復習 圓 江門僑中王輝元 圓的相關概念 一 垂徑定理 AM BM 重視 模型 垂徑定理直角三角形 計算 勾股定理 若 CD是直徑 CD AB 1 定理垂直于弦的直徑平分弦 并且平分弦所對的兩條弧 2 垂徑定理的逆定理 平分弦 不是直徑 的直徑垂直于弦 并且平分弦所對的兩條弧 垂徑定理及推論 直徑 過圓心的線 2 垂直弦 3 平分弦 4 平分劣弧 5 平分優弧 想法 知二推三 注意 直徑平分弦則垂直弦 這句話對嗎 錯 例 O的半徑為10cm 弦AB CD AB 16 CD 12 則AB CD間的距離是 2cm 或14cm 在同圓或等圓中 如果 兩個圓心角 兩條弧 兩條弦 兩條弦心距中 有一組量相等 那么它們所對應的其余各組量都分別相等 如由條件 AB A B OD O D AOB A O B 二 圓心角 弧 弦 弦心距的關系 想法 四量定理 三 圓周角定理及推論 90 的圓周角所對的弦是 定理 在同圓或等圓中 同弧或等弧所對的圓周角相等 都等于這弧所對的圓心角的一半 推論 直徑所對的圓周角是 直角 直徑 判斷 1 相等的圓心角所對的弧相等 2 相等的圓周角所對的弧相等 3 等弧所對的圓周角相等 想法 直徑直角 1 如圖1 AB是 O的直徑 C為圓上一點 弧AC度數為60 OD BC D為垂足 且OD 10 則AC AB 2 已知弧AB 弧AC是同圓的兩段弧 且弧AB等于2倍弧AC 則弦AB與AC之間的關系為 A AB 2ACB AB2ACD 不能確定3 如圖2 O中弧AB的度數為60 AC是 O的直徑 那么 BOC等于 A 150 B 130 C 120 D 60 4 在 ABC中 A 70 若O為 ABC的外心 BOC 若O為 ABC的內心 BOC 圖1圖2 20 40 B C 1400 1250 1 兩個同心圓的直徑分別為5cm和3cm 則圓環部分的寬度為 cm 2 如圖1 已知 O AB為直徑 AB CD 垂足為E 由圖你還能知道哪些正確的結論 請把它們一一寫出來 3 為改善市區人民生活環境 市建設污水管網工程 某圓柱型水管的直徑為100cm 截面如圖2 若管內污水的面寬AB 60cm 則污水的最大深度為cm 圖1圖2 四 點和圓的位置關系 不在同一直線上的三個點確定一個圓 這個三角形叫做圓的內接三角形 這個圓叫做三角形的外接圓 圓心叫做三角形的外心 圓內接四邊形的性質 1 對角互補 2 任意一個外角都等于它的內對角 反證法的三個步驟 1 提出假設2 由題設出發 引出矛盾3 由矛盾判定假設不成立 肯定結論正確 1 O的半徑為R 圓心到點A的距離為d 且R d分別是方程x2 6x 8 0的兩根 則點A與 O的位置關系是 A 點A在 O內部B 點A在 O上C 點A在 O外部D 點A不在 O上2 M是 O內一點 已知過點M的 O最長的弦為10cm 最短的弦長為8cm 則OM cm 3 圓內接四邊形ABCD中 A B C D可以是 A 1 2 3 4B 1 3 2 4C 4 2 3 1D 4 2 1 3 練 有兩個同心圓 半徑分別為 和r 是圓環內一點 則 的取值范圍是 r OP R 1 直線和圓相交 dr dr 2 直線和圓相切 3 直線和圓相離 dr 五 直線與圓的位置關系 切線的判定定理 定理經過半徑的外端 并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 C D O A 如圖 OA是 O的半徑 且CD OA CD是 O的切線 判定切線的方法 定義 直線與圓有一個交點 圓心到直線的距離d 圓的半徑r 切線的判定定理 經過半徑的外端 并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 切線的判定定理的兩種應用 1 如果已知直線與圓有交點 往往要作出過這一點的半徑 再證明直線垂直于這條半徑即可 2 如果不明確直線與圓的交點 往往要作出圓心到直線的垂線段 再證明這條垂線段等于半徑即可 切線的性質定理 圓的切線垂直于過切點的半徑 CD切 O于 OA是 O的半徑 C D O A CD OA 切線的性質定理出可理解為 如果一條直線滿足以下三個性質中的任意兩個 那么第三個也成立 經過切點 垂直于切線 經過圓心 如 任意兩個 1 兩個同心圓的半徑分別為3cm和4cm 大圓的弦BC與小圓相切 則BC cm 2 如圖2 在以O為圓心的兩個同心圓中 大圓的弦AB是小圓的切線 P為切點 設AB 12 則兩圓構成圓環面積為 3 下列四個命題中正確的是 與圓有公共點的直線是該圓的切線 垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線 到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線 過圓直徑的端點 垂直于此直徑的直線是該圓的切線 A B C D 一 判斷 1 三角形的外心到三角形各邊的距離相等 2 直角三角形的外心是斜邊的中點 二 填空 1 直角三角形的兩條直角邊分別是5cm和12cm 則它的外接圓半徑 內切圓半徑 2 等邊三角形外接圓半徑與內切圓半徑之比 三 選擇題 下列命題正確的是 A 三角形外心到三邊距離相等B 三角形的內心不一定在三角形的內部C 等邊三角形的內心 外心重合D 三角形一定有一個外切圓 6 5cm 2cm 2 1 C 四 一個三角形 它的周長為30cm 它的內切圓半徑為2cm 則這個三角形的面積為 30cm 交點個數名稱 0 外離 1 外切 2 相交 1 內切 0 內含 同心圓是內含的特殊情況 d R r的關系 d R r d R r d R r R r d R r d R r d R r 六 圓與圓的位置關系 A B C O 七 三角形的外接圓和內切圓 A B C I 三角形內切圓的圓心叫三角形的內心 三角形外接圓的圓心叫三角形的外心 三角形三邊垂直平分線的交點 三角形三內角角平分線的交點 到三角形各邊的距離相等 到三角形各頂點的距離相等 銳角三角形的外心位于三角形內 直角三角形的外心位于直角三角形斜邊中點 鈍角三角形的外心位于三角形外 三角形的外心是否一定在三角形的內部 從圓外一點向圓所引的兩條切線長相等 并且這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角 切線長定理及其推論 直角三角形的內切圓半徑與三邊關系 三角形的內切圓半徑與圓面積 PA PB切 O于A B PA PB 1 2 1 如圖 圓O中弦AB等于半徑R 則這條弦所對的圓心角是 圓周角是 60度 30或150度 2 已知ABC三點在圓O上 連接ABCO 如果 AOC 140 求 B的度數 3 平面上一點P到圓O上一點的距離最長為6cm 最短為2cm 則圓O的半徑為 D 解 在優弧AC上定一點D 連結AD CD AOC 140 D 70 B 180 70 110 2或4cm 4 怎樣要將一個如圖所示的破鏡重圓 A B C P 5 如圖 AB是 O的任意一條弦 OC AB 垂足為P 若CP 7cm AB 28cm 你能幫老師求出這面鏡子的半徑嗎 O 7 1