2.1.2演繹推理學習目標1.理解演繹推理的意義.2.掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.知識點一演繹推理思考違法犯罪都要承擔相應的法律責任，盜竊行為都是違法犯罪，所以盜竊行為都要承擔相應的法律責任.上述推理過程是合情推理嗎？有什么特點？答不是合情推理，是由一般性原理推出特殊性情況下的結論.1.含義：根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程.2.特點：(1)演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結論是蘊涵于前提之中的個別、特殊事實，結論完全蘊涵于前提之中.(2)在演繹推理中，前提與結論之間存在必然的聯系.(3)演繹推理是一種收斂性的思維方法，它較少創造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學的理論化和系統化.知識點二三段論思考前面“知識點一”中的推理中，“一般原理”與“特殊情況”分別指的是什么？答“一般原理”是指“違法犯罪都要承擔相應的法律責任”，“特殊情況”是指“盜竊行為都是違法犯罪”.“三段論”是演繹推理的一般模式：一般模式常用格式大前提提供了一個一般性的原理m是p小前提指出了一個特殊對象s是m結論揭示了一般原理與特殊對象的內在聯系s是p類型一演繹推理例1將下列演繹推理寫成三段論的形式.(1)平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分；(2)等腰三角形的兩底角相等，a，b是等腰三角形的底角，則ab.解(1)平行四邊形的對角線互相平分，(大前提)菱形是平行四邊形，(小前提)菱形的對角線互相平分.(結論)(2)等腰三角形的兩底角相等，(大前提)a，b是等腰三角形的底角，(小前提)ab.(結論)反思與感悟用三段論寫推理過程時，關鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個命題結合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內在聯系.有時可省略小前提，有時甚至也可把大前提與小前提都省略，在尋找大前提時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提.跟蹤訓練1把下列推斷寫成三段論的形式.(1)因為abc三邊的長依次為3,4,5，所以abc是直角三角形；(2)函數y2x5的圖象是一條直線；(3)ysin x(xr)是周期函數.解(1)一條邊的平方等于其他兩條邊平方和的三角形是直角三角形，(大前提)abc三邊的長依次為3,4,5，而324252，(小前提)abc是直角三角形.(結論)(2)一次函數ykxb(k0)的圖象是一條直線，(大前提)函數y2x5是一次函數，(小前提)函數y2x5的圖象是一條直線.(結論)(3)三角函數是周期函數，(大前提)ysin x(xr)是三角函數，(小前提)ysin x(xr)是周期函數.(結論) 類型二三段論在證明幾何問題中的應用例2用三段論分析下題的證明過程.如圖，點d、e、f分別是邊bc、ca、ab上的點，bfda，deba，求證：edaf.證明過程如下：bfda，fdae，又deba，四邊形afde是平行四邊形，edaf.解上述推理過程應用了三次三段論.第一次省略大前提和小前提的部分內容；第二次省略大前提并承前省略了其中一組對邊平行的條件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演繹推理過程如下：因為同位角相等，兩條直線平行，(大前提)bfd與a是同位角，且bfda，(小前提)所以fdae.(結論)因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提)deba，且fdae，(小前提)所以四邊形afde為平行四邊形.(結論)因為平行四邊形的對邊相等，(大前提)ed和af為平行四邊形afde的對邊，(小前提)所以edaf.(結論)反思與感悟(1)數學問題的解決和證明都蘊含著演繹推理，即一連串的三段論，關鍵是找到每一步推理的依據大前提、小前提，注意前一個推理的結論可作為下一個三段論的前提.(2)用三段論證明命題的步驟：理清證明命題的一般思路；找出每一個結論得出的原因；把每個結論的推理過程用“三段論”表示出來.跟蹤訓練2有一段演繹推理：“直線平行于平面，則平行于平面內所有直線；已知直線b在平面外，直線a在平面內，直線b平面，則直線b直線a”，結論顯然是錯誤的，這是因為_.大前提錯誤；小前提錯誤；推理形式錯誤；非以上錯誤.答案解析直線平行于平面，則該直線與平面內的直線平行或異面，故大前提錯誤.類型三演繹推理在代數問題中的應用例3已知定義域為0,1的函數f(x)同時滿足以下三個條件：對任意的x0,1，總有f(x)0；f(1)1；若“當x10，x20，且x1x21時，有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立”，則稱函數f(x)為“友誼函數”.(1)若已知函數f(x)為“友誼函數”，求f(0)的值；(2)函數g(x)2x1在區間0,1上是否為“友誼函數”？并給出理由；(3)已知函數f(x)為“友誼函數”，且0x1x21，求證：f(x1)f(x2).(1)解取x1x20，得f(0)f(0)f(0)，由f(0)0，得f(0)0.(2)解顯然函數g(x)2x1在0,1上滿足g(x)0；g(1)1；若x10，x20，且x1x21，則有g(x1x2)g(x1)g(x2)2x1x21(2x11)(2x21)(2x11)(2x21)0.故函數g(x)2x1滿足條件，所以函數g(x)2x1為“友誼函數”.(3)證明因為0x1x21，所以0x2x11，則f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1).即f(x1)f(x2).反思與感悟在幾何、代數證題過程中，如果每一次都按三段論寫出解答過程會很煩瑣，也不必要.因此實際證題中，那些公認的簡單事實，已知的公理、定理等大前提條件可以省略，那些前面證得的結論也可省略，但必須要保證證題過程的嚴密規范.跟蹤訓練3已知an是各項均為正數的等差數列，lg a1，lg a2，lg a4成等差數列，又bn (n1,2,3，).證明：bn為等比數列.證明因為lg a1，lg a2，lg a4成等差數列，所以2lg a2lg a1lg a4，即aa1a4.若an的公差為d，則(a1d)2a1(a13d)，a1dd2，從而d(da1)0.若d0，an為常數列，相應bn也是常數列，此時bn是首項為正數，公比為1的等比數列.若da10，則a2na1(2n1)d2nd，bn.這時bn是首項b1，公比為的等比數列.綜上，bn為等比數列.1.正弦函數是奇函數，f(x)sin(x21)是正弦函數，因此f(x)sin(x21)是奇函數.以上推理_.結論正確；大前提不正確；小前提不正確；全不正確.答案解析由于函數f(x)sin(x21)不是正弦函數.故小前提不正確，故填.2.三段論“只有船準時起航，才能準時到達目的港，這艘船是準時到達目的港的，這艘船是準時起航的.”中的小前提是_.答案解析本題中為大前提，為小前提，為結論.3.在三段論“a(1,0)，b(0，1)，ab(1,0)(0，1)100(1)0，ab”中，大前提：_，小前提：_，結論：_.答案若ab0，則aba(1,0)，b(0，1)，ab(1,0)(0，1)0，ab解析本題中，大前提“若ab0，則ab”被省略；“a(1,0)，b(0，1)，ab(1,0)(0，1)100(1)0”為小前提；“ab”為結論.4.用三段論的形式寫出下列命題：(1)rtabc的內角和為180；(2)通項公式an3n2的數列an是等差數列.解(1)三角形的內角和是180，(大前提)rtabc是三角形，(小前提)rtabc的內角和為180.(結論)(2)若n2時，anan1為常數，則數列an是等差數列，(大前提)an3n2，anan13，(小前提)則數列an是等差數列.(結論)1.演繹推理是一種由一般性命題推演出特殊性命題的推理方法.演繹推理的前提是一般性的原理，演繹推理所得的結論是蘊涵于前提之中的個別、特殊事實，結論完全蘊涵于前提之中.在數學中，證明命題的正確性都是使用演繹推理，而合情推理一般不能用于命題的證明.2.“三段論”是演繹推理的一般模式(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情況；(3)結論據一般原理，對特殊情況作出的判斷.3.應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略.一、填空題1.下列說法正確的是_.演繹推理是由一般到特殊的推理；演繹推理得到的結論一定是正確的；演繹推理一般模式是“三段論”形式；演繹推理的結論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關.答案解析演繹推理是由一般到特殊的推理，是一種必然性的推理，故正確；演繹推理得到的結論不一定是正確的，這要取決于前提是否真實，推理的形式是否正確，故不正確；演繹推理一般模式是“三段論”形式，即大前提、小前提和結論，故正確；演繹推理的結論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關，故正確.綜上可知有3個說法是正確的.2.已知abc中，a30，b60，求證ab.證明：a30，b60，ab，ab，畫線部分是演繹推理的_.大前提；小前提；結論；三段論.答案解析結合三段論的特征可知，該證明過程省略了大前提“在同一個三角形中大角對大邊”，因此畫線部分是演繹推理的小前提.3.“指數函數yax(a0且a1)是r上的增函數，而y()x是指數函數，所以y()x是r上的增函數”，上述三段論推理過程中導致結論錯誤的是_.大前提；小前提；大、小前提；推理形式.答案解析指數函數yax當a1時在r上是增函數，當0a1時，在r上是減函數，故上述三段論的證明中，“大前提”出錯.4.下列幾種推理過程是演繹推理的是_.兩條直線平行，同旁內角互補，因為a和b是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內角，所以ab180；我國地質學家李四光發現中國松遼平原和中亞細亞的地質結構類似，而中亞細亞有豐富的石油，由此，他推斷松遼平原也蘊藏著豐富的石油；由633,835,1037,1257,1477，得出結論：一個偶數(大于4)可以寫成兩個奇質數的和；在數列an中，a11，an(an1)(n2)，由此歸納出an的通項公式.答案解析中“兩條直線平行，同旁內角互補”是大前提，是真命題，該推理為三段論推理，為類比推理，都是歸納推理.5.“四邊形abcd是矩形，四邊形abcd的對角線相等.”以上推理的大前提是_.答案矩形都是對角線相等的四邊形解析大前提為矩形都是對角線相等的四邊形.6.在求函數y的定義域時，第一步推理中大前提是“當有意義時，a0”；小前提是“有意義”；結論是“_”.答案y的定義域是4，)解析由log2x20得x4.7.有一段演繹推理：大前提：整數是自然數；小前提：3是整數；結論：3是自然數.這個推理顯然錯誤，則錯誤的原因是_錯誤.(從“大前提”“小前提”“結論”中擇一填寫).答案大前提8.用三段論證明函數f(x)x在(1，)上為增函數的過程如下，試將證明過程補充完整：如果函數f(x)滿足：在給定區間內任取自變量的兩個值x1，x2，若x1x2，則f(x1)f(x2)，那么函數f(x)在給定區間內是增函數.(大前提)_.(小前提)所以函數f(x)x在(1，)上為增函數.(結論)答案任取x1，x2(1，)，x1x2，則f(x1)f(x2)，由于1x1x2，故x1x21，故x1x210，所以f(x1)f(x2)解析小前提要說明函數f(x)x對(1，)內任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，f(x1)c，ac；75不能被2整除，75是奇數；ab，b平面，a平面.答案解析當a0時，abac，但bc未必成立.11.已知集合af(x)|f2(x)f2(y)f(xy)f(xy)，x、yr，有下列命題：若函數f(x)則f(x)a；若函數f(x)kx，則f(x)a；若函數f(x)a，則yf(x)可為奇函數；若f(x)a，則對任意不等實數x1、x2，總有0，錯.二、解答題12.如圖，在三棱錐vabc中，平面vab平面abc，vab為等邊三角形，acbc且acbc，點o，m分別為ab，va的中點.(1)求證：vb平面moc；(2)求證：平面moc平面vab；(3)求三棱錐vabc的體積.(1)證明因為o，m分別為