第13章時間序列預測 13 1時間序列的構成13 2簡單平均法13 3移動平均法13 4指數平滑法13 5趨勢外推法13 6復合型序列的分解 時間序列 timesseries 同一現象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的數列形式上由現象所屬的時間和現象在不同時間上的觀察值兩部分組成排列的時間可以是年份 季度 月份或其他任何時間形式 13 1時間序列的構成 趨勢 季節 周期 隨機性 趨勢 trend 呈現出某種持續向上或持續下降的狀態或規律季節性 seasonality 也稱季節變動 Seasonalfluctuation 時間序列在一年內重復出現的周期性波動周期性 cyclity 也稱循環波動 Cyclicalfluctuation 圍繞長期趨勢的一種波浪形或振蕩式變動隨機性 random 也稱不規則波動 Irregularvariations 除去趨勢 周期性和季節性之后的偶然性波動 時間序列的構成模型 時間序列的構成要素分為四種 即趨勢 T 季節性或季節變動 S 周期性或循環波動 C 隨機性或不規則波動 I 時間序列的分解模型乘法模型Yi Ti Si Ci Ii加法模型Yi Ti Si Ci Ii 13 2簡單平均法 simpleaverage 根據過去已有的t期觀察值來預測下一期的數值設時間序列已有的其觀察值為Y1 Y2 Yt 則第t 1期的預測值Ft 1為可計算出第t 1期的預測誤差為第t 2期的預測值為 簡單平均法的特點 適合對較為平穩的時間序列進行預測 即當時間序列沒有趨勢時 用該方法比較好如果時間序列有趨勢或有季節變動時 該方法的預測不夠準確將遠期的數值和近期的數值看作對未來同等重要 但是從預測角度看 近期的數值要比遠期的數值對未來有更大的作用 因此簡單平均法預測的結果不夠準確 13 3移動平均法 movingaverage 對簡單平均法的一種改進方法通過對時間序列逐期遞移求得一系列平均數作為趨勢值或預測值有簡單移動平均法和加權移動平均法兩種 簡單移動平均法 simplemovingaverage 將最近k期數據加以平均作為下一期的預測值設移動間隔為k 1 k t 則t期的移動平均值為t 1期的簡單移動平均預測值為預測誤差用均方誤差 MSE 來衡量 簡單移動平均法 將每個觀察值都給予相同的權數只使用最近期的數據 在每次計算移動平均值時 移動的間隔都為k主要適合對較為平穩的時間序列進行預測應用時 關鍵是確定合理的移動間隔長度k對于同一個時間序列 采用不同的移動步長預測的準確性是不同的選擇移動步長時 可通過試驗的辦法 選擇一個使均方誤差達到最小的移動步長 簡單移動平均法 例題分析 例 對居民消費價格指數數據 分別取移動間隔k 3和k 5 用Excel計算各期的居民消費價格指數的平滑值 預測值 計算出預測誤差 并將原序列和預測后的序列繪制成圖形進行比較 用Excel進行移動平均預測 簡單移動平均法 例題分析 加權移動平均法 weightedmovingaverage 對近期的觀察值和遠期的觀察值賦予不同的權數后再進行預測當時間序列的波動較大時 最近期的觀察值應賦予最大的權數 較遠的時期的觀察值賦予的權數依次遞減當時間序列的波動不是很大時 對各期的觀察值應賦予近似相等的權數所選擇的各期的權數之和必須等于1 對移動間隔 步長 和權數的選擇 也應以預測精度來評定 即用均方誤差來測度預測精度 選擇一個均方誤差最小的移動間隔和權數的組合 13 4指數平滑法 exponentialsmoothing 是加權平均的一種特殊形式對過去的觀察值加權平均進行預測的一種方法觀察值時間越遠 其權數也跟著呈現指數的下降 因而稱為指數平滑有一次指數平滑 二次指數平滑 三次指數平滑等一次指數平滑法也可用于對時間序列進行修勻 以消除隨機波動 找出序列的變化趨勢 一次指數平滑 singleexponentialsmoothing 只有一個平滑系數觀察值離預測時期越久遠 權數變得越小以一段時期的預測值與觀察值的線性組合作為第t 1期的預測值 其預測模型為 Yt為第t期的實際觀察值Ft為第t期的預測值 為平滑系數 0 1 一次指數平滑 在開始計算時 沒有第1期的預測值F1 通常可以設F1等于第1期的實際觀察值 即F1 Y1第2期的預測值為第3期的預測值為 一次指數平滑 預測誤差 預測精度 用誤差均方來衡量Ft 1是第t期的預測值Ft加上用 調整的第t期的預測誤差 Yt Ft 一次指數平滑 的確定 不同的 會對預測結果產生不同的影響一般而言 當時間序列有較大的隨機波動時 宜選較大的 以便能很快跟上近期的變化當時間序列比較平穩時 宜選較小的 選擇 時 還應考慮預測誤差用均方誤差來衡量預測誤差的大小確定 時 可選擇幾個進行預測 然后找出預測誤差最小的作為最后的值 一次指數平滑 用Excel進行指數平滑預測第1步 選擇 工具 下拉菜單第2步 選擇 數據分析 選項 并選擇 指數平滑 然后確定第3步 當對話框出現時在 輸入區域 中輸入數據區域輸入 阻尼系數 注意 阻尼系數 1 的值選擇 確定 例 對居民消費價格指數數據 選擇適當的平滑系數 采用Excel進行指數平滑預測 計算出預測誤差 并將原序列和預測后的序列繪制成圖形進行比較 一次指數平滑 一次指數平滑 13 5趨勢外推法 1線性趨勢分析和預測2非線性趨勢分析和預測 線性趨勢 lineartrend 現象隨著時間的推移而呈現出穩定增長或下降的線性變化規律由影響時間序列的基本因素作用形成測定方法主要有 移動平均法 指數平滑法 線性模型法等 線性模型法 線性方程的形式為 時間序列的趨勢值t 時間標號a 趨勢線在Y軸上的截距b 趨勢線的斜率 表示時間t變動一個單位時觀察值的平均變動數量 線性模型法 a和b的最小二乘估計 趨勢方程中的兩個未知常數a和b按最小二乘法 Least squareMethod 求得根據回歸分析中的最小二乘法原理使各實際觀察值與趨勢值的離差平方和為最小最小二乘法既可以配合趨勢直線 也可用于配合趨勢曲線根據趨勢線計算出各個時期的趨勢值 線性模型法 a和b的求解方程 根據最小二乘法得到求解a和b的標準方程為 解得 預測誤差可用估計標準誤差來衡量 m為趨勢方程中未知常數的個數 線性模型法 例 根據人口自然增長率數據 用最小二乘法確定直線趨勢方程 計算出各期的趨勢值和預測誤差 預測2001年的人口自然增長率 并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進行比較 線性趨勢方程 預測的估計標準誤差 2001年人口自然增長率的預測值 線性模型法 線性模型法 現象的發展趨勢為拋物線形態一般形式為根據最小二乘法求a b c的標準方程 二次曲線 seconddegreecurve 二次曲線 例 根據能源生產總量數據 計算出各期的趨勢值和預測誤差 預測2001年的能源生產總量 并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進行比較 二次曲線方程 預測的估計標準誤差 2001年能源生產總量的預測值 二次曲線 例題分析 二次曲線 例題分析 用于描述以幾何級數遞增或遞減的現象一般形式為 指數曲線 exponentialcurve a b為未知常數若b 1 增長率隨著時間t的增加而增加若b0 b 1 趨勢值逐漸降低到以0為極限 指數曲線 a b的求解方法 采取 線性化 手段將其化為對數直線形式根據最小二乘法 得到求解lga lgb的標準方程為求出lga和lgb后 再取其反對數 即得算術形式的a和b 指數曲線 例 根據人均GDP數據 確定指數曲線方程 計算出各期的趨勢值和預測誤差 預測2001年的人均GDP 并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進行比較 指數曲線趨勢方程 預測的估計標準誤差 2001年人均GDP的預測值 指數曲線 指數曲線 指數曲線與直線的比較 比一般的趨勢直線有著更廣泛的應用可以反應現象的相對發展變化程度上例中 b 0 170406表示1986 2000年人均GDP的年平均增長率為17 0406 不同序列的指數曲線可以進行比較比較分析相對增長程度 修正指數曲線 趨勢值K無法事先確定時采用將時間序列觀察值等分為三個部分 每部分有m個時期令趨勢值的三個局部總和分別等于原序列觀察值的三個局部總和 修正指數曲線 求解k a b的三和法 根據三和法求得 設觀察值的三個局部總和分別為S1 S2 S3 修正指數曲線 例題分析 例 我國1983 2000年的糖產量數據如表 試確定修正指數曲線方程 計算出各期的趨勢值和預測誤差 預測2001年的糖產量 并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進行比較 修正指數曲線 例題分析 修正指數曲線 例題分析 解得K a b如下 修正指數曲線 例題分析 糖產量的修正指數曲線方程2001年糖產量的預測值預測的估計標準誤差 修正指數曲線 例題分析 以英國統計學家和數學家B Gompertz的名字而命名一般形式為 Gompertz曲線 描述的現象 初期增長緩慢 以后逐漸加快 當達到一定程度后 增長率又逐漸下降 最后接近一條水平線兩端都有漸近線 上漸近線為Y K 下漸近線為Y 0 K a b為未知常數K 0 0 a 1 0 b 1 Gompertz曲線 求解K a b的三和法 仿照修正指數曲線的常數確定方法 求出lga lgK b取lga lgK的反對數求得a和K 則有 將其改寫為對數形式 令 Gompertz曲線 例題分析 例 我國1983 2000年的糖產量數據如表 試確定修正指數曲線方程 計算出各期的趨勢值和預測誤差 預測2001年的糖產量 并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進行比較 Gompertz曲線 例題分析 Gompertz曲線 例題分析 糖產量的Gompertz曲線方程 2001年糖產量的預測值 預測的估計標準誤差 Gompertz曲線 例題分析 羅吉斯蒂曲線 Logisticcurve 1838年比利時數學家Verhulst所確定的名稱該曲線所描述的現象的與Gompertz曲線類似3 其曲線方程為 K a b為未知常數K 0 a 0 0 b 1 Logistic曲線 求解k a b的三和法 取觀察值Yt的倒數Yt 1當Yt 1很小時 可乘以10的適當次方a b K的求解方程為 趨勢線的選擇 觀察散點圖根據觀察數據本身 按以下標準選擇趨勢線一次差大體相同 配合直線二次差大體相同 配合二次曲線對數的一次差大體相同 配合指數曲線一次差的環比值大體相同 配合修正指數曲線對數一次差的環比值大體相同 配合Gompertz曲線倒數一次差的環比值大體相同 配合Logistic曲線3 比較估計標準誤差 13 6復合型序列的分解 季節性分析趨勢分析周期性分析 季節指數 seasonalindex 刻畫序列在一個年度內各月或季的典型季節特征以其平均數等于100 為條件而構成反映某一月份或季度的數值占全年平均數值的大小如果現象的發展沒有季節變動 則各期的季節指數應等于100 季節變動的程度是根據各季節指數與其平均數 100 的偏差程度來測定如果某一月份或季度有明顯的季節變化 則各期的季節指數應大于或小于100 季節指數 例題分析 例 下表是一家啤酒生產企業1997 2002年各季度的啤酒銷售量數據 試計算各季的季節指數 季節指數 例題分析 季節指數 例題分析 季節指數 例題分析 分離季節因素 將季節性因素從時間序列中分離出去 以便觀察和分析時間序列的其他特征方法是將原時間序列除以相應的季節指數結果即為季節因素分離后的序列 它反映了在沒有季節因素影響的情況下時間序列的變化形態 趨勢分析 根據分離季節性因素的序列確定線性趨勢方程根據趨勢方程計算各期趨勢值根據趨勢方程進行預測該預測值不含季節性因素 即在沒有季節因素影響情況下的預測值如果要求出含有季節性因素的銷售量的預測值 則需要將上面的預測值乘以相應的季節指數 趨勢分析 例題分析 趨勢分析 例題分析 周期性分