解 OA O1D均作定軸轉動 AB作平面運動 研究AB 圖示位置 作瞬時平動 所以 用合成運動方法求O1D桿上與滑塊C接觸的點的速度動點 AB桿上C 或滑塊C 動系 O1D桿 靜系 機架 49 運動學 絕對運動 曲線運動 方向 相對運動 直線運動 方向 O1D牽連運動 定軸轉動 方向 O1D 根據 作速度平行四邊形 這是一個需要聯合應用點的合成運動和剛體平面運動理論求解的綜合性問題 注意這類題的解法 再看下例 50 運動學 例5 平面機構 請看動畫 51 例5 平面機構圖示瞬時 O點在AB中點 60 BC AB 已知O C在同一水平線上 AB 20cm vA 16cm s 試求該瞬時AB桿 BC桿的角速度及滑塊C的速度 解 輪A 桿AB 桿BC均作平面運動 套筒O作定軸轉動 滑塊C平動 取套筒上O點為動點 動系固結于AB桿 靜系固結于機架 運動學 由于沿AB 所以方向沿AB并且與反向 從而確定了AB桿上與O點接觸點的速度方向 研究AB P1為速度瞬心 52 也可以用瞬心法求 BC和vC 很簡便 研究BC 以B為基點 根據作速度平行四邊形 運動學 53 解 OA定軸轉動 AB BC均作平面運動 滑塊B和C均作平動 求 對AB桿應用速度投影定理 對BC桿應用速度投影定理 運動學 例6 已知 配氣機構中 OA r 以等 o轉動 在某瞬時 60 AB BC AB 6r BC 求該瞬時滑塊C的速度和加速度 54 求 P1為AB桿速度瞬心 而 作加速度矢量圖 并沿BA方向投影 運動學 55 作加速度矢量圖 P2為BC的瞬心 而P2C 9r 再