“考研數學”做到更好，追求最好 南工程考研數學輔導材料之一 高 等 數 學 主編： 楊降龍 楊 帆 劉建新翁連貴 吳業軍序近幾年來，隨著高等教育的大眾化、普及化，相當多的大學本科畢業生由于就業的壓力，要想找到自己理想的工作比較困難，這從客觀上促使越來越多的大學畢業生選擇考研繼續深造，希望能學到專業的知識，取得更高的學歷，以增強自己的競爭能力；同時還有相當多的往屆大學畢業生由于種種的原因希望通過讀研來更好地實現自我。這些年的統計數據表明：應屆與往屆的考生基本各占一半。自1989年起，研究生入學數學考試實行全國統一命題，其命題的范圍與內容嚴格按照國家考試中心制定的“數學考試大綱”，該考試大綱除了在1996年實施了一次重大的修補以外，從1997年起一直沿用至今，但期間也進行了幾次小規模的增補。因此要求考生能及時了解掌握當年數學考試大綱的變化，并能按大綱指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考試要求系統有重點的復習。通常研究生入學數學考試與在校大學生的期末考試相比，考試的深度與難度都將大大的增加，命題者往往將考試成績的期望值設定在80（按總分150分）左右命題，試題涉及的范圍大，基礎性強，除了需要掌握基本的計算能力、運算技巧外，還需掌握一些綜合分析技能（包括各學科之間的綜合）。這使得研究生數學入學考試的競爭力強，淘汰率很高。為了我院學生的考研需要，我們編寫了這本輔導講義。該講義共分三個部分，編寫時嚴格按照考試大綱，含蓋面廣、量大，在突出重點的同時，注重于基本概念的理解及基本運算能力的培養，力求給同學們做出有效的指導。第一章 函數 極限與連續考試內容函數的概念及其表示，函數的有界性、單調性、奇偶性及周期性，復合函數、反函數、分段函數、隱函數，基本初等函數的圖形與性質，初等函數的建立，數列極限與函數極限的性質，函數的左右極限，無窮小與無窮大的關系，無窮小的性質及無窮小的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則，兩個重要極限，函數連續的概念，函數間斷點的類型，閉區間上連續函數的性質。考試要求1、理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立簡單應用問題中的函數關系。2、了解函數的有界性、單調性、奇偶性及周期性的概念，注意這些問題與其它概念的結合應用。3、理解復合函數、分段函數的概念，了解隱函數、反函數的概念。4、掌握基本初等函數的性質及其圖形。5、理解極限、左右極限的概念，以及極限存在與左右極限的關系。6、掌握極限的性質與四則運算。7、掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限；掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8、理解無窮小、無窮大的概念；掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小計算極限。9、掌握利用羅必達法則求不定式極限的方法。10、理解函數連續性的概念，會判別函數間斷點的類型。11、理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最值存在、介值定理），并會利用這些性質。1 函數一、函數的概念 二、函數的性質：有界性、單調性、奇偶性、周期性；三、函數的運算（重要考點）：四則運算、復合運算（復合函數）、逆運算（反函數）；四、函數的分類：初等函數、非初等函數。例題1、（88）已知，且，求及定義域。2、（92）已知，求定義域。3、設，求。4、，求。5、（97）,求。6、設，求。7、（90），求。8、求的反函數。9、（96）設函數，（1）寫出的反函數的表達式；（2）是否有間斷點、不可導點，若有，指出這些點。10、設滿足：為常數，且，試證：為奇函數。11、滿足：，求。12、設連續，且，求。13、（89）設連續，且，求。14、（97）設，求。2 極限一、定義及性質 （1）唯一性；（2）局部有界性；（3）局部保號性: 二、求極限的方法（重點）1、用定義證明和觀察法如 。2、用極限的四則運算法則和函數的連續性3、用兩個重要極限： （或）注意比較如下幾個極限：，一般形式：，通常對于含三角函數的型極限用i)，對于型極限用ii)。4、(1) 用等價無窮小計算極限 時，常見的等價無窮小有.注意： 的廣泛的代表性,等(2) 有界函數乘無窮小仍為無窮小。5、用羅必達法則 設（1），（或） （2）在的某個去心鄰域內（當充分大時）可導，且 （3）則 基本類型有和。對于，可以通過初等變形轉化為和。對于，通過取對數再用羅必達法則。6、用變量代換注意：該方法要視極限的具體形式而定，如：在計算的極限時，如果被求極限中含有的因式時，可以令=；在計算的極限中，如果被求極限中含有，則可令。在研究生數學入學考試中不常出現7、用極限存在的二個準則i)夾逼（兩邊夾）定理；ii)單調有界定理：單調遞增（減）有上界（下界）的數列必有極限。8、利用導數定義(ch.2) 9、用定積分定義(ch.3) 當已知函數可積時，有 ，= = 10、用微分和積分中值定理(ch.2) 11、用Taylor公式(ch.2)注意：下面幾類極限一般要討論左右極限： 分段函數在分段點的極限； 時，與絕對值或開偶次方根有關的極限； 時，含有形如因式的極限。三、無窮小階的比較設均為無窮小，且不為0，如果：（1）時，則稱是的高階無窮小，或稱是的低階無窮小，記。（2）時，則稱與為同階無窮小，特別當時，稱與是等價無窮小。（3）時，則稱是的k階無窮小。注意：無窮小的比較是在數學考試中一個經常考的考點，尤其在數二、三、四中。其主要考法有： 已知函數與另一已知函數是同階無窮小，求中所含的參數； 當函數滿足什么條件時，是的同階（高階）無窮小； 將給出的幾個無窮小按其階從小到大排列。例題（一）極限的計算1、（00）設對任意的x，總有，且，則：（A）存在且等于零， （B）存在但不一定為零，（C）一定不存在， （D）不一定存在。2、（1）； （2）；（3）（97）； （4）（00）。3、（1）； （2）（99）。4、（1）（00）。 （2）（05）（數三、四） 5、（1）； （2）。6、（1）（04）求極限； （2）（93）；7、（1）（99）； （2）（94）。8、（1）（03）； （2）。9、（05）設函數連續，且，求極限 10、（07）= 。（二）關于數列極限：10、（03）設均為非負數列，且，則必有：（A）對任意n成立； （B）對任意n成立；（C）極限不存在； （D）極限不存在。11、（98）設數列與滿足，則下列判斷正確的是：（A）若發散，則必發散， （B）若無界，則必有界，（C）若有界，則必為無窮小， （D）若為無窮小，則必為無窮小。12、（1）（98）； （2）。 （3）（02）13、，求。14、（96），證明存在并求之。15、（97）設，證明：存在。16、設，求。17、（06）設數列滿足， 證明：（1）存在，并求該極限； （2）計算18、。 19、（95）。（三）極限中常數的確定20、（04）若，求a、b。21、（1）（97）設時，與是同階無窮小，則（2）（96）設時，為x 的三階無窮小，求a, b。（3）（05數二）當時，與是等價無窮小，則 ？（4）設，則當時是的（ ） ：低階無窮小 ：高階無窮小 ：等價無窮小 ：同階但不等價無窮小（5）（06）試確定常數，使得 （1/3，-2/3，1/6） 22、（98）求a, b, c，使。23、（94）設，則有：（A）， （B）， （C）， （D）。24、（1）（01）設當時，是比高階的無窮小，而是比高階的無窮小，則正整數n等于：（A）1， （B）2， （C）3， （D）4。（2）（01）已知在內可導，且，求c的值。25、（02）設函數在的某個領域內具有一階連續導數，且，若在時是比h高階的無窮小，試確定a、b的值。26、（02）設函數在的某領域內具有二階連續導數，且，證明：存在惟一的一組實數，使得當時，是比高階的無窮小。27、，求a, b。 3 連續與間斷一、在點連續（重點）：。初等函數在定義區間內是連續的，分段函數分界點的連續性要用定義討論。二、若在點a不連續，稱a為的間斷點。間斷點分兩類：第一類間斷點（左、右極限都存在）：可去間斷點（左、右極限都相等）和跳躍間斷點（左、右極限不相等）第二類間斷點：無窮間斷點（至少有一側極限為無窮大），振蕩間斷點等。注意：這一部分在數三、四中是一個常考的考點，主要以已知連續性或間斷點的類型確定參數，計算題中以討論間斷點類型并補充定義使其連續為主；在數一、二中一般不單獨以單個概念出題，通常會跟函數的建立、極限、微分方程等概念結合考查。三、閉區間上連續的函數有以下性質：1）最值定理：閉區間上連續的函數一定取到最大值M和最小值m（必有界）；更一般地：我們可以得到如下結論 設在開區間內連續，且及都存在，則在內有界。2）介值定理：閉區間上連續的函數一定取到介于最小值和最大值M之間的任一數；3）零點定理：設在上連續，與異號，則至少有一點，使得。推廣的零點定理： 設在區間上連續，且，則至少存在一點，使例題1（02）設函數 在處連續，則a= 。2（03） 設函數 ，問a為何值時，在處連續；a為何值時，是的可去間斷點？3、（00）設函數在內連續，且，則常數a、b滿足：（A）, （B）, （C）, （D）. 4、（05）設，則（ ）（A）都是的第一類間斷點。 （B）都是的第二類間斷點。 （C）是的第二類間斷點, 是的第二類間斷點 （D）是的第二類間斷點，是的第一類間斷點5、（04）設，則的間斷點為 。6、（98）設，討論的間斷點，結論為：（A）不存在間斷點， （B）存在間斷點， （C）存在間斷點， （D）存在間斷點。7、下列命題中正確的是（ ）（A）設函數在處連續,在處不連續，則+在處必不連續（B），都在處不連續，則+在處必不連續 （C） 設函數在處連續，在處不連續，則在處必不連續 （D） ，都在處不連續，則在處必不連續8、（98）求在內的間斷點及類型。 9、（07）函數在上的第一類間斷點是 (A) 0; (B) 1; (C) ; (D) 。10、設在上連續，且，求證：,使。11、在上非負連續，證明：對，使。12、證明：方程恰有一個實根，其中為常數，且13、設上連續，試證，對兩個正數與，一定點，使。（本題的證明思想應掌握，并應能將結論推廣到更為一般的情況）14、（04）函數在下列哪個區間內有界：（A）（1，0）； （B）（0，1）； （C）（1，2）； （D）（2，3）。單元練習1、 求函數的定義域2、 函數的定義域為 _。3、 若的定義域為（0，1），則函數的定義域為_。4、 ，是 （）（A）有界函數（B）單調函數（C）周期函數（D）偶函數、，則當時，是 （）（A）無窮大量（B）無窮小量（C）有界變量（D）無界變量、設是連續函數，且，則_ 7、當時，下列四個無窮小量中，哪一個是比其它三個更高階的無窮小 （ ） （A）（B）（C）（D） 8、設，在的某個領域內連續，且當時是高階的無窮小，則當時，是的 （ ） （A）低階無窮小（B）高階無窮小 （C）同階但不等價無窮小（D）等價無窮小 9、，則當時是的 （ ） （A）低階無窮小（B）高階無窮小 （C）同階但不等價無窮小（D）等價無窮小 10、已知，則 （ ） （A）（B）（C）（D）11、當時，變量是 （ ） （A）無窮大量 （B）無窮小量（C）有界變量，但不是無窮小 （D）無界變量，但不是無窮大 12、 13、 14、 15、 16、 17、18、（1）設，問在處是否連續，若不連續，修改函數在處的定義，使之連續。 （2）（06）設函數在連續，則 。 19、討論函數的連續性 20、研究函數的連續性 21、討論函數的間斷點，并指出其類型 22、設，證明數列收斂，并求 23、若在區間上