澠池高中2010屆高三第一次模擬考試理科數學試卷考試時間：120分鐘總分：150分考試范圍：集合、函數與導數、數列時間：2009年9月12日一、選擇題（每小題5分，共60分）1設集合，U，則U（）2復數集合，則下列判斷不正確的是（）3若函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則的值是（）4對于任意兩個正整數，定義一種新運算，若集合，則集合中元素個數為（）5條件；條件函數在區間上存在，使得成立則是的（）充分不必要條件必要不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件6設，則（）7已知函數在處的切線平行于，當時，的取值范圍是（）8設一次函數，且成等比數列，則（）9等比數列的前項和為，且成等差數列若，則（）10已知是上的減函數，那么的取值范圍是（）11設是連續的偶函數，且當時是單調函數，則滿足的所有之和與之積分別是（）12已知集合，映射的對應法則為設，若從集合中各取一個元素組成一個對數，則組成的不同對數值的總個數為（）二、填空題（每小題5分，共20分）13定義兩個數集之間的距離是（其中）若集合，則數集之間的距離是_14已知條件；條件若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍可以是_（寫出一個可能的結果即可，不必考慮所有情況）15數列的前項和為，若，則_16若集合滿足： 對于任意，一定存在，使得，則稱集合為開集下列四個集合：， ， ， 其中是開集的是_（把符合條件的集合都填上）三、解答題（本大題共6小題，共70分）17（本小題滿分10分）記關于的不等式的解集為，關于的方程的解集為，且 求集合； 求實數的取值范圍18（本小題滿分12分）已知函數，若正實數滿足 求與的關系； 證明必有滿足的實數存在19（本小題滿分12分）已知函數（為常數）的圖象與軸的交點如圖所示： 證明：； 當時，求函數的解析式20（本小題滿分12分）已知是定義在上不恒為零的函數，對于任意的，都有成立數列滿足，且，求數列的通項公式及前項和21（本小題滿分12分）已知函數，若數列滿足， 證明：數列是等比數列； 若，設，比較與的大小22（本小題滿分12分）已知函數在處取得極值 求實數的值； 若關于的方程在區間上恰有兩個不同的實數根，求實數的取值范圍； 證明：對任意的正整數，不等式都成立二九年九月十六日星期三整理于澠高澠池高中2010屆高三第一次模擬考試理科數學試題參考答案：一、選擇題（每小題5分，共60分）題號123456789101112答案二、填空題（每小題5分，共20分）1314（答案不唯一）1516三、解答題（本大題共6小題，共70分）17 備注：此題容易忽略空集的討論18 結合函數的草圖，易得，進一步可得到 即（根據均值不等式有）展開整理可得 （）接下來處理的方式很多，例如：思路一：（直接解方程）判別式方程（）有兩不等實根即其中較大根即證思路二：（構造函數）令只需判斷就可以了19 思路一：由圖可得即證備注：按這類題目的常規思路來考慮，主要以反證法為主這里給出兩個歸謬的思路思路二：（反證法）假設則方程的兩根為和結合圖象當時，與圖象不符假設錯誤思路三：（反證法）假設求導研究此時函數的單調性（略） 依題意可得為函數在上的最大值，結合圖象有答案：20 備注：根據可得進一步有數列等差 用錯位相減法可求得21 數列是等比數列，其中首項，公比 而而從而有，至此只需比較和的大小，這里提供提供三個思路：思路一：（構造函數）令在為增函數又當時，恒成立時，即；時，即思路二：（使用二項式定理）當時，經驗證即當時即思路三：（數學歸納法）猜想時，接下來用數學歸納法證明此處略22 構造函數 求導可得：在上遞減，在上遞增再結合，模擬出在區間的草圖可得到： 這里提供三個解題思路思路一：（構造函數）求導在上遞增當時，恒成立即（）對任意恒成立接下來，令代入（）式將所得到的個式子相加即證（裂項相消）思路二：研究在定義域內的單調性可得：所以即恒成立 （當且僅當等號成立）令代入得接下來用作差法可證最終得到：（）接下來，令代入（）式將所得到的個式子相加即證（裂項相消）思路三：（數學歸納法