裝 訂 線考 生 信 息 欄 學院 專業 班級 姓名 學號 集 美 大 學 試 卷 紙（參考解答） 2010 2011 學年 第 一 學期課程名稱數學競賽（專業組）試卷卷別選拔試卷適 用學院、專業、年級07-08級數學與應用數學、信息與計算科學專業考試方式閉卷 開卷 備注1.本試卷共8頁；2.考試時間150分鐘。總分題號一二 三四五 六七八得分閱卷人得分一、求與兩直線都相交，且與雙曲線也相交的動直線所形成的曲面方程，并說明該曲面的形狀名稱.（15分）解 在兩直線上分別任取一點，為參數，于是動直線方程為 它與雙曲線相交，故令，可得，即代入，得 由 消去，得即為所求.把軸旋轉，即令，曲面方程化為可見該曲面是單葉雙曲面.得分二、設元方程組，其中，.（1）證明：行列式；（2）取何值，方程組有唯一解？求； （3）取何值，方程組有無窮多解？求通解.（12分）解 （1）按第一行展開，得利用數學歸納法，設，則有.（2）時，利用Cramer法則，解得. （3）時有無窮多解，分別求原方程組的一個特解及導出組的基礎解系，可得通解為.得分三、設是維線性空間的兩個線性變換，證明：核空間的維數滿足 .（10分）證明 ,所以 .設. 把的一組基擴充成的一組基，有下面證線性無關.令，則，從而，于是，由線性無關，即得.可見至少包含個線性無關的向量，即，所以.得分四、設是實方陣，若對于實數，存在非零向量及自然數，使得，則稱是的屬于的根向量. 試證：（1）若的屬于的根向量存在，則是的特征值.（2）若是的特征值，則的屬于的根向量存在；并問屬于的所有根向量添上零向量的集合能否作成的子空間？為什么?（3）的屬于不同特征值的根向量必線性無關.（13分）證明 （1）不妨設，但，于是 ，即可見是的特征值.（2）設是對應于的特征向量，則有，故也是根向量.任取的兩個根向量，并設，.取，則，可見，即是子空間.（3）設分別是屬于（）的根向量，即有，設，則，可得.若，則，說明是屬于的根向量，矛盾；所以，從而，得，所以 線性無關.得分五、試確定的值，使得 .（10分） 解 因為時，所以，于是 ，利用極限的無窮小表示定理可得，（注意） 所以.于是，（應用洛必塔法則） ， 所以.得分六、設函數在上連續，且對任意的區間，恒有（是正常數）成立，證明：.（12分） 證明 對，總可取到數列：，使得成立，于是由假設條件可得，根據積分中值定理，對，使得，從而，再由在處的連續性，可得 .所以對，有. 當時，同樣可取到數列：，使得成立，且有，仿上述證明也可得，.綜上，這就證明了.得分七、設函數在上具有二階連續導數,，. 而是的次復合函數. 證明： （1），使對，有； （2）級數在的某鄰域內一致收斂.（15分） 證明 （1） 根據Taylor公式，對，有（介于之間）， （因為） 因為，所以，使得，有. 于是對，有，只要取，即得所證. （2）利用（1）的結果，可知對，有，為使級數收斂，必須，這只要將（1）中的進一步縮小為：（注意），即取：.此時，令，則，且對，仍然有，于是由Weierstrass判別法可知，級數在內一致收斂.得分八、設，其中一階偏導數連續，試通過變換：,