中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)研究 函數(shù)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 重難點(diǎn)突破 與線段 周長有關(guān)的問題 例1 2015龍東地區(qū) 如圖 拋物線y x2 bx c交x軸于點(diǎn)A 1 0 交y軸于點(diǎn)B 對稱軸是x 2 1 求拋物線的解析式 2 點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 是否存在點(diǎn)P 使 PAB的周長最小 若存在 求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 解 根據(jù)題意得C 3 0 則把A 1 0 C 3 0 分別代入y x2 bx c可得 解得 二次函數(shù)的解析式為y x2 4x 3 1 b c 0 b 4c 3 1 思路分析 根據(jù)對稱性求出C點(diǎn)坐標(biāo) 再用待定系數(shù)法解答便可 9 3b c 0 2 思路分析 AB長固定 所以要使得 PAB的周長最小 即就是PA PB的和最小 即問題就轉(zhuǎn)化為線上某點(diǎn)到線外兩點(diǎn)的距離和最短 因?yàn)锳點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于對稱軸 2 解 設(shè)BC解析式為y kx b k 0 把B 0 3 C 3 0 分別代入y kx b 得 解得 y x 3 當(dāng)x 2時(shí) y 1 P 2 1 k 1b 3 對稱 所以連接BC與對稱軸的交點(diǎn)P就是所要找的點(diǎn) 求出其交點(diǎn)坐標(biāo)便可 b 3 3k b 0 無論是線段和的最小值或是周長的最小值 還是兩條線段差的最大值 解決這類問題最基本的定理就是 兩點(diǎn)之間線段最短 最常見的基本圖形就是 水渠問題 即已知一條直線和直線同旁的兩個(gè)點(diǎn) 要在直線上找一點(diǎn) 使得這兩個(gè)點(diǎn)與這點(diǎn)連接的線段之和最小 解決問題的方法就是通過軸對稱作出對稱點(diǎn)來解決 例2 2015貴港 如圖 拋物線y ax2 bx c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B 1 0 與y軸交于點(diǎn)C 0 3 其對稱軸l為x 1 1 求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo) 2 若動(dòng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上 動(dòng)點(diǎn)N在對稱軸l上 當(dāng)PA NA 且PA NA時(shí) 求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo) 當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí) 求四邊形PABC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo) 與面積有關(guān)的問題 解 拋物線y ax2 bx c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B 1 0 與y軸交于點(diǎn)C 0 3 其對稱軸l為x 1 a b c 0c 3 1 解得 a 1b 2 c 3 二次函數(shù)的解析式為y x2 2x 3 x 1 2 4 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 4 1 思路分析 將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 并結(jié)合對稱軸l為x 1 即可求得拋物線的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo) 解 令y x2 2x 3 0 解得x 3或x 1 點(diǎn)A 3 0 B 1 0 如解圖 作PD x軸于點(diǎn)D 對稱軸l與x軸交于點(diǎn)Q 連接AC OP BC 2 思路分析 首先求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 然后根據(jù)已知條件證得PD AQ 從而列方程求得x的值即可得點(diǎn)P的坐標(biāo) 用分割法將四邊形的面積S四邊形PABC S OBC S AOC S APC 得到二次函數(shù) 求得最值即可 S四邊形PABC S OBC S AOC S APC S AOC S OCP x x S OAP 3 yp x2 3x S APC S OAP S OCP S AOC x2 3x x x2 x x 2 當(dāng)x 時(shí) S APC最大值 此時(shí)P S四邊形PABC S ABC S APC 4 3 S四邊形PABC最大值 探究三角形或四邊形的面積的最值問題 1 若所求點(diǎn)在二次函數(shù)上 動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 t at2 bt c 2 求三角形面積最值時(shí)要用含t的代數(shù)式表示出三角形的底和高 此時(shí)可以利用三角形邊或高平行于x軸或y軸 從而利用其橫 縱坐標(biāo)表示底和高或證明涉及到底和高的三角形與已知線段長度的三角形相似 從而求得用含t的代數(shù)式表示的底和高 求四邊形的面積最值時(shí) 常用到的方法是利用割補(bǔ)法將四邊形分成n個(gè)三角 形 從而利用三角形的方法求得用含t的代數(shù)式表示的線段 3 用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形面積 4 用二次函數(shù)的知識(shí)來求最大值或最小值 與三角形 四邊形形狀有關(guān)的問題 例3 2015黔東南州 如圖 已知二次函數(shù)y1 x2 x c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A 4 0 與y軸的交點(diǎn)為B 過A B的直線為y2 kx b 1 求二次函數(shù)y1的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo) 2 由圖象寫出滿足y1 y2的自變量x的取值范圍 3 在兩坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P 使得 ABP是以AB為底邊的等腰三角形 若存在 求出P點(diǎn)的坐標(biāo) 若不存在 說明理由 解 點(diǎn)A 4 0 在拋物線y1 上 0 解得c 3 拋物線解析式為y1 點(diǎn)B是拋物線y1與y軸的交點(diǎn) 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 0 3 1 思路分析 將點(diǎn)A 4 0 代入拋物線解析式 即可得到c的值 從而確定拋物線的解析式 令拋物線x 0 可得點(diǎn)B的坐標(biāo) 解 根據(jù)圖象可知 當(dāng)x 4或x 0時(shí) y1 y2 解 存在 取AB的中點(diǎn)為C 點(diǎn)A 4 0 點(diǎn)B 0 3 點(diǎn)C 2 2 思路分析 觀察圖象 直線在拋物線上方的部分對應(yīng)的x即為所求 3 思路分析 由等腰三角形性質(zhì) 取底邊AB的中點(diǎn)C 過C作CF AB交x軸于E 交y軸于F 利用三角形相似確定點(diǎn)F E的坐標(biāo)即可 解 根據(jù)圖象可知 當(dāng)x 4或x 0時(shí) y1 y2 解 存在 取AB的中點(diǎn)為C 點(diǎn)A 4 0 點(diǎn)B 0 3 點(diǎn)C 2 2 思路分析 觀察圖象 直線在拋物線上方的部分對應(yīng)的x即為所求 3 思路分析 由等腰三角形性質(zhì) 取底邊AB的中點(diǎn)C 過C作CF AB交x軸于E 交y軸于F 利用三角形相似確定點(diǎn)F E的坐標(biāo)即可 過點(diǎn)C作CE AB 交x軸于E 交y軸于F 在Rt ABO中 AO 4 BO 3 AB 5 C是AB的中點(diǎn) AC ACE AOB 90 EAC BAO AEC ABO 即 解得AE OE OA AE 此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合 坐標(biāo)為 0 FBC ABO FCB AOB ABO FBC E F C 即解得OF 此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合 坐標(biāo)為 0 綜上所述 存在點(diǎn)P使得 ABP為等腰三角形 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 0 或 0 對于等腰三角形的存在探究問題 解題步驟如下 1 假設(shè)結(jié)論成立 2 設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo) 求邊長 根據(jù)題意 直接或間接設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo) 若所求的點(diǎn)在拋物線上時(shí) 該點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)為 x ax2 bx c 若所求的點(diǎn)在對稱軸上時(shí) 該點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)為 y 若所求的點(diǎn)在已知直線y kx b上時(shí) 該點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)為 x kx b 并用所設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)表示出相應(yīng)的邊長 常利用相似三角形性質(zhì)或勾股定理求解 3 當(dāng)所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時(shí) 需分情況討論 具體方法如下 當(dāng)定長為底邊時(shí) 作出定長的垂直平分線 若作出的垂直平分線與已知直線有交點(diǎn) 則交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) 若作出的垂直平分線與已知直線無交點(diǎn) 則滿足條件的點(diǎn)不存在 以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn) 當(dāng)定長為腰 找已知直線上滿足條件的點(diǎn)時(shí) 以定長的某一端點(diǎn)為圓心 以定長為半徑畫弧 若所