高考理科數學必會知識點總結1集合與簡易邏輯一、集合間的關系及其運算（1）符號“”是表示元素與集合之間關系的，如立體幾何中的體現 點與直線（面）的關系 ；符號“”或“，”或“”等是表示集合與集合之間關系的，立體幾何中的體現 面與直線(面)的關系 。（2）= ；= ；= .（3）交、并、補的運算性質：對于任意集合A、B，切記：.（4）集合中元素的個數的計算： 若集合A中有個元素，則集合A的所有不同的子集個數為 ，所有真子集的個數是(1)，所有非空真子集的個數是(2)。二、常用邏輯用語：1、四種命題：原命題：若p則q；逆命題：若q則p；否命題：若p則q；逆否命題：若q則p注：1、原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。判斷命題真假時注意轉化。2、注意命題的否定與否命題的區別：命題否定形式是；否命題是.命題“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”.3、邏輯聯結詞：且(and) ：命題形式 pq； p q pq pq p或（or）： 命題形式 pq； 真 真 真 真 假非（not）：命題形式p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”4、充要條件由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。5、全稱命題與特稱命題：短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。全稱命題p：； 全稱命題p的否定p：。特稱命題p：； 特稱命題p的否定p：；2函數和導數一、函數的性質1定義域（自然定義域、分段函數的定義域、應用題中的定義域等）；2值域（求值域：分析法、圖象法、單調性法、基本不等式法、換元法、判別式法等）；3奇偶性（在整個定義域內考慮），判斷方法：.定義法步驟：求出定義域并判斷定義域是否關于原點對稱；求； 比較或的關系；.圖象法；常用的結論已知：若非零函數的奇偶性相同，則在公共定義域內為偶函數；若非零函數的奇偶性相反，則在公共定義域內為奇函數；若是奇函數，且，則.4單調性（在定義域的某一個子集內考慮），證明函數單調性的方法：（1）.定義法 步驟：設；作差（一般結果要分解為若干個因式的乘積，且每一個因式的正或負號能清楚地判斷出）；判斷正負號。另解：設那么上是增函數；上是減函數.（2）.（多項式函數）用導數證明： 若在某個區間A內有導數，則 在A內為增函數； 在A內為減函數.（3）求單調區間的方法： a.定義法： b.導數法： c.圖象法： d.復合函數在公共定義域上的單調性：若f與g的單調性相同，則為增函數； 若f與g的單調性相反，則為減函數。注意：先求定義域，單調區間是定義域的子集.（4）一些有用的結論：奇函數在其對稱區間上的單調性相同；偶函數在其對稱區間上的單調性相反；在公共定義域內：F（）（增）=（增）+（增）； F（）（減）=（減）+（減）；F（）（增）=（增）（減）； F（）（減）=（減）（增）；一個重要的函數：函數在上單調遞增；在上是單調遞減.5函數的周期性（1）定義：若T為非零常數，對于定義域內的任一x，使恒成立，則叫做周期函數，T叫做這個函數的一個周期. T的整數倍都是的周期。二、函數的圖象1基本函數的圖象：（1）一次函數、（2）二次函數、（3）反比例函數、（4）指數函數、（5）對數函數、（6）三角函數、（7）函數.2圖象的變換（1）平移變換函數的圖象是把函數的圖象沿軸向左平移個單位得到的；函數的圖象是把函數的圖象沿軸向右平移個單位得到的；函數的圖象是把函數的圖象沿軸向上平移個單位得到的；函數的圖象是把函數的圖象沿軸向下平移個單位得到的； （2）對稱變換函數與函數的圖象關于直線x=0對稱；函數與函數的圖象關于直線y=0對稱；函數與函數的圖象關于坐標原點對稱；如果函數對于一切都有 ，那么 的圖象關于直線對稱；如果函數對于一切都有，那么 的圖象關于點對稱。函數與函數的圖象關于直線對稱。與關于直對稱。 （3）伸縮變換（主要在三角函數的圖象變換中）三、函數的反函數：1求反函數的步驟：（1）求原函數的值域B（2）把看作方程，解出（注意開平方時的符號取舍）；（3）互換x、y，得的反函數為.2定理：（1），即點在原函數圖象上點在反函數圖象上；（2）原函數與反函數的圖象關于直線對稱.3有用的結論：原函數在區間上單調的，則一定存在反函數，且反函數也單調的，且單調性相同；但一個函數存在反函數，此函數不一定單調。四、函數、方程與不等式1“實系數一元二次方程有實數解”轉化為“”，你是否注意到必須；當=0時，“方程有解”不能轉化為。若原題中沒有指出是“二次”方程、函數或不等式，你是否考慮到二次項系數可能為零的情形？2、利用二次函數的圖象和性質，討論一元二次方程實根的分布。設為方程的兩個實根。若則；當在區間內有且只有一個實根，時，當在區間內有且只有兩個實根時， 若時注意：根據要求先畫出拋物線，然后寫出圖象成立的充要條件。注意端點，驗證端點。五、指數函數與對數函數1指數式與對數式：對數的三個性質：； 對數恒等式：；對數運算性質：； ；.指數運算性質： 2指數函數與對數函數（1）特征圖象與性質歸納（列表）指數函數y=ax (a0,a1)對數函數y=log ax (a0,a1)特征圖象0a10a1定義域（，+）（0，+）值域（0，+）（，+）單調性減函數增函數減函數增函數定點（0，1）（1，0）函數值分布x1；x0時，0y1xo時，0y0時，y10x0；x1時，y00x1時，y1時，y0（2）有用的結論函數與（且）圖象關于直線對稱；函數與（且）圖象關于軸對稱；函數與（且）圖象關于軸對稱. 記住兩個指數（對數）函數的圖象如何區別？六、導數：1幾種常見函數的導數 (1) （C為常數） (2) (3) (4) (5) （6） (7) （8）2導數的運算法則（1） （2） （3）.3復合函數的求導法則 設函數在點處有導數，函數在點處的對應點U處有導數，則復合函數在點處有導數，且，或寫作.4導數的幾何物理意義：（1）幾何意義：kf/(x0)表示曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)的切線的斜率。曲線在點P(x0,f(x0)處的切線方程為：（2）Vs/(t)表示即時速度，a=v/(t) 表示加速度。5單調區間的求解過程：已知分析的定義域；求導數 ；解不等式，解集在定義域內的部分為增區間；解不等式，解集在定義域內的部分為減區間。（或用列表法，見課本）6求極大、極小值：已知分析的定義域；求導數 ；求解方程（設有根）；列表判斷個區間內導數的符號，判斷是否為極值，如果是，是極大還是極小值。注：判別是極大（?。┲档姆椒ó敽瘮翟邳c處連續時，（1）如果在附近的左側，右側，則是極大值；（2）如果在附近的左側，右側，則是極小值.注意：f/(x0)0不能得到當x=x0時，函數有極值；但是，當x=x0時，函數有極值 f/(x0)07求函數在某閉區間a,b上的最大、最小值：同上；比較、，最大的為，最小的為.注意：極值最值；最值問題一般僅在閉區間上研究（實際應用題除外，即應用題中有開區間問題）.3數列一、數列的定義和基本問題1通項公式：（用函數的觀念理解和研究數列，特別注意其定義域的特殊性）；2前n項和：；3通項公式與前n項和的關系（是數列的基本問題也是考試的熱點）：二、等差數列：1定義和等價定義：是等差數列；2通項公式：；推廣：；3前n項和公式：；4重要性質舉例：與的等差中項；若，則；特別地：若，則；奇數項，成等差數列，公差為；偶數項，成等差數列，公差為.若有奇數項項，則；，（）；若有偶數項2n項, 則，其中d為公差；設， 則有；當時，有最大值；當時，有最小值.用一次函數理解等差數列的通項公式；用二次函數理解等差數列的前n項和公式.（8）若等差數列的前項的和為，等差數列的前項的和為，則三、等比數列：1定義：成等比數列；2通項公式：；推廣；3前n項和；（注意對公比的討論）4重要性質舉例 與的等比中項G（同號）；若，則；特別地：若，則；設， 則有；用指數函數理解等比數列（當時）的通項公式.四、等差數列與等比數列的關系舉例1成等差數列成等比數列；2成等比數列成等差數列.五、數列求和方法 ：1等差數列與等比數列； 2幾種特殊的求和方法（1）裂項相消法；（2）錯位相減法：, 其中是等差數列， 是等比數列 記；則，（3）通項分解法：六、遞推數列與數列思想1遞推數列 （1）能根據遞推公式寫出數列的前幾項；（2）常見題型：由，求.解題思路：利用2數學思想（1）迭加累加（等差數列的通項公式的推導方法）若，則；（2）迭乘累乘（等比數列的通項公式的推導方法）若，則；（3）逆序相加（等差數列求和公式的推導方法）；（4）錯位相減（等比數列求和公式的推導方法）.4三角函數一、三角函數的基本概念1終邊相同的角的表示方法（終邊在軸上；終邊在軸上；終邊在直線上；終邊在第一象限等），理解弧度的意義，并能正確進行弧度和角度的換算；2任意角的三角函數的定義（三個三角函數）、三角函數的符號規律、特殊角的三角函數值、同角三角函數的關系式（三個：平方關系、商數關系、倒數關系），=， 誘導公式（奇變偶不變，符號看象限：二、兩角和與差的三角函數1和（差）角公式（1）= ；（2）= .（3）= ；（4）= .（5）= ；（6）= .2二倍角公式：（1）= ；（2）= = = ；（3）= .3有用的公式（1）升（降）冪公式：、；（2）輔助角公式：（由具體的值確定）；（3）正切公式的變形： 4有用的解題思路（1）“變角找思路，范圍保運算”；（2）“降冪輔助角公式正弦型函數”；（3）巧用與的關系；（4）巧用三角函數線數形結合.三、三角函數的圖象與性質1列表綜合三個三角函數，的圖象與性質，并挖掘：（1）最值的情況； （2）三函數的周期公式：函數，xR及函數，xR(A,為常數，且A0，0)的周期；若未說明大于0,則；函數，(A,為常數，且A0，0)的周期.（3）會從圖象歸納單調性、對稱軸和對稱中心；的單調遞增區間為單調遞減區間為，對稱軸為,對稱中心為的單調遞增區間為單調遞減區間為，對稱軸為,對稱中心為的單調遞增區間為，對稱中心為2了解正弦、余弦、正切函數的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余弦函數和函數的簡圖，并能由圖象寫出解析式（1）“五點法”作圖的列表方式；（2）求解析式時初相的確定方法：代（最高、低）點法、公式.3正弦型函數的圖象變換切記： 注意圖象變換有時用向量表達，注意兩者之間的轉譯.四、解三角形、1三個重要結論（1）正弦定理：（為三角形ABC的外接圓直徑）或寫成（2）余弦定理：，或寫成（3）三角形ABC面積公式：2在使用正弦定理時判斷一解或二解的方法：ABC中，5平面向量和空間向量一、向量的基本概念向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量.二、加法與減法運算1代數運算(1)(2)若=（）, =（）則=（）2幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。以向量=、=為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量=+,=,=.且有+3運算律向量加法有如下規律：=(交換律)；+(+ )=(+ )+ （結合律）； +0= ()=0.三、實數與向量的積實數與向量的積是一個向量。1=；(1) 當0時，與的方向相同；當0時，與的方向相反；當=0時，=0(2)若=（），則=（）2兩個向量共線的充要條件：(1) 向量與非零向量共線的充要條件是：有且僅有一個實數，使得=(2) 若=（）, =（）則四、平面向量基本定理1若、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使得=+ 2有用的結論：若、是同一平面內的兩個不共線向量，若一對實數，使得+ =0，則=0.五、向量的數量積；1向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, = ,則AOB= （）叫做向量與的夾角（兩個向量必須有相同的起點）。2兩個向量的數量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=cos 其中cos稱為向量在方向上的投影3向量的數量積的性質：若=（）, =（）（1）=cos (為單位向量)；（2）=0（，為非零向量）；（3）= ；（4）cos= =（可用于判定角是銳角還是鈍角）4向量的數量積的運算律：= ；()=()=()；()=+ 六、點P分有向線段所成的比1定義：設P1、P2是直線上兩個點，點P是上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數使=，叫做點P分有向線段所成的比。2位置討論：（1）當點P在線段上時，0；特別地：點P是線段P1P2的中點是.（2）當點P在線段或的延長線上時，0；3分點坐標公式：若=；的坐標分別為（）,（）,（）；則，（1）， 中點坐標公式：4.三點共線定理： 若則A,B,C共線的充要條件是x+y=15.點的平移公式 (圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應點為，且的坐標為).七、空間向量1. 空間兩個向量的夾角公式 cosa，b= （a，b）.2.空間兩點間的距離公式 若A，B，則 =.6不等式 一、不等式的基本性質與定理1實數的大小順序與運算性質之間的關系：； ； .2不等式的性質：（1）或（反對稱性）（2）或（傳遞性）；（3）推論1：（移項法則）；推論2：（同向不等式相加）；（4），推論1：；推論2：（5）（）；（6）（倒數法則）3常用的基本不等式和重要的不等式（1）， 當且僅當取“=”.（2）（當且僅當時取“=”）（3），則（當且僅當時取“=”）注：算術平均數，幾何平均數.（4）（當且僅當時取“=”）4、最值定理：設得（1）如積為定值，則當且僅當時有最小值；（2）如和為定值，則當且僅當時有最大值.即：積定和最小，和定積最大.注：運用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5含絕對值的不等式性質： （注意等號成立的情況）.二、解不等式1一元一次不等式 （1） ；（2）.2（1）一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；.（2）重要結論：解集為R（即對恒成立），則.（注：若二次函數系數含參數且未指明不為零時，需驗證）.3絕對值不等式：（1）零點分段討論，（2）轉化法：；（3）數形結合4指數不等式與對數不等式 (1)當時, ; .(2)當時, ; 5高次不等式、分式不等式序軸標根法（穿針引線法）步驟：形式：或（移項，一邊化為0，不要輕易去分母）；因式分解，化為積的形式（系數符號0標準式）；序軸標根；寫出解集.注意含參數的不等式的解的討論.四、一個有用的結論關于函數：1時，當時；當時.在、上是減函數；在、上是增函數.2時，在、上為增函數.7直線與圓一、直線的基本量1兩點間距離公式：若，則特別地：軸，則 ；軸，則 .2直線：與圓錐曲線C：相交的弦AB長公式 消去y得（務必注意），設A則：3直線的傾斜角與斜率（1）傾斜角；當時，直線的斜率.（2）常見問題：傾斜角范圍與斜率范圍的互化右圖4直線在軸和軸上的截距：（1）截距非距離；（2）“截距相等”的含義.二、直線的方程： 直線方程的五種形式:（1）點斜式 (直線過點，且斜率為)（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).（3）兩點式 ()(、 ().（4）截距式（5）一般式 (其中A、B不同時為0).三、兩條直線的位置關系：（1）若，； .(2)若,； 五、點到直線的距離1點到直線的距離： 2平行線間距離：若、，則.注意點：x，y對應項系數應相等.且六、圓：1確定圓需三個獨立的條件（1）標準方程：， 其中圓心為，半徑為.（2）一般方程：（其中圓心為，半徑為.2直線與圓的位置關系：設圓心C到直線l的距離為d,則相切d=r，相交dr；3兩圓的位置關系： 設兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，則外離dRr，外切dRr，相交RrdRr，內切dRr，內含dRr；8圓錐曲線一、橢圓，1定義（1）第一定義：若F1，F2是兩定點，P為動點，且 （為常數）則P點的軌跡是橢圓。（2）第二定義：若F1為定點，為定直線，動點P到F1的距離與到定直線的距離之比為常數e（0e1），則動點P的軌跡是雙曲線。2標準方程（1）焦點在軸上： ；焦點 在軸上： .（2）焦點的位置標準方程形式3幾何性質（以焦點在軸上為例）（1）范圍：或、（2）對稱性：實軸長=，虛軸長=2b，焦距=2c. （3）離心率，準線方程（4）漸近線方程：.與此有關的結論：若漸近線方程為雙曲線可設為；若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上；，焦點在y軸上）.（5）當離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設為；（6）注意中結合定義與余弦定理，將有關線段、和角結合起來。三、拋物線1定義：到定點F與定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線。即：到定點F的距離與到定直線l的距離之比是常數e（e=1）。2標準方程（以焦點在軸的正半軸為例）： （其中為焦點到準線的距離焦參數）；3幾何性質（1） 焦點：，通徑，準線：；（2） 焦半徑：， 過焦點弦長.（3）幾何特征：焦點到頂點的距離=；焦點到準線的距離=；通徑長=（通徑是最短的焦點弦），頂點是焦點向準線所作垂線段中點。（4）拋物線上的動點可設為P四、直線與圓錐曲線的關系判斷1直線與雙曲線：當直線與雙曲線的漸進線平行時，直線與雙曲線僅有一個交點.2直線與拋物線：當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線僅有一個交點.9立體幾何一、直線、平面、簡單幾何體：1、學會三視圖的分析：2、斜二測畫法應注意的地方：（）在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy。畫直觀圖時，把它畫成對應軸 ox、oy、使xoy=45（或135 ）；（）平行于軸的線段長不變，平行于軸的線段長減半（）直觀圖中的度原圖中就是度，直觀圖中的度原圖一定不是度3、表（側）面積與體積公式：柱體：表面積：S=S側+2S底；側面積：S側=；體積：V=S底h 錐體：表面積：S=S側+S底；側面積：S側=；體積：V=S底h：臺體表面積：S=S側+S上底S下底側面積：S側=球體：表面積：S=；體積：V=4、位置關系的證明（主要方法）：注意立體幾何證明的書寫（1）直線與平面平行：線線平行線面平行；面面平行線面平行。（2）平面與平面平行：線面平行面面平行。（3）垂直問題：線線垂直線面垂直面面垂直。核心是線面垂直：垂直平面內的兩條相交直線5、求角：（步驟-.找或作角；.求角）異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構造三角形；直線與平面所成的角：直線與射影所成的角二、主要思想與方法1計算問題：（1）空間角的計算步驟：一作、二證、三算異面直線所成的角 范圍：090 方法：平移法；補形法.直線與平面所成的角 范圍：090 方法：關鍵是作垂線，找射影.二面角 方法：定義法；三垂線定理及其逆定理；垂面法. 注：二面角的計算也可利用射影面積公式S=Scos來計算（2）空間距離：兩點之間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、兩條平行線間的距離、兩條異面直線間的距離、平面的平行直線與平面之間的距離、兩個平行平面之間的距離.七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯系，有些可以相互轉化，如兩條平行線的距離可轉化為求點到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉化成點到平面的距離.在七種距離中，求點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點.求點到平面的距離：（1）直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長.（2）轉移法，轉化成求另一點到該平面的距離.（3）體積法.2平面圖形的翻折，要注意翻折前后的長度、角度、位置的變化，翻折前后在同一個三角形中的角度、長度不變3在解答立體幾何的有關問題時，應注意使用轉化的思想：利用構造矩形、直角三角形、直角梯形將有關棱柱、棱錐的問題轉化成平面圖形去解決.將空間圖形展開（移出）是將立體幾何問題轉化成為平面圖形問題的一種常用方法.補法把不規則的圖形轉化成規則圖形，把復雜圖形轉化成簡單圖形.利用三棱錐體積的自等性，將求點到平面的距離等問題轉化成求三棱錐的高.10復數1.復數的相等.（）2復數的運算法則：設則3.復數的模（或絕對值）=.其中 4復數常用的運算技巧， 11概率和統計一、 概率1，古典概率定義：我們把試驗中所有可能出現的基本事件是有限個；每個基本事件出現的可能性相等，具備以上兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概率。求法：如果一次試驗中的等可能基本事件共