2 3 1離散型隨機變量的均值 復習回顧 1 離散型隨機變量的分布列 2 離散型隨機變量分布列的性質 1 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 pi 1 引入 對于離散型隨機變量 可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關事件的概率 但在實際問題中 有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數字特征 例如 要了解某班同學在一次數學測驗中的總體水平 很重要的是看平均分 要了解某班同學數學成績是否 兩極分化 則需要考察這個班數學成績的方差 我們還常常希望直接通過數字來反映隨機變量的某個方面的特征 最常用的有期望與方差 問題 某人射擊10次 所得環數分別是 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 則所得的平均環數是多少 把環數看成隨機變量的概率分布列 權數 加權平均 按3 2 1的比例混合 18元 kg 24元 kg 36元 kg 定價為混合糖果的平均價格才合理 按3 2 1的比例混合 18元 kg 24元 kg 36元 kg 平均價格為 按3 2 1的比例混合 18元 kg 24元 kg 36元 kg 把3種糖果的價格看成隨機變量的概率分布列 離散型隨機變量取值的平均值 數學期望 一般地 若離散型隨機變量X的概率分布為 則稱 為隨機變量X的均值或數學期望 它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 理解概念 可能取值的算術平均數為 隨機變量x的均值與x可能取值的算術平均數何時相等 舉例隨機拋擲一個骰子 求所得骰子的點數X的均值 隨機變量的均值是常數 而樣本的平均值隨著樣本的不同而變化 因而樣本的平均值是隨機變量 對于簡單隨機樣本 隨著樣本容量的增加 樣本的平均值越來越接近總體的平均值 因此 我們常用樣本的平均值來估計總體的平均值 設Y aX b 其中a b為常數 則Y也是隨機變量 1 Y的分布列是什么 2 EY 思考 一 離散型隨機變量取值的平均值 數學期望 二 數學期望的性質 基礎訓練 1 隨機變量 的分布列是 1 則E 2 隨機變量 的分布列是 2 4 2 若 2 1 則E 5 8 E 7 5 則a b 0 4 0 1 例1 籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分 罰不中得0分 已知某運動員罰球命中的概率為0 7 則他罰球1次的得分X的均值是多少 一般地 如果隨機變量X服從兩點分布 則 小結 例2 籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分 罰不中得0分 已知某運動員罰球命中的概率為0 7 他連續罰球3次 1 求他得到的分數X的分布列 2 求X的期望 解 1 X B 3 0 7 2 一般地 如果隨機變量X服從二項分布 即X B n p 則 小結 證明 所以 若 B n p 則E np 證明 若 B n p 則E np 知識應用 例6 14年四川高考 一款擊鼓小游戲的規則如下 每盤游戲都需要擊鼓三次 每次擊鼓要么出現一次音樂 要么不出現音樂 每盤游戲擊鼓三次后 出現一次音樂獲得10分 出現兩次音樂獲得20分 出現三次音樂獲得100分 沒有出現音樂則扣除200分 即獲得 200分 設每次擊鼓出現音樂的概率為 且各次擊鼓出現音樂相互獨立 設每盤游戲獲得的分數為 求的分布列 玩三盤游戲 至少有一盤出現音樂的概率是多少 玩過這款游戲的許多人發現 若干盤游戲后 與最初的分數相比 分數沒有增加反而減少了 請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因 解 例3 一次數學單元測驗由20個選擇題構成 每個選擇題有4個選項 其中有且只有一個選項是正確答案 每題選擇正確答案得5分 不作出選擇或選錯不得分 滿分100分 學生甲選對任一題的概率為0 9 學生乙則在測驗中對每題都從4個選項中隨機地選擇一個 求學生甲和乙在這次數學單元測驗中的成績的期望 甲選對題數為 乙選對題數為 歸納求離散型隨機變量均值的步驟 確定離散型隨機變量可能的取值 寫出分布列 并檢查分布列的正確與否 求出均值 例4 決策問題 根據氣象預報 某地區近期有小洪水的概率為0 25 有大洪水的概率為0 01 該地區某工地上有一臺大型設備 遇到大洪水時要損失60000元 遇到小洪水時要損失10000元 為保護設備 有以下種方案 方案1 運走設備 搬運費為3800元 方案2 建保護圍墻 建設費為2000元 但圍墻只能擋住小洪水 方案3 不采取措施 希望不發生洪水 試比較哪一種方案好 決策的準則由于結果的不確定性 原則之一就是 比較各種決策的 平均 好處 哪種決策的平均好處大 就選哪一種 即哪個決策的期望值大 就選擇哪一種 例 在一個潮濕的雙休日早晨 你想步行會一個朋友 由于擔心可能會下雨 準備帶上雨傘 可能采取的行動有兩種 帶上雨傘或把雨傘留在家里 決策模型中稱之為 策略或方案 碰到的天氣情況也有兩個 下雨和不下雨 決策模型中稱之為 狀態或事件 面對以上兩個策略和兩種狀態 有且僅有四種結果 帶了雨傘 下雨了 帶了雨傘 沒下雨 把雨傘留下 下雨了 把雨傘留下 沒下雨 類似這樣的決策問題 我們稱之為 風險型 決策問題 特點是 決策中可能碰到的各種自然狀態 為決策者所不可控因素 其發生的概率是已知的 或者是可以估算出來 決策的準則就是 期望值 原則 對收益來說 期望值越大越好 對損失來說 期望值越小越好 當然這類決策問題是存在一定的風險的 析 審清題意是解決該題的關鍵 1 抓住蠅子一個個有順序地飛出 易聯想到把8只蠅子看作8個元素有序排列 由于 0 表示 最后一只必為果蠅 所以有 1 表示 P 0 同理有P 1 2 表示 有P 2 3 表示 有P 3 4 表示 有P 4 5 表示 有P 5 6 表示 有P 6 例7 07 重慶 某單位有三輛汽車參加某種事故保險 單位年初向保險公司交納900元的保險金 對在一年內發生此種事故的每輛汽車 單位可獲9000元的賠償 假設每輛車最多只賠償一次 設這三輛車在一年內發生此種事故的概率分別為1 9 1 10 1 11 且各車