5.1萬有引力定律及引力常量的測定學案【學習目標】1在開普勒第三定律的基礎上，初步理解推導萬有引力定律的過程。2通過卡文迪許扭秤的巧妙設計，滲透科學發現與科學實驗的方法論教育。3介紹萬有引力恒量的測定方法，增加對萬有引力定律的感性認識。【學習重點】萬有引力定律的推導過程，既是本節課的重點，又是學生理解的難點。【問題學習】1我們還知道，月球是繞地球做圓周運動的，那么我們想過沒有，月球做圓周運動的向心力是由誰提供的呢？2把一個粉筆頭由靜止釋放，粉筆頭會下落到地面，這又是為什么？3萬有引力定律的推導當時有一個天文學家開普勒通過觀測數據得到了一個規律：所有行星軌道半徑的3次方與運動周期的2次方之比是一個定值，即開普勒第三定律。用公式寫成 = k根據圓周運動向心力關系：f = m2r = m()2r用t2 = 代入，得f = 其中m為行星質量，r為行星軌道半徑，即太陽與行星的距離。也就是說，太陽對行星的引力正比于行星的質量而反比于太陽與行星的距離的平方。而此時牛頓已經得到他的第三定律，即作用力等于反作用力，用在這里，就是行星對太陽也有引力。同時，太陽也不是一個特殊物體，它和行星之間的引力也應與太陽的質量m成正比（這是理解推導萬有引力定律的難點）即 f用語言表述，就是太陽與行星之間的引力，與它們質量的乘積成正比，與它們距離的平方成反比。這就是牛頓的萬有引力定律。用公式表示為f = g其中g為一個常數，叫做引力恒量。注意：牛頓得出這個規律，是在與胡克等人的探討中得到的。【疑難解析】 (1)萬有引力存在于任何兩個物體之間。雖然我們推導萬有引力定律是從太陽對行星的引力導出的，但太陽與行星都不是特殊的物體，所以萬有引力存在于任何兩個物體之間。也正因為此，這個引力稱做萬有引力。只不過一般物體的質量與星球相比過于小了，它們之間的萬有引力也非常小，完全可以忽略不計。所以萬有引力定律的表述是：任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小跟兩個物體的質量的乘積成正比，跟它們距離的平方。即 f = g 其中m1、m2分別表示兩個物體的質量，r為它們間的距離。(2)萬有引力定律中的距離r，其含義是兩個質點間的距離。兩個物體相距很遠，則物體一般可以視為質點。但如果是規則形狀的均勻物體相距較近，則應把r理解為它們的幾何中心的距離。例如物體是兩個球體，r就是兩個球心間的距離。(3)萬有引力是因為物體有質量而產生的引力。從萬有引力定律可以看出，物體間的萬有引力由相互作用的兩個物體的質量決定，所以質量是萬有引力的產生原因。（4）萬有引力恒量的測定牛頓發現了萬有引力定律，但萬有引力恒量g這個常數是多少，連他本人也不知道。萬有引力定律發現了100多年，萬有引力恒量仍沒有一個準確的結果，這個公式就仍然不能是一個完善的等式。直到100多年后，英國人卡文迪許利用扭秤，才巧妙地測出了這個恒量。卡文迪許測定的g值為6.75410-11，現在公認的g值為6.6710-11。需要注意的是，這個萬有引力恒量是有單位的：它的單位應該是乘以兩個質量的單位千克，再除以距離的單位米的平方后，得到力的單位牛頓，故應為nm2/kg2。由于萬有引力恒量的數值非常小，所以一般質量的物體之間的萬有引力是很小的，我們可以估算一下，兩個質量50kg的同學相距0.5m時之間的萬有引力有多大(可由學生回答：約6.6710-7n)，這么小的力我們是根本感覺不到的。只有質量很大的物體對一般物體的引力我們才能感覺到，如地球對我們的引力大致就是我們的重力，月球對海洋的引力導致了潮汐現象。而天體之間的引力由于星球的質量很大，又是非常驚人的：如太陽對地球的引力達3.561022n。例1：下列關于地球同步衛星的說法中正確的是：a、為避免通訊衛星在軌道上相撞，應使它們運行在不同的軌道上b、通訊衛星定點在地球赤道上空某處，所有通訊衛星的周期都是24hc、不同國家發射通訊衛星的地點不同，這些衛星的軌道不一定在同一平面上d、不同通訊衛星運行的線速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。 bd 探討評價：通訊衛星即地球同步通訊衛星，它的特點是：與地球自轉周期相同，角速度相同；與地球赤道同平面，在赤道的正上方，高度一定，繞地球做勻速圓周運動；線速度、向心加速度大小相同。3 顆同步衛星就能覆蓋地球。例2：設地球表面物體的重力加速度為g0，物體在距離地心4r（r是地球的半徑）處，由于地球的作用而產生的加速度為g，則g/g0為（ ） a1 b1/9 c1/4 d1/16 解析：本題是萬有引力定律的簡單應用，物體在地球表面的重力加速度和在高空中的加速度都是由地球對物體的萬有引力產生的。根據萬有引力定律和牛頓第二定律就可以解決該題。 設地球質量為m，質量為m的物體受到地球的萬有引力產生加速度，在地球表面和高空分別有 解得g/g0=1/16答案選：d 拓展：物體運動的加速度由它受到的力產生，通常情況下不考慮地球的自轉，物體受到的重力大小就認為等于它受到地球的萬有引力。本題中物體在地面的重力加速度和高空中運動的加速度都認為是萬有引力產生的，然后運用牛頓第二定律，建立物體受到的萬有引力與物體運動的加速度之間的聯系，從而解決問題。 例3：卡文迪許測出萬有引力常量后，人們就能計算出地球的質量。現公認的引力常量g=6.6710-11nm2/kg2，請你利用引力常量、地球半徑r和地面重力加速度g，估算地球的質量。（r=6371km，g=9.8m/s2）解析：應用萬有引力定律計算地球質量，需要知道物體和地球間的萬有引力，本題中可以認為引力等于重力，用重力加速度表示引力。根據萬有引力定律， 得=5.9671024kg答：地球得質量為5.9671024kg。 拓展：在應用萬有引力定律解決有關地面上物體和地球的問題時，通常可以將重力和萬有引力相替代。 【課堂訓練】1對于萬有引力定律的表述式，下面說法中正確的是（ ）a.公式中g為引力常量，它是由實驗測得的，而不是人為規定的b.當r趨近于零時，萬有引力趨于無窮大c. m1與m2受到的引力大小總是相等的，方向相反，是一對平衡力d. m1與m2受到的引力總是大小相等的，而與m1、m2是否相等無關2下列關于隕石墜向地球的解釋中，正確的是（ ） a隕石對地球的吸引力遠小于地球對隕石的吸引力b隕石對地球的吸引力和地球對隕石的吸引力大小相等，但隕石的質量小，加速度大，所以改變運動方向落向地面c太陽不再吸引隕石，所以隕石落向地球d隕石受到其它星球的斥力而落向地球3設地球表面物體的重力加速度為g0，某衛星在距離地心3r（r是地球的半徑）的軌道上繞地球運行，則衛星的加速度為（ ） ag0 bg0/9 cg0/4 dg0/164地球質量大約是月球質量的81倍,在登月飛船通過月、地之間的某一位置時，月球和地球對它的引力大小相等，該位置到月