二次函數輔導講義一、基礎知識講解+中考考點、例題分析考點1：二次函數的圖象和性質一、考點講解：1二次函數的定義：形如（a0，a，b，c為常數）的函數為二次函數2二次函數的圖象及性質： 二次函數y=ax2 (a0）；當a0時，拋物線開口向上，頂點是最低點；當a0時，拋物線開口向下，頂點是最高點；a越小，拋物線開口越大y=a(xh)2k的對稱軸是x=h，頂點坐標是（h，k）。 二次函數，頂點為（，），對稱軸x=；當a0時，拋物線開口向上，圖象有最低點，且x，y隨x的增大而增大，x，y隨x的增大而減??；當a0時，拋物線開口向下，圖象有最高點，且x，y隨x的增大而減小，x，y隨x的增大而增大 解題小訣竅：二次函數上兩點坐標為（），（），即兩點縱坐標相等，則其對稱軸為直線。3圖象的平移：二次函數y=ax2 與y=ax2 的圖像關于x軸對稱。平移的簡記口訣是“上加下減，左加右減”。一、經典考題剖析： 【考題1】在平面直角坐標系內，如果將拋物線向右平移2個單位，向下平移3個單位，平移后二次函數的關系式是（） 2二次函數的圖象上有兩點(3，8)和(5，8)，則此拋物線的對稱軸是（ ） A B. C. D. 4已知二次函數(a0）與一次函數y=kx+m(k0）的圖象相交于點A（2，4）,B(8，2)，如圖127所示，能使y1y2成立的x取值范圍是_ 5已知直線y=x與二次函數y=ax2 2x1的圖象的一個交點 M的橫標為1，則a的值為（ ） A、2 B、1 C、3 D、46已知反比例函數y= 的圖象在每個象限內y隨x的增大而增大，則二次函數y=2kx2 x+k2的圖象大致為圖123中的（ ） 7、讀材料：當拋物線的解析式中含有字母系數時，隨著系數中的字母取值的不同，拋物線的頂點坐標也將發生變化 例如：由拋物線，有y=，所以拋物線的頂點坐標為（m，2m1），即。 當m的值變化時，x、y的值隨之變化，因而y值也隨x值的變化而變化，將代人，得y=2x1l可見，不論m取任何實數，拋物線頂點的縱坐標y和橫坐標x都滿足y=2x1，回答問題：（1）在上述過程中，由到所用的數學方法是_，其中運用了_公式，由得到所用的數學方法是_；（2）根據閱讀材料提供的方法，確定拋物線頂點的縱坐標與橫坐標x之間的關系式_.8、 已知M、N兩點關于 y軸對稱，且點 M在雙曲線 y= 上，點 N在直線上，設點M的坐標為(a，b)，則拋物線y=abx2+(ab）x的頂點坐標為_ _.9、當b0時，一次函數y=ax+b和二次函數y=ax2bxc在同一坐標系中的圖象大致是圖129中的（ ） 考點2：二次函數的圖象與系數的關系1、 a的符號，b的符號“左同右異”，c的符號2、 的符號：的符號由拋物線與x軸的交點個數決定若拋物線與x軸只有一個交點，則=0；有兩個交點，則0沒有交點，則0 3、a+b+c與ab+c的符號：a+b+c是拋物線(a0）上的點(1，a+b+c）的縱坐標，ab+c是拋物線(a0）上的點（1，abc）的縱坐標根據點的位置，可確定它們的符號.二、經典考題剖析： 【考題1】（2009、濰坊）已知二次函數的圖象如圖 l22所示，則a、b、c滿足（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 4已知二次函數的圖象與x軸交于點（2，0），(x1，0)且1x12，與y軸正半軸的交點連點(0，2）的下方，下列結論：ab0；2a+c0；4a+c 0，2ab+l0其中的有正確的結論是（填寫序號）_ 考點3：二次函數解析式求法一、考點講解：1二次函數的三種表示方法： 表格法 圖象法 表達式2二次函數表達式的求法： 一般式法：若已知拋物線上三點坐標，可利用待定系數法求得；將已知的三個點的坐標分別代入解析式，得到一個三元一次方程組，解這個方程組即可。 頂點式法：若已知拋物線的頂點坐標或對稱軸方程，則可采用頂點式：其中頂點為(h，k)，對稱軸為直線x=h； 交點式法：若已知拋物線與x軸的交點坐標或交點的橫坐標，則可采用交點式：,其中與x軸的交點坐標為（x1，0），（x2，0）。 注意：當涉及面積周長的問題時，一定要注意自變量的取值范圍。 二、經典考題剖析：【考題1】（2009、長沙）如圖1216所示，要在底邊BC=160cm，高AD=120cm的ABC鐵皮余料上，截取一個矩形EFGH，使點H在AB上，點G在AC上，點E、F在BC上，AD交HG于點M，此時。(1)設矩形EFGH的長HG=y，寬HE=x，確定y與x的函數關系式；(2)當x為何值時，矩形EFGH的面積S最大？(3)以面積最大的矩形EFGH為側面，圍成一個圓柱形的鐵桶，怎樣圍時，才能使鐵桶的體積較大？請說明理由(注：圍鐵桶側面時，接縫無重疊，底面另用材料配備)。 考點4：根據二次函數圖象解一元二次方程的近似解一、考點講解：1二次函數與一元二次方程的關系： （1）一元二次方程就是二次函數當函數y的值為0時的情況 （2）二次函數的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；當二次函數的圖象與x軸有交點時，交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值，即一元二次方程ax2bxc=0的根 （3）當二次函數的圖象與 x軸有兩個交點時，則一元二次方程有兩個不相等的實數根；當二次函數的圖象與x軸有一個交點時，則一元二次方程ax2bxc0有兩個相等的實數根；當二次函數yax2+ bx+c的圖象與 x軸沒有交點時，則一元二次方程沒有實數根 解題小訣竅：拋物線與x軸的兩個交點間的距離可以用| x1x2|來表示?！究碱}1】（2009、湖北模擬）關于二次函數 的圖象有下列命題：當c=0時，函數的圖象經過原點；當c0且函數的圖象開口向下時，axbxc=0必有兩個不等實根；函數圖象最高點的縱坐標是；當b=0時，函數的圖象關于y軸對稱其中正確的個數是（ ） A1 B2 C3 D4 考點5：用二次函數解決實際問題一、考點講解：1二次函數的應用： （1）二次函數常用來解決最優化問題，這類問題實際上就是求函數的最大（小）值； （2）二次函數的應用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系；運用二次函數的知識解決實際問題中的最大（小）值解最值問題時，一定要注意自變量的取值范圍。分為三類：對稱軸在取值范圍內；取值范圍在對稱軸左邊；取值范圍在對稱軸右邊。解決實際問題時的基本思路：（1）理解問題；（2）分析問題中的變量和常量；（3）用函數表達式表示出它們之間的關系；（4）利用二次函數的有關性質進行求解；（5）檢驗結果的合理性，對問題加以拓展等【考題3】我區某鎮地理環境偏僻，嚴重制約經濟發展，豐富的花木產品只能在本地銷售，我區政府對該花木產品每投資x萬元，所獲利潤為P（x30）210萬元。為了響應我國西部大開發的宏偉決策，我區政府在制定經濟發展的10年規劃時，擬開發此花木產品，而開發前后可用于該項目投資的專項資金每年最多50萬元。若開發該產品，在前5年中，必須每年從專項資金中拿出25萬元投資修通一條公路，且5年修通。公路修通后，花木產品除在本地銷售外，還可運往外地銷售，運往外地銷售的花木產品，每投資x萬元可獲利潤Q（50x）2（50x）308萬元。 若不進行開發，求10年所獲利潤的最大值是多少？若按此規劃進行開發，求10年所獲利潤的最大值是多少？根據、計算的結果，請你用一句話談談你的想法。解：（1）若不修路，由P（x30）210知，只需從50萬元?？钪心贸?0萬元投資，每年即可獲得最大利潤10萬元，則10年的最大利潤M1 =10 10=100萬元； （2）若對產品開發，在前5年中，當x=25時，每年最大利潤是P（2530）210=9.5，則前5年的最大利潤M2 =9.55=47.5萬元；設5年中x萬元是用于本地銷售的投資P（2530）210，則將余下的(50x)萬元全部用于外地的投資Q50（50x）250（50x）308，才有可能獲得最大利潤，則后5年的利潤是M3 =3500故當x20時，M3取得最大值為 3500萬元所以，10年的最大利潤為M=M2 +M3 =475+3500=35475萬元；（3）因為35475100，故有極大的開發價值 2、 課堂練習1、 選擇題1若點(2，5)，(4，5)在拋物線yax2bxc上，則它的對稱軸是( )ABx1Cx2Dx32. 函數y=x2+2x2寫成y=a（xh）2+k的形式是（ ） Ay=（x1）2+2 By=（x1）2+1 Cy=（x+1）23 Dy=（x+2）213. 將拋物線繞原點O旋轉180，則旋轉后拋物線的解析式為（ ） A. B. C. D. 5. 在同一坐標系中一次函數和二次函數的圖象可能為（ ） 6已知函數，當函數值y隨x的增大而減小時，x的取值范圍是( )Ax1Bx1Cx2D2x47小穎在二次函數y=2x2+4x+5的圖象上，依橫坐標找到三點（1，y1），（2，y2），（3，y3），則你認為y1，y2，y3的大小關系應為（ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy3y1y2 Dy3y2y18.已知二次函數yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，有下列結論：abc0；abc2；b1其中正確的結論是( ) A B C D 9. 把拋物線y=x+bx+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為y= x-3x5，則（ ） Ab=3，c=7 Bb=6，c=3 Cb=9，c=5 Db=9，c=2110. 小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線的一部分（如圖），若命中籃圈中心，則他與籃底的距離是（ ）A3.5m B4m C4.5m D4.6m 2、 填空題1.若 y =（ m2+ m ）xm2 2m 1是二次函數，則m =_3如圖所示的拋物線是二次函數的圖象，那么的值是_ 第5題4. 二次函數y=mx2+(2m-1)x+m+1的圖象總在x軸的上方，m的取值范圍是_。5. 觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：的解集是_； 三.解答：6、（2008瀘州）如圖11，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過三點A（1，0），B（3，0），C（0，3），它的頂點為M，又正比例函數y=kx的圖象于二次函數相交于兩點D、E，且P是線段DE的中點（1）求該二次函數的解析式，并求函數頂點M的坐標；（2）