最短路線問題教學分析一、教學任務分析1、學生起點分析從心理特征來說，初中階段的學生思維能力、觀察能力和想象能力正在快速發展，但同時，這一階段的學生更好動，注意力容易分散，愛發表見解，希望得到老師的肯定，所以在教學中應充分抓住這些特點，一方面運用直觀有趣的現象，來引發學生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上，另一方面，要創造條件和機會，讓學生發表見解，發揮學生的主動性積極性。從認知狀況上，學生在此學習了軸對稱等有關知識，這為完成本節課的教學任務奠定了基礎，但對于如何將兩條線段轉化成一條線段，利用兩點之間線段最短解決問題有一定的難度，因此本節課主要采用教師引導下學生自主探索合作交流加深對轉化的理解，讓學生從學會轉化成會學。2. 教材中的地位和作用 本節課是北師大版九年級中考專題復習的內容。在此之前，學生已經在七年級下冊學習了線段的垂直平分線、角平分線、軸對稱圖形，并對最短路程問題進行了初步的探索，積累了一定的分析問題解決問題的經驗。此后學生還學習了三角形、平行四邊形、圓等有關內容，這為本節課的學習奠定了基礎。本節課的學習從實際問題抽象出數學模型，在解決實際問題中培養了學生的分析問題解決問題能力，這為學生后續的學習奠定了基礎，對于已經學過軸對稱性質的知識是一個很好的實際應用機會，其中涉及了軸對稱性質（或垂直平分線性質），兩點之間線段最短，等線段的轉化等知識點，滲透了數學建模思想，培養了學生大膽猜想和嚴謹證明的數學學習習慣。二、教學目標分析1、知識與技能讓學生進一步掌握軸對稱的性質，實現等線段的位置轉換，從而“化曲為直”并利用“兩點之間線段最短”達到解決問題的目的2、過程與方法通過實際操作，積累數學活動經驗，發展幾何直覺、對于此類問題既能從定性上進行理論的幾何圖形探索，又能從定量上進行代數解析方法的具體求值3、情感與價值觀讓學生在活動中體驗探索，交流，成功與提升喜悅，激發學生的學習興趣，并充分體會數學來源于生活，解釋生活又服務于生活的道理，引發學生熱愛數學學科，熱愛數學學習教材的重難點重點：利用軸對稱的性質，實現等線段的位置轉換難點：用“任意取點法”對最值問題的證明三、教法、學法根據以上學生的認知水平和心理特征，結合本節課的特點，主要采用啟發式、引導式的教學方法與講練法相結合。注重“邊講邊練”，及時鞏固，真正體現以學生為主體，教師為主導的教學理念。 教學過程：一、 創設情境：如圖，有A、B兩個村莊，他們想在河流的邊上建立一個水泵站，已知每米的管道費用是100元，A到河流的距離AD是1km，B到河流的距離BE是3km，DE長3km。請問這個水泵站應該建立在哪里使得費用最少，為多少？ “白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”這是唐朝詩人李頎在詩古從軍行開頭兩句，其實詩中就隱含著一個有趣的數學問題。回顧復習兩條重要的幾何結論。二、索新知：現在讓我們來看如何解決這個問題1.已知：如圖,點A 、點B在直線L的同側求作： L上一點P，使得PA+PB最小分析：要使得PA+PB最小，實際上就是如何把PA、PB兩條線段轉化成一條線段，然后根據兩點之間線段最短即可解決。為了實現這個轉化，我們從點B出發向L引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取B關于L的對稱點 B，連結AB，與直線L相交于P，則P點就是滿足PA+PB最小的點。證明：在直線上任取一點M，連接MA ，MB，構成三角形AMB，我們可以得到，又因為PB=PB,所以MA+MBPA+PB ,這樣我們就證明了這個點就是滿足PA+PB最小的點。三、牛刀小試：例1. 如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動點，DNMN的最小值為 _。分析：當線段DN和MN的長度恰好能夠轉化在一條線段上時，DN+MN最小。那如何轉化呢？根據前面的模型，即可解決。例2.現在讓我們看先前那個問題，水泵站修建哪里費用最少？解：（略） 四、布置作業：建設一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？最短路線問題設計思路最短路線問題是中考的一個考點，如何有效的把握學生的認知特點和課程重難點，使學生能在分析問題和解決問題中積累經驗提高學生的數學思維能力，是我們設計微課的重要依據。本微課首先從一個A村、B村建水泵站的問題引入，水泵站建在哪里管道鋪設的最短，費用最少？讓學生感受到數學來源于生活，激發學生的學習興趣，調動學生參與課堂。接著挖掘問題的深度，這樣的問題在我國古代就已經有研究，唐朝詩人李頎古從軍行前兩句就對這個問題有描述，激發學生的愛國主義情感以及感悟我國古詩詞的博大精深。然后引導學生為了解決這個問題我們要回顧復習兩條重要的幾何結論，為解決前面提出的問題做必要的準備。目的在于調動學生的元認知，創設新知的固著點，為后面建模解決問題打好基礎。然后從問題中抽象出數學模型，著重引導學生利用兩點之間線段最短解決問題，尤其是如何實現將兩條線段轉化成一條線段是重點也是難點，學生不容易想到作對稱點，因此在教學時，要給學生一定的時間啟發引導，讓學生充分的理解作對稱點可以實現將兩條線段轉化成一條線段。就可以應用兩點之間線段最短解決問題，進而求解問題。有了這個模型，接著就給出一個具體的問題練習，正方形的特殊性，找D點關于直線AC的對稱點恰好是B點，因此可以直接連接BD，交AC的點就是將來N點的所在位置，問題得到解決。通過這個具體問題，讓學生進一步感知模型的重要性，符合模型特征即可利用模型求解問題，強化了學生對模型的認識。接著給出具體的問題，如何求解我們在開始提出的建水泵站的問題，引導學生利用已有模型求解問題，讓學生感悟數學的實際應用，加深了學生對數學的認知，體會到數學的實際應用價值。最后布置一個實際問題，引導學生課后思考，嘗試解決結束本節課。最短路線問題內容實錄同學們，大家好，今天我們學習最短路線問題，首先讓我們來看一個實際問題，A、B兩個村莊在河流的邊上建一個水泵站，已知每米的管道費用100元，村莊A到河流的距離AD是1千米，村莊B到河流的距離BE是3千米，DE長3千米，問水泵站建在哪里費用最少，為多少？這個問題在我國古代就有了，白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，這是唐朝詩人李頎在古從軍行中的前兩句，詩中就隱含著一個有趣的數學問題，將軍在觀望烽火后從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬，再到B點宿營，怎樣走路程最近？這就是著名的將軍飲馬問題。同學們，你知道如何求解這個問題？為了解決這個問題，下面讓我們回顧兩條重要的幾何結論。如圖所示，A地到B地有三條路線可供選擇，選擇哪條路線最近呢？顯然我們會選擇號線路，理由是兩點之間線段最短。現在讓我們再看另一條重要的幾何結論，連接直線外一點與直線上各點的所有連線段中，哪條線段最短？顯然，我們會選擇OC線段，理由是點到直線，垂線段最短。有了這兩條重要的幾何結論，讓我們看如何解決這個問題。如果，A點B點在直線的同側，求作一動點，使得PA+PB最小。首先，讓我們分析一下，要使得PA+PB最小，即就是將PA、PB兩條線段轉化成一條線段，應用兩點之間線段最短即可求解。問題是如何實現這個轉化呢？做B點關于直線L的對稱點B點，連接A B,交直線L于P點 。P點就是滿足PA+PB最小的點。有些同學會有疑問，可不可以做A點關于直線L的對稱點呢？這個問題留作課后思考，請大家嘗試解決。還有些同學會有疑問，為什么這樣的P點就是滿足PA+PB最小的點。我們就來證明一下。在直線L上任取與P點不同的點M點，連接MA、M B，在三角形MA B中，由三角形兩邊之和大于第三邊，我們可以知道MA+M B大于PA+P B,而由作圖可知，PB=P B,這我們就證明P點就是滿足PA+PB最小的點。下面讓我進行動畫演示，容易發現，當點和點重合時，PA+PB最小。有了這個模型，讓我們看如何解決這個問題。如圖所示，正方形ABCD中，邊長為8，M在DC邊上，且DM=2，N是AC邊上的一個動點，問DN+MN的最小值為多少？還是讓我們先來分析一下，要使的DN+MN值最小，即就是將DN+MN兩條線段轉化成一條線段，利用兩點之間線段最短即可求解，如何實現這個轉化呢？根據上面的模型，作D點關于線段AC的對稱點，而我們知道，正方形是很特殊的點，D點關于線段AC的對稱點恰好是P點。因此我們可以連接BM，交AC于N點，如何計算呢？在直角三角形BCM中，容易知道，CM=6,BC=8,根據勾股定理即可知道BM=10，即DN+MN的最小值為10。現在讓我們回過頭來看如何解決前面的問題，水泵站建在哪里呢？如圖，做B點關于直線L的對稱點B點，連接A B，交直