學科：數學教學內容：四種命題（第二課時）【學習目標】1進一步掌握四種命題的關系2了解正難則反的邏輯思維形式3初步掌握反證法，明確其證明思路和語言格式【學習障礙】1在寫否命題時，對于關鍵詞的否定仍不夠熟練2在反證法中，有些同學往往反設不正確，以致整個題做錯3在反證法中，哪些題適用、如何找矛盾、與誰矛盾，仍是學生的一大難點【學習策略】學習導引1預習課本P32332本課時的重點是反證法；難點是用反證法證明命題本課時涉及的知識點有如下兩個：(1)反證法：從命題結論的反面出發，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫反證法(2)反證法證明命題的一般步驟如下：()假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；()從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；()由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確知識拓寬用邏輯知識解釋反證法：從邏輯角度看，命題：“若p則q”的否定是“若p則非q”，由此進行推理，如果發生矛盾，那么“p則非q”為假，因此可知“若p則q”為真，像這樣證明“若p則q”為真的證法叫反證法用反證法證明：若p則q時，可能出現以下三種情況：導出非p為真，即與原命題的條件矛盾導出q為真，即與假設非q為真矛盾導出一個恒假命題障礙分析1如何靈活掌握原命題與逆否命題的等價關系？對于常見關鍵詞的否定應熟悉(見上節表格)另外還應根據題設環境選擇到底用什么，如：“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”2如何使用反證法？準確地作出反設(即否定結論)是正確運用反證法的前提，否則推理論證就勞而無功現將一些常用的“結論的否定形式”舉例如下表：原結論詞反設詞原結論詞反設詞是不是至少一個沒有一個都是不都是至多有一個至少有兩個大于小于或等于至少有n個至多有n1個小于大于或等于至多有n個至少有n1個對所有x都成立存在某x不成立p或qp且q對任給x不成立存在某x成立p且qp或q例1用反證法證明：三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角思路：根據初中的知識，先寫出已知，求證，作出圖，然后否定所證結論，推出矛盾已知：如圖125：在ABC中，ACD是外角求證：ACDBAC證明：假設ACD不大于BAC即ACDBAC或ACDBAC若ACDBAC，則由BAC與ACD互為內錯角知：ABCD，即AB、CD不相交，與已知A、B、C是一個三角形的三個頂點相矛盾若ACDBAC，則在BC之間存在點B，使得BACACD，從ABC來看，又出現前面類似的矛盾所以假設不成立，即原命題成立點評：1ACDBAC的反設是ACDBAC而不是ACDBAC2如果結論的否定事項不止一個時，就必須將結論的所有否定情況逐一駁倒，才能肯定原命題成立，這種反證法叫窮舉法3哪些題適合用反證法？如何找矛盾？與誰矛盾？(1)一般，下列命題宜用反證法結論本身是以否定形式出現的；關于惟一性，存在性命題；有關結論是以“至多”或“至少”的形式出現的；結論的反面是比原結論更具體，更容易研究和掌握的命題(2)在反證法的第二步中，把反設作為條件，進行邏輯推理，得出矛盾，這里的“矛盾”可以是下列矛盾之一歸引到與已知矛盾；歸引到與假設矛盾；歸引到與已知定義、定理、公理相矛盾；歸引到證明過程中的自相矛盾；歸引到與作圖相矛盾例2若a，b，c均為實數，且ax22y，by22z，cz22x，求證：a，b，c中至少有一個不大于零思路：顯然由于條件不容易推出結論，可考慮用反證法，先正確地作出反設，即“a0，b0，c0”，再推出矛盾證明：假設a，b，c都不大于0，即：a0，b0，c0，則abc0而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)2330無論x，y，z為何實數，(x1)2(y1)2(z1)20abc0，與abc0矛盾a，b，c中至少有一個大于0點評：涉及至多，至少等問題時，往往考慮采用反證法在代數變形中，經常進行因式分解或配方由假設進行推理中，因選用的條件不同，得出的矛盾可能也就不同矛盾是在推理過程中產生的，而不是在推理之前設計或確定思維拓展例3已知：l1，l2，l是同一平面內的三條直線，l1是l的垂線，l2是l的斜線(如圖126)求證：l1和l2必相交思路：這是平面幾何中的一個起始命題，證明它時可以應用的定義，性質很少，也就是說直接法難以下手，但其結論的反面非常明顯，不妨用反證法證法一：假設l1和l2不相交，則l1l212，l2是l的斜線290，190l1與l的交角不是直角，與垂線l的定義矛盾l1與l2必相交證法二：假設l1和l2不相交，則l1l212，l2是l的斜線290，190l1是l的垂線190，與190自相矛盾l1與l2必相交證法三：假設l1和l2不相交，則l1l2，12l1l，190，290l2也是l的垂線，與l2是l的斜線矛盾l1與l2必相交證法四：假設l1和l2不相交，則l1l2，12l2是l的斜線290，190l1不是l的垂線這與已知條件l1是l的垂線矛盾l1與l2必相交點評：在反證法中，反設是惟一的，而最后推出的矛盾并不是惟一的，選用的條件不同，推出的矛盾也就不同，可見矛盾是在推理過程中發現的，而不是在推理之前就知道或預先設計的；在作出反設后，可把反設當成已知條件之一，和原有的條件合在一起，用它們的全部或部分進行邏輯推理，達到反證法的目的探究學習根據已有的證據，可以得到如下3個判斷：如果A無罪，則B與C都有罪；在B與C中必有一人無罪；要么A無罪，要么B有罪請問：A，B，C中究竟誰有罪？答案：A和B有罪，C無罪【同步達綱練習】一、選擇題1若p，q是兩個簡單命題，且“p或q”的否定是真命題，則必有Ap真q真Bp假q假Cp真q假Dp假q真2關于實數a，b，c以下敘述錯誤的是A命題“a，b都是零”的否定形式是“a，b都不是零”B命題“a，b至少有一個是零”的否定形式是“a，b都不是零”C命題“a，b，c至多兩個是零”的否定形式是“a，b，c都是零”D命題“a，b，c至少兩個是零”的否定形式是“a，b，c至多一個是零”3否定結論“至多有兩個解”的記法中，正確的是A有一解B有兩解C至少有三解D至少有兩解4用反證法證明命題“已知ABC與ABC有公共邊BC，且BACBAC，求證A在ABC的外部”時，反設正確的是A設點A在ABC的外部B設點A在ABC的邊上C設點A在ABC的內部D設點A在ABC的邊上或在ABC的內部二、填空題5若0x5，則x25的逆否命題是_6x1的否定形式為_，(x1)(x2)0的否定形式為_7用反證法證明命題“若aR，3a是無理數，則a是無理數”如下：假設a是有理數，根據有理數運算法則，3a是有理數，這與_矛盾，所以假設不成立，原命題正確三、解答題8已知a，b是實數，命題“若a2b20，則a0且b0”的否命題，逆否命題各是什么？9已知下列三個方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一個方程有實數根，求實數a的取值范圍參考答案【同步達綱練習】一、1A 提示：“或”的否定是“且”2A 提示：“都是”的否定是“不都是”而不是“都不是”3C 提示：“至多有n個”的否定是“至少有n1個”4D 提示：“外部”的反面是“內部或邊上”二、5填“若x25，則x5或x0”6x1的否定形式為：x1或x1(x1)(x2)0的否定：x10且x207與“3a是無理數”矛盾三、8解：命題“