2012年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）數學（文科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合,，則滿足條件的集合C的個數為 ( )A1 B2 C3 D4【測量目標】集合的基本運算.【考查方式】子集的應用.【參考答案】D【試題解析】求 ，易知.因為，所以根據子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個數，即有個.故選D.2容量為20的樣本數據，分組后的頻數如下表：分組頻數234542則樣本數據落在區間的頻率為 ( )A0.35 B0.45 C0.55 D0.65 【測量目標】頻數分布表的應用，頻率的計算,對于頻數、頻率等統計問題【考查方式】通過弄清楚樣本總數與各區間上樣本的個數，用區間上樣本的個數除以樣本總數就可得到相應區間上的樣本頻率.【參考答案】B【試題解析】由頻數分布表可知：樣本數據落在區間內的頻數為2+3+4=9，樣本總數為，故樣本數據落在區間內頻率為.故選B.3函數在區間上的零點的個數為 ( )A2 B3 C4 D.5 【測量目標】函數零點求解與判斷.【考查方式】通過函數的零點，要求學會分類討論的數學思想.【參考答案】D【試題解析】由，得或；其中，由，得，故.又因為，所以.所以零點的個數為個.故選D.4命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是 ( )A任意一個有理數，它的平方是有理數 B任意一個無理數，它的平方不是有理數C存在一個有理數，它的平方是有理數 D存在一個無理數，它的平方不是有理數【測量目標】命題的否定.【考查方式】求解特稱命題或全稱命題的否定，千萬別忽視了改變量詞；【參考答案】B【試題解析】根據特稱命題的否定，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結論，故該命題的否定為“任意一個無理數,它的平方不是有理數”.故選B.5過點的直線，將圓形區域分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為 ( )A B. C. D. 【測量目標】考查直線、線性規劃與圓的綜合運,并學會用數形結合思想.直線的方程【考查方式】通過觀察圖形發現當面積之差最大時，所求直線應與直線垂直，利用這一條件求出斜率，進而求得該直線的方程.【參考答案】A【試題解析】要使直線將圓形區域分成兩部分的面積之差最大，必須使過點的圓的弦長達到最小，所以需該直線與直線垂直即可.又已知點，則,故所求直線的斜率為.又所求直線過點，故由點斜式得，所求直線的方程為，即.故選A.6已知定義在區間（0,2）上的函數的圖象如圖所示，則的圖象為 ( ) 【測量目標】函數的圖象的識別.【考查方式】利用特殊值法（特殊點），特性法（奇偶性，單調性，最值）結合排除法求解【參考答案】B【試題解析】排除法：當時，故可排除A,C項；當時，故可排除D項；所以由排除法知選B.7定義在上的函數，如果對于任意給定的等比數列，仍是等比數列，則稱為“保等比數列函數”. 現有定義在上的如下函數： ( )； ； ； .則其中是“保等比數列函數”的的序號為 A B C D 【測量目標】等比數列的新應用，函數的概念.【考查方式】讀懂題意，然后再去利用定義求解，注意數列的通項.【參考答案】C【試題解析】設數列的公比為.對于，,是常數，故符合條件;對于，不是常數，故不符合條件;對于，是常數，故符合條件;對于, ，不是常數，故不符合條件.由“保等比數列函數”的定義知應選C8設的內所對的邊分別為. 若三邊的長為連續的三個正整數，且 ，則為 ( )A. B. C D. 【測量目標】正、余弦定理以及三角形中大角對大邊的應用.【考查方式】本題需求解三個角的正弦的比值，明顯是要利用正弦定理轉化為邊長的比值，因此必須求出三邊長,注意正余弦定理與和差角公式的結合應用.【參考答案】D【試題解析】因為為連續的三個正整數，且，可得，所以；又因為已知，所以.由余弦定理可得，則由可得，聯立，得，解得或（舍去），則，.故由正弦定理可得，.故應選D.9設,“”是“ ”的 ( )A充分條件但不是必要條件 B必要條件但不是充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要的條件 【測量目標】充要條件的判斷，不等式的證明.【考查方式】首先需判斷條件能否推得結論，然后需判斷結論能否推得條件.【參考答案】A【試題解析】時，而（當且僅當，且，即時等號成立），故；但當取,顯然有,但,即由不可以推得；綜上，是的充分不必要條件,應選A. 10如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓. 在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 ( )A BC D 【測量目標】古典概型的應用以及觀察推理的能力.【考查方式】求解陰影部分的面積，將不規則圖形的面積化為規則圖形的面積來求解.【參考答案】C【試題解析】如下圖所示，設的中點為，的中點為，半圓與半圓的交點分別為，則四邊形是正方形.不妨設扇形的半徑為，記兩塊白色區域的面積分別為，兩塊陰影部分的面積分別為.則, 而，即, 由-，得.又由圖象觀察可知，.故由幾何概型概率公式可得，此點取自陰影部分的概率：.故選C.二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分. 請將答案填在答題卡對應題號的位置上. 答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.11一支田徑運動隊有男運動員56人，女運動員42人. 現用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的男運動員有8人，則抽取的女運動員有 人 【測量目標】分層抽樣的應用. 【考查方式】分層抽樣在生活中的應用.分層抽樣時，各樣本抽取的比例應該是一樣的，即為抽樣比. 【參考答案】6【試題解析】 設抽取的女運動員的人數為，則根據分層抽樣的特性，有，解得.故抽取的女運動員為6人.12若（，為實數，為虛數單位），則 .【測量目標】復數代數形式的四則運算.【考察方式】通過考查復數相等來判斷學生對復數的掌握.【參考答案】3【試題解析】因為，所以.又因為都為實數，故由復數的相等的充要條件得解得所以.13已知向量，則（）與同向的單位向量的坐標表示為 ； （）向量與向量夾角的余弦值為 .【測量目標】單位向量的概念，平面向量的坐標運算，向量的數量積運算等.【考查方式】給出兩個向量，利用向量的坐標和向量的數量積來運算求值.【參考答案】（）；（）【試題解析】（）由，得.設與同向的單位向量為，則且，解得故.即與同向的單位向量的坐標為.（）由，得.設向量與向量的夾角為，則.14若變量滿足約束條件,則目標函數的最小值是 .【測量目標】二元線性規劃求目標函數最小值.【考查方式】給出約束條件，判斷可行域，利用可行域求解. 【參考答案】2【試題解析】作出不等式組所表示的可行域(如下圖的及其內部）,目標函數在的三個端點處取的值分別為13,3,2，比較可得目標函數的最小值為2.15已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 .【測量目標】考查圓柱的三視圖的識別，圓柱的體積.【考查方式】在生活中要多多觀察身邊的實物都是由什么幾何形體構成的，以及它們的三視圖的畫法. 【參考答案】【試題解析】由三視圖可知，該幾何體是由左右兩個相同的圓柱（底面圓半徑為2，高為1）與中間一個圓柱（底面圓半徑為1，高為4）組合而成，故該幾何體的體積是.16閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果 . 【測量目標】順序結構框圖和判斷結構框圖的執行求解.【考查方式】對于循環結構的輸出問題，一步一步按規律寫程序結果.【參考答案】9【試題解析】由程序框圖可知：第一次:,滿足判斷條件;第二次,滿足判斷條件第三次:,此時不滿足判斷條件，故終止運行，輸出的值.綜上，輸出的值為9.1063117傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數. 他們研究過如圖所示的三角形數：第17題圖將三角形數1，3，6，10，記為數列，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列. 可以推測：（）是數列中的第_項；（）_.（用k表示）【測量目標】數學歸納法.【考查方式】本題考查歸納推理，猜想的能力.【參考答案】（）5030；（）【試題解析】易知，寫出數列的若干項依次為：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，,發現其中能被5整除的為10,15,45,55,105,120,190,210，故.同理，.從而由上述規律可猜想：，（為正整數）.故,即是數列中的第5030項.三、解答題：本大題共5小題，共65分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18（本小題滿分12分）設函數,的圖象關于直線對稱，其中為常數，且 （）求函數的最小正周期； （）若的圖象經過點，求函數的值域. 【測量目標】三角函數的圖象的周期性，值域，誘導公式的應用.【考查方式】給出函數，利用三角函數的性質求最小值和周期.【試題解析】解：（）因為. 由直線是圖象的一條對稱軸，可得， 所以，即 又，所以，故. 所以的最小正周期是. （）由的圖象過點，得，即，即. 故，函數的值域為. 19（本小題滿分12分）A2B2C2D2CBADA1B1C1D1第19題圖某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱. （）證明：直線平面； （）現需要對該零部件表面進行防腐處理. 已知， ，（單位：厘米），每平方厘米的加工處理費為0.20元，需加工處理費多少元？ 【測量目標】線面垂直，空間幾何體的表面積；考查空間想象，運算求解以及轉化與劃歸的能力.【考查方式】通過線線垂直證明面面垂直，并用公式求體積【試題解析】解：（）因為四棱柱的側面是全等的矩形，所以，. 又因為，所以平面ABCD. 連接BD，因為平面ABCD，所以.因為底面ABCD是正方形，所以 根據棱臺的定義可知，BD與B1 D1共面. 又已知平面ABCD平面，且平面平面，平面平面，所以B1 D1BD. 于是由，B1 D1BD，可得，.又因為，所以平面. （）因為四棱柱的底面是正方形，側面是全等的矩形，所以.又因為四棱臺的上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形，所以. 于是該實心零部件的表面積為，故所需加工處理費為（元）. 20（本小題滿分13分）已知等差數列前三項的和為，前三項的積為.（）求等差數列的通項公式；（）若，成等比數列，求數列的前項和.【測量目標】本題考查等差數列的通項，求和等.【考查方式】考查分類討論的數學思想以及運算求解的能力.求等差數列的通項一般利用通項公式求解；有時需要利用等差數列的定義：（為常數）或等比數列的定義：（為常數，）來判斷該數列是等差數列或等比數列，然后再求解通項；有些數列本身不是等差數列或等比數列，但它含有無數項卻是等差數列或等比數列，這時求通項或求和都需要分段討論.【試題解析】解：（）設等差數列的公差為，則，由題意得 解得或 所以由等差數列通項公式可得，或.故，或. （）當時，分別為，不成等比數列；當時，分別為，成等比數列，滿足條件.故 記數列的前項和為.當時，；當時，；當時， . 當時，滿足此式.綜上， .21（本小題滿分14分）設是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點，點在直線上，且滿足. 當點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標； （）過原點斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，且它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 【測量目標】本題考查橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系.【考查方式】考查分類討論的數學思想以及運算求解的能力.本題是一個橢圓模型，求解標準方程時注意對焦點的位置分類討論.【試題解析】解：（）如圖1，設，則由，可得，所以，. 因為點在單位圓上運動，所以 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因為，所以當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為，；當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為，. （），設，則，因為，兩點在橢圓上，所以 兩式相減可得. 依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三點共線，所以，即. 于是由式可得.而等價于，即，又，得，故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有. 22（本小題滿分14分）設函數,，為正整數，a，b為常數. 曲線在處的切線方程為.（）求a，b的值；（）求函數的最大值；（）證明：.【測量目標】函數