相似三角形概念的教學設計澳門培道中學趙善君2009/07 相似三角形單元的知識要點包括: 概念、性質、判定、應用四個主要內容，其中概念的教學尤為重要，我們用一節課時進行學習。誰跟誰對應，誰跟誰相似是關鍵，也是學生的難點所在。我們不從定義出發，試從人類最初如何認識相似開始 - 返璞歸真，在PG_Lab平臺上進行探索，引導學生觀察 - 分析 - 思考，最後才歸納得到相似的數學定義。為了解決誰跟誰對應，誰跟誰相似的問題，我們還設計了一些形成性練習，為後續的解題作一些前期準備。一. 將相似三角形問題，放在動態圖形變換中考察人類最初認識全等不是從asa或sas來的，而是從複製而來的。同樣人類最初認識相似更不是從對應邊成比例而來，而是從縮放而來的。複製或縮放都是一種圖形變換，PG_Lab是一套動態演示圖形變換的好工具。我們用教師演示、學生討論的教學模式，將相似三角形問題，放在動態圖形變換中考察。序教師學生圖例說明11. 作出ABC2. 複製出ABC提問: 1. 這兩個有甚麼關係?2. 為甚麼 ?3. 全等 包含甚麼關係 ? 留心觀看全等可以重合形狀相同，大小相等學生目睹複製過程易知全等21. 將ABC放大提問: 1. 這時兩個關係如何?討論形狀相同，大小不等學生目睹放大過程易知形狀相同31. 引出概念: 我們把形狀相同，大小不等的兩個三角形叫做相似三角形。2. 把ABC旋轉一個角度問: 仍相似嗎 ? 為甚麼 ?記住仍相似形狀相同，大小不等學生目睹旋轉過程易知形狀不變(方位變了)註 在此獲得相似的概念 - 形狀相同，大小不等只是一種大概的意念，並不嚴格，須進一步深化。二. 對變換結果進行比較、分析、思考、歸納 - 進一步理解相似的概念複製或縮放都是一種圖形變換，細心觀察圖形變換的動態過程，對變換結果進行比較、分析、思考、歸納，找出變換前後甚麼變了，甚麼不變，從而得到相似圖形的特徵 - 進一步理解相似的概念。序教師學生圖例說明1作圖演示，要求學生:細心觀察多邊形縮放的過程，思考:1. 甚麼沒有變2. 甚麼變化了討論 - 不變的:1. 點、角、邊數不變2. 角的大小不變3. 點角邊的排序不變變化的:1. 邊長變了2. 面積變了在動態圖形變換過程中觀察、思考。2形狀相同有甚麼特徵 ?歸納:討論 -1. 點、角、邊數相同2. 對應角相等3. 對應點角邊排序相同何謂對應，有待深化。三. 引導學生對相似概念進行深化 - 給相似三角形一個嚴格的數學定義 概念 - 只是一種大概的意念，並非定義。數學上還需對概念深化 - 抽象化、嚴格化，形成數學定義。我們從兩方面進行深化，然後歸納出相似的數學定義: 1. 尋找對應點、角、邊的方法上面所提對應只是一帶而過，而後面的學習，學生的難點正在於誰跟誰對應，誰跟誰相似，題目往往是不會明確指出的，要學生自行尋找和判斷。 (1) 根據對應角相等，找(看)出某一對相等的角，其頂點就是第1對對應點； (2) 根據排序相同，依序可以指出其他對應點； (3) 兩對應點所夾的邊即為對應邊； (4) 兩對應邊所夾的角即為對應角。2. 測量邊長變化的特徵由縮放變換中的不變性，我們(1) 知道相似多邊形的頂點數是相同的；(2) 學會指出對應的點、角、邊；(3) 知道對應角相等；由縮放變換中的變化，我們知道對應邊一般並不相等(放大或縮小了)，我們嘗試尋找它的變化規律(以三角形為例):序教師學生圖例說明1測量對應邊的比值AB/AB = 1.4653BC/BC = 1.4653CA/CA = 1.4653注意測量值表發現: 比值相同 = 1.4653對應邊成比例 是通過測量獲得的。2將ABC平移旋轉翻轉發現: 比值相同 = 1.4653平移、旋轉翻轉3再縮放AB/AB = 0.5457BC/BC = 0.5457CA/CA = 0.5457提問:發現甚麼規律 ?發現: 比值相同 = 0.5457對應邊的比例相同。放大:比值1縮小:比值13. 歸納相似多邊形的數學特徵:(1) 點 - 頂點數相同；(2) 角 - 對應角相等；(3) 邊 - 對應邊成比例 - 我們將這個比例叫做 相似比；定義1: 頂點數相同、對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。定義2: 對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。 (頂點不必再提，都是3點)符號約定: 相似用符號 表示，例如: ABC ABC特例: 兩個相似三角形，若相似比 = 1，則兩個三角形全等。 (思考: 為甚麼?)反例: 正方形和長方形，頂點相同(都是4)，對應角相等(都是90)，但對應邊不成比例。四. 形成性練習本練習的目的是訓練學生的觀察能力和判斷能力，為後續解題作準備。試指出下列圖形中可能相似的兩個三角形 - 可能不只一對。(字母順序要符合對應關係)圖形與條件DE/BCAB/CDB = DABC = ADEABC = ACD相似ABC ADE目測不能看出對應邊成比例，但對應角相等可以看出(猜想)或證明。五. 一些體會1. 我們不從定義出發，實踐數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。的數學教學理念，從人類最初如何認識相似 - 返璞歸真，運用PG_Lab，在一個動態的圖形變換過程中，引導學生一步一步地從相似的概念到相似的數學定義，逐步深化學生的認知 - 揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。2. 我們用一節的課時，採取教師演示、學生討論的教學模式，採用探究、發現的教學法，教學過程是一個 演示(實驗) - 觀察 - 分析 - 思考 - 猜想(發現) - 歸納 的過程。當然教師要講解，但更著重的是引導學生觀察、分析和思考。思考是學生學習的核心。3. 相似三角形定義是說兩個靜態三角形的關係，我們將這個靜態的數學問題放在一個動態的數學實驗環境中考察。這正是動態數學教學的基本思想。動態數學教學需要借助資訊技術提供一個動態數學實驗環境。PG_Lab是一