3.1.4空間向量的坐標表示學習目標重點、難點1知道單位正交基底的概念，會建立空間直角坐標系2記住空間向量的坐標表示，能在適當的坐標系中寫出向量的坐標3熟記空間向量的線性運算及坐標表示.重點：1單位正交基底的概念2空間向量的坐標表示難點：1空間向量的坐標運算2運用坐標運算解決簡單的幾何問題.1單位正交基底的概念若空間的一個基底的三個基向量_，且長度都為_，則這個基底叫做單位正交基底，常用e1，e2，e3表示習交流1在單位正方體abcda1b1c1d1中，下列各組向量可作為一個單位正交基底的是_，；，；，；，.2空間向量的坐標表示(1)空間直角坐標系以e1，e2，e3的公共起點o為_，分別以_的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系oxyz.(2)空間向量的坐標表示對于空間任意一個向量p，一定可以把它_，使它的起點與原點o重合，得到向量p，由空間向量基本定理可知，存在有序實數組x，y，z，使得p_.把_稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標，記作_，即點p的坐標為_(3)設a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則_.預習交流2與坐標軸和坐標平面垂直的向量的坐標怎樣表示？3空間向量的線性坐標運算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則：(1)ab_；(2)ab_；(3)a_(r)；(4)空間向量平行的坐標表示：ab(a0)b1_，b2_，_(r)預習交流3已知a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)(b0)，那么“”是“ab”的什么條件？在預習中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關注？請在下列表格中做個備忘吧！我的學困點我的學疑點一、用坐標表示空間向量已知pa垂直于正方形abcd所在的平面，m，n分別是ab，pc的中點，并且paad1，試建立適當的空間直角坐標系，求向量，的坐標思路分析：先根據條件建立適當的空間直角坐標系，選擇好基向量，求出坐標1設i，j，k是空間向量的一個單位正交基底，a3i2jk，b2i4j2k，則向量a，b的坐標分別是_2如圖，直三棱柱abca1b1c1，在底面abc中，cacb1，bca90，棱aa12，m，n分別為a1b1，a1a的中點，試建立適當的空間直角坐標系，并求向量，的坐標(1)要用坐標表示空間向量，首先應建立恰當的空間直角坐標系，建立空間直角坐標系時，一般選取從同一點出發的，兩兩互相垂直的直線作為坐標軸(2)根據空間向量基本定理對向量進行分解，用三個單位正交基底的基向量表示，即可得到向量的坐標二、空間向量的坐標運算(1)已知a(2，3,5)，b(3,1，4)，求ab，ab，8a.思路分析：本題考查空間向量加法、減法、數乘的坐標運算(2)已知a，b，c三點坐標分別為(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，o為原點，求滿足下列條件的p點的坐標(1)()；(2)()思路分析：先求出，然后利用運算性質得出結果已知空間四點a，b，c，d的坐標分別是(1,2,1)，(1,3,4)，(0，1,4)，(2，1，2)；若p，q.求：(1)p2q；(2)3pq.(1)一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標(2)掌握空間向量的坐標運算是關鍵，在運算時，應牢記法則，空間向量的坐標運算法則和平面向量類似，可以類比記憶三、利用向量的坐標表示解決平行問題設a(1,5，1)，b(2,3,5)若(kab)(a3b)，求k.思路分析：根據向量平行的充要條件列方程求解，也可運用坐標求解與向量a(2，1,2)共線，且滿足|x|6的向量x_.(1)要熟練掌握兩向量共線的充要條件：若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)(a，b為非零向量)，則ab或x1x2且y1y2且z1z2(r)(2)在應用坐標形式下的平行條件時，一定要注意結論成立的前提條件，在條件不明確時，要分類討論1在空間直角坐標系oxyz中，已知點a的坐標為(1,2,1)，點b的坐標為(1,3,4)，則向量_.2點m(1,3，4)在坐標平面xoy，xoz，yoz內的射影的坐標分別是_，_，_.3設向量a(1,3,2)，b(4，6,2)，c(3,12，t)，若cmanb，則t_，mn_.4已知a(1,0,2)，b(6,21,2)若ab，則_，_.5已知點a在基底a，b，c下的坐標為(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，則點a在基底i，j，k下的坐標是_用精練的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領部分寫下來，并進行識記知識精華技能要領答案：課前預習導學1兩兩垂直1預習交流1：提示：由單位正交基底的概念判斷，故填.2(1)原點e1，e2，e3(2)平移xe1ye2ze3x，y，zp(x，y，z)(x，y，z)(3)(x2x1，y2y1，z2z1)預習交流2：提示：xoy平面上的點的坐標為(x，y,0)，xoz平面上的點的坐標為(x,0，z)，yoz平面上的點的坐標為(0，y，z)，x軸上的點的坐標為(x,0,0)，y軸上的點的坐標為(0，y,0)，z軸上的點的坐標為(0,0，z)另外還要注意向量的坐標與點p的坐標相同3(1)(a1b1，a2b2，a3b3)(2)(a1b1，a2b2，a3b3)(3)(a1，a2，a3)(4)a1a2b3a3預習交流3：提示：如果，那么ab，即ab，反過來aba1a2且b1b2且c1c2.但因有可能a2，b2，c2中存在零項，故不能推出，故是“ab”的充分不必要條件課堂合作探究活動與探究1：解：如圖所示，因為pa=ad=ab=1，且pa平面abcd，adab，所以可設=e1，=e2，=e3.以e1，e2，e3為基底建立空間直角坐標系axyz.因為=e2+e3+(e3e1+e2)=e1+e3，所以，而=e2=0e1+e2+0e3，所以=(0,1,0)遷移與應用：1.(3,2，1)，(2,4,2)解析：由于a3i2jk，所以a(3,2，1)；同理b(2,4,2)2解：以c為原點，分別以，為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系依題意，得a1(1,0,2)，b(0,1,0)，c1(0,0,2)，m，n(1,0,1)(1，1,1)，(1，1,2)，(1,1，2)，.活動與探究2：(1)解：ab(2，3,5)(3,1，4)(1，2,1)ab(2，3,5)(3,1，4)(5，4,9)8a8(2，3,5)(16，24,40)(2)解：(2,6，3)，(4,3,1)(1)(6,3，4)，則p點坐標為.(2)設p(x，y，z)，則(x2，y1，z2)又()，x5，y，z0.故p點坐標為.遷移與應用：解：由于a(1,2,1)，b(1,3,4)，c(0，1,4)，d(2，1，2)，所以p(2,1,3)，q(2,0，6)(1)p2q(2,1,3)2(2,0，6)(2,1,3)(4,0，12)(6,1，9)；(2)3pq3(2,1,3)(2,0，6)(6,3,9)(2,0，6)(4,3,15)活動與探究3：解法一：kab(k2,5k3，k5)a3b(132,533，135)(7，4，16)因為(kab)(a3b)，所以，解得k.解法二：由于(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)，即kaba3b，由于a與b不共線，所以有解得k.遷移與應用：(4，2,4)或(4,2，4)解析：設xa(2，2)，|x|3|6，2.當堂檢測1(2,