力學：研究彈性體由于受外力，邊界約束或溫度改變等作用而發生的應力、形變和位移。彈性力學的研究對象：為一般及復雜形狀的構件、實體結構、板、殼等。（是各種彈性體，包括桿件，平面體、空間體、板和殼體等。彈性力學研究的對象比較廣泛，可以適用于土木、水利、機械等工程中各種結構的分析。）彈性力學的任務在邊界條件下，從平衡微分方程、幾何方程和物理方程求解應力、應變和位移等未知函數研究方法已知條件：1物體的幾何形狀，即邊界面方程2物體的材料參數3所受外力的情況4所受的約束情況。求解的未知函數：應力、應變和位移。解法：在彈性體區域內，根據微分體上力的平衡條件建立平衡微分方程；根據微分線段上應變和位移的幾何條件，建立幾何方程；根據應力和應變之間的物理條件建立物理方程 彈性體邊界上，根據面力條件，建立應力邊界條件；根據約束條件建立位移邊界條件 然后在邊界條件下，求解彈性體區域內的微分方程，得出應力、形變和位移彈性力學的基本假設（即滿足什么樣條件的物體是我們在彈性力學中要研究的）（1）均勻性假設即物體是由同一種材料所組成的，在物體內任何部分的材料性質都是相同的。（用處：物體的彈性參數，如彈性模量E，不會隨位置坐標的變化而變化）（2）連續性假設即物體的內部被連續的介質所充滿，沒有任何孔隙存在。（用處：彈性體的所用物理量均可用連續的函數去表示）（3）完全彈性假設即當我們撤掉作用于物體的外力后，物體可以恢復到原狀，沒有任何的殘余變形；應力（激勵）與應變（響應）之間呈正比關系。（用處：可以使用線性虎克定律來表示應力與應變的關系）（4）各向同性假設即物體內任意一點處，在各個方向都表現出相同的材料性質。（用處：物體的彈性參數可以取為常數）（5）小變形假設即在外力的作用下，物體所產生的位移和形變都是微小的。（用處：可以在某些方程的推導中略去位移和形變的高階微量。即簡化幾何方程，簡化平衡微分方程） 上述這些假定，確定了彈性力學的研究范疇：研究理想彈性體的小變形狀態外力是其他物體作用于研究對象的力（分為體力和面力）體力是作用于物體體積內的外力（如重力和慣性力） 面力是作用于物體表面上的外力（如液體壓力和接觸力）內力假想將物體截開，則截面兩邊有互相作用的力，稱為內力切應力互等定理作用于兩個互相垂直面上，并且垂直于該兩面交線的切應力是互等的（大小等正負號相同）形變就是物體形狀的改變。在彈性力學中，通過任一點作3個沿正坐標方向的微分線段，并以這些微分線段的應變來表示該點的形變所謂位移就是位置的移動 應力單位截面積上的內力成為平面應力問題條件1等厚度薄板2面力只作用于板邊，其方向平行與中面（xOy面），且沿厚度（z向）不變3體力作用于體積內，其方向平行于中面，且沿厚度不變4約束只作用于板邊，其方向平行于中面，且沿厚度不變歸納起來講，所謂平面應力的問題，就是只有平面應力分量存在，且僅為x，y的函數的彈性力學問題成為平面應變問題條件1常截面長住體2面力作用于柱面上，其方向平行于橫截面，且沿長度方向不變3體力作用于體積內，其方向平行于橫截面，且沿長度方向不變4約束作用于柱面上，其方向平行于橫截面，且沿長度方向不變歸納起來講，所謂平面應變問題，就是只有平面應變分量存在，且僅為x，y的函數問題平衡微分方程表示區域內任一點（x，y）的微分體的平衡條件 平衡問題中一點應力狀態1求斜面應力分量（Px，Py）2由斜面應力分量求斜面上的正應力 和切應力 3求一點的主應力及應力方向4求一點的最大和最小的正應力和切應力幾彈性何方程表示任一點的微分線段上，形變分量與位移分量之間的關系式形變與位移的關系1如果物體的位移確定，則形變完全確定2當物體的形變分量確定時，位移分量不完全確定邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系式?？煞譃椋何灰七吔鐥l件、應力邊界條件和混合邊界條件位移邊界條件實質上是變形連續條件在約束邊界上的表達式應力分量和正的面力分量的正負號規定不同在正坐標面上，應力分量與面力分量同號；在負坐標面上，應力分量與面力分量異號應力邊界條件兩種表達方式：1在邊界點取出一個微分體，考慮其平衡條件2在同一邊界上，應力分量應等于對應的面力分量（數值相同，方向一致）圣維南原理如果把物體的一小部分邊界上的面力，變化為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同）那么近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計 特別注意圣維南原理只能應用于一小部分邊界上（又稱局部邊界、小邊界和次要邊界）圣維南原理推廣如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么這個面力就只會使近處產生顯著的應力而遠處的應力可以不計應力邊界條件上應用圣維南原理就是在小邊界上將精確的應力邊界條件式，代之為靜力等效的主矢量和主矩的條件形變協調條件的物理意義1形變協調條件是連續體中位移連續性的必然結果2形變協調條件是形變對應的位移存在且連續的必要條件應力求解考慮的條件1體力為常量2全部邊界上均為應力邊界條件3彈性體為單連體應力分量和剪切力必然與彈性常數無關，由此可得應力解法與模型材料無關；平面應力與平面應變問題可互換；求應力分量=平衡微分方程=非齊次特解+齊次通解按應力函數求解，應當滿足的條件是1相容方程式2應力邊界條件式。其中假設全部為應力邊界條件3對于多連體，還須滿足位移的單值條件逆解法步驟1先找出滿足相容方程的解答2由得出應力分量3在給定的邊界形狀下，根據應力邊界條件，由應力反推出相應的面力半逆解法步驟1假設應力分量的函數形式2推求應力函數的形式3由相容方程求解應力函數4由應力函數求應力分量5考察邊界條件幾何方程表示微分線段上形變和位移之間的幾何關系式空間問題物理方程兩種形式1應變用應力表示用于按應力求解方法2應力用應變表示，用于按位移求解方法解的唯一性定理符合線彈性和小變形假定的彈性體，無初應力和初應變的作用，只受到給定的體力，邊界上的面力和邊界上的約束位移的作用，則彈性體在平衡狀態時，其體內的應力、應變的解是唯一的解的疊加定理在線彈性和小變形假定下，作用于彈性體上幾組荷載產生的總效應（應力和變形），等于每組荷載產生的效應之和，且與加載順序無關虛位移原理假定處于平衡狀態的彈性體在虛位移過程中，沒有溫度的改變，也沒有速度的改變，即沒有熱能和動能的改變，則按照能量守恒定理，形變勢能的增加，等于外力勢能的減少，也就等于外力所做的功，即所謂虛功虛位移1所謂虛位移，是指滿足協調條件（位移邊界條件和幾何方程）的。在平衡狀態附近可能發生的微小位移改變2不僅適用于彈性體，也適用于一般的可變形體3虛位移是位移狀態即位移函數的微小改變。虛位移在數學上稱為位移的變分，因此虛位移原理式又稱為位移變分方程4注意微分和變分是不同的概念，兩者的自變量和因變量是不同的。虛功方程處于平衡狀態的彈性體，當發生虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功，等于應力在相應的虛應變上所做的功最小勢能原理在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的各組位移中間，實際存在的一組位移應使彈性體的總勢能成為極值?？紤]到二階變分可以得出對于穩定平衡狀態，這個極值是極小值外力功的互等定理符合線彈性和小變形假定的彈性體，若受到兩組不同的外力作用，則第一組外力在第二組外力引起的位移上所做的功，等于第二組外力在第一組外力引起的位移上所做的功三種數值解法變分法、差分法和有限單元法有限單元法的兩種導出方法1結構力學方法：首先將結構離散化，把連續體變換為離散化結構，再應用結構力學方法求解2變分方法：同樣將連續體變換為離散化結構，再將連續體中的變分原理推廣應用到離散化結構，從而導出有限單元法有限單元法特點1具有極大的可解性2具有極大的通用性3只要適當的加密網格，就可以達到工程要求的精度有限單元法用結構力學方法求解彈性力學問題有限單元法主要內容1結構離散化將連續體變換為離散化結構2對離散化結構應用結構力學方法求解a.單元的位移模式b.單元的應變和應力列陣c.單元的節點力列陣d.單元的結點荷載列陣離散化結構構成將連續體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在單元邊界上的一些結點處用鉸連接起來保證有限單元法收斂性，位移滿足條件1位移模式必須能反映單元的剛體位移2位移模式必須能反映單元的常量應變3位移模式應盡可能反映位移的連續性移置原則1剛體靜力等效原則：使原荷載與移置荷載的主矢量相同，對同一點的主矩也相同2變形體靜力等效 ：在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等整體勁度矩陣由單元勁度矩陣的元素集合合成，因此，K也具有對稱性。又由于列每一結點的方程時，只涉及此結點周圍的一些結點，所以K矩陣具有高度的稀疏性提高應力精度，解決應力波動性問題，兩種方法1繞結點平均法：把環繞某一結點的各單元的常量應力加以平均，用來表征該結點出的應力2兩相鄰單元平均法：把兩個相鄰單元的常量應力加以平均，用來表征公共邊中點處的應力應力波動性在相鄰的兩單元中，如果一個單元的應力比真解低，則相鄰單元的應力會比真解高一概念1彈性力學，也稱彈性理論，是固體力學學科的一個分支。 2.固體力學包括理論力學、材料力學、結構力學、塑性力學、振動理論、斷裂力學、復合材料力學。3基本任務：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內部所產生的應力、形變和位移及其分布情況等。.4研究對象是完全彈性體，包括桿件、板和三維彈性體，比材料力學和結構力學的研究范圍更為廣泛5.彈性力學基本方法：差分法、變分法、有限元法、實驗法.6彈性力學研究問題，在彈性體內嚴格考慮靜力學、幾何學和物理學 三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精確的解答；.7.彈性力學中的基本假定：連續性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假定。8.幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關系。9.物理方程反映的是應力分量與形變分量之間的關系。10.平衡微分方程反映的是應力分量與體力分量之間的關系。11當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。反之，當形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。12.邊界條件表示在邊界上位移與約束、或應力與面力之間的關系式。它可以分為位移邊界條件、應力邊界條件和混合邊界條件。13圣維南原理主要內容：如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對同一點的主矩也相同），那么只在作用邊界近處的應力有顯著的改變，而在距離外力作用點較遠處，其影響可以忽略不計。14. 圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產生顯著的應力，而遠處的應力可以不計。這是因為主失量和主矩都等于零的面力，與無面力狀態是靜力等效的，只能在近處產生顯著的應力。15.求解平面問題的兩種基本方法：位移法、應力法。16.彈性力學的基本原理：解的唯一性原理解的疊加原理圣維南原理。會推導兩種平衡微分方程17.逆解法步驟：(1)先假設一滿足相容方程(2-25)的應力函數 （2）由式(2-24)，根據應力函數求得應力分量 （3）在確定的坐標系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據主要邊界上的面力邊界條件(2-15)或次要邊界上的積分邊界條件, 分析這些應力分量對應于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應力函數可以解決什么樣的問題。（或者根據已知面力確定應力函數或應力分量表達式中的待定系數18.半逆解法步驟：(1)對于給定的彈性力學問題，根據彈性體的幾何形狀、受力特征和變形的特點或已知的一些簡單結論，如材料力學得到的初等結論，假設部分或全部應力分量的函數形式(2)按式(2-24)，由應力推出應力函數f的一般形式（含待定函數項）；(3)將應力函數f代入相容方程進行校核，進而求得應力函數f的具體表達形式；(4)將應力函數f代入式(2-24)，由應力函數求得應力分量(5)根據邊界條件確定未知函數中的待定系數；考察應力分量是否滿足全部應力邊界條件。如果都能滿足，則所得出的解就是正確解，否則要重新假設應力分量，重復上述過程并進行求解。. 19. “小孔口問題”應符合兩個條件：（1）孔口尺寸遠小于彈性體的尺寸，這使孔口的存在所引起的應力擾動只局限于一個小的范圍內；（2）孔邊距離彈性體邊界比較遠（約大于1.5倍的孔口尺寸），這使孔口與邊界之間不發生相互干擾。20. 在小孔口問題中，孔口附近將發生應力集中現象，它具有兩個特點：（1）孔附近的應力高度集中，即孔附近的應力遠大于遠處的應力，或遠大于無孔時的應力。（2）應力集中的局部性，由于孔口存在而引起的應力擾動范圍主要集中在距孔邊1.5倍的孔口尺寸（如圓也直徑）的范圍內，在此范圍之外，可以忽略不計。21.FEM（有限元法）分析的主要步驟： （1）將連續體變化為離散化結構。 （2）對單元體進行分析 a單元的位移模式 b單元的應變列陣 c單元的應力列陣 d單元的結點力列陣 f單元的等效結點荷載列陣 （3）整體分析二、公式1. 已求出應力分量，求位移分量的步驟：（1）將應力分量 代入物理方程 求出應變分量（2）將應變分量帶入幾何方程求出位移分量2.極坐標中的邊界條件是：3. 應力分量由直角坐標向極坐標的變換式為.：應力分量由極坐標向直角坐標的的轉換式4.在將平面應