第3節 向心力的實例分析【學習目標】1、知道如果一個力或幾個力的合力的效果是使物體產生向心加速，它就是圓周運動的物體所受的向心力。會在具體問題中分析向心力的來源。2、理解勻速圓周運動的規律。3、知道向心力和向心加速度的公式也適用于變速圓周運動，會求變速圓周運動中物體在特殊點的向心力和向心加速度。【學習重點】1、理解向心力是一種效果力。2、在具體問題中能找到向心力，并結合牛頓運動定律求解有關問題。【知識要點】1)水平面的圓周運動汽車轉彎汽車在水平的圓弧路面上的做勻速圓周運動時(如圖6-1甲所示)，是什么力作為向心力的呢?如果不考慮汽車翻轉的情況，我們可以把汽車視為質點.汽車在豎直方向受到的重力和支持力大小相等、方向相反，是一對平衡力；如果不考慮汽車行駛時受到的阻力，則汽車所受的地面對它的摩擦力就是向心力，如圖6-1乙所示.如果考慮汽車行駛時受到的阻力ff，則靜摩擦力沿圓周切線方向的分ft(通常叫做牽引力)與阻力ff平衡，而靜摩擦力指向圓心的分力fn就是向心力，如下圖丙所示，這時靜摩擦力指向圓心的分力fn也就是汽車所受的合力.火車轉彎火車轉彎時，是什么力作為向心力呢?如果轉彎處內外軌一樣高，外側車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發生彈性形變，外軌對輪緣的彈力f就是使火車轉彎的向心力(如下左圖所示).設轉彎半徑為r，火車質量為m，轉彎時速率為v，則，f=m.由于火車質量很大，靠這種辦法得到向心力，輪緣與外軌間的相互作用力要很大，鐵軌容易受到損壞. 實際在修筑鐵路時，要根據轉彎處的半徑r和規定的行駛速度v0，適當選擇內外軌的高度差，使轉彎時所需的向心力完全由重力g和支持力fn的合力來提供，如上右圖所示.必須注意，雖然內外軌有一定的高度差，但火車仍在水平面內做圓周運動，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上.f=gtg=mgtg，故mgtg=m,通常傾角不太大，可近似取tg=h/d，則hr=d.2)豎直平面內的圓周運動汽車過凸橋我們先來分析汽車過拱橋最高點時對橋的壓力.設汽車的質量為m，過最高點時的速度為v，橋面半徑為r.汽車在拱橋最高點時的受力情況如上圖所示，重力g和橋對它的支持力f1的合力就是汽車做圓周運動的向心力，方向豎直向下(指向圓心)所以g-f1=m，則f1=g-m.汽車對橋的壓力與橋對汽車的支持力是一對作用力和反作用力故壓力f1f1g-m.水流星水流星中的水在整個運動過程中均由重力和壓力提供向心力，如下圖所示，要使水在最高點不離開杯底，則n0由 nmg=m.則 v【典型例題】例1 長度不同的兩根細繩，懸于同一點，另一端各系一個質量相同的小球，使它們在同一水平面內作圓錐擺運動，如下圖所示，則( )a.它們的周期相同b.較長的繩所系小球的周期較大c.兩球的向心力與半徑成正比d.兩繩張力與繩長成正比分析 設小球作圓錐擺運動時，擺長為l，擺角為，小球受到拉力為t0與重力mg的作用，由于加速度a水平向右，拉力t0與重力mg的合力ma的示意圖如下圖所示，由圖可知mgtg=ma因 a=2r=lsin得t=2，lcos為旋轉平面到懸點的高度，容易看出兩球周期相同t0sin=mlsin t0= l一定，t0l f向 r，f向r故正確選項為a、c、d例2 質量為m的汽車，以速度v通過半徑r的凸形橋最高點時對橋的壓力為 ，當速度v 時對橋的壓力為零，以速度v通過半徑為r凹型最低點時對橋的壓力為 .分析 汽車以速率v作勻速圓周運動通過最高點時，牽引力與摩擦力相平衡，汽車在豎直方向的受力情況如下圖所示.汽車在凸橋的最高點時，加速度方向向下，大小為a=v2/r,由f=mamg-n1=mv2/r所以，汽車對橋的壓力n1=n1=mg-mv2/r當n1=n1=0時，v=.汽車在凹橋的最低點時，豎直方向的受力如下圖所示，此時汽車的加速度方向向上，同理可得，n2=n2=mgmv2/r.小結 由分析可以看出，圓周運動中的動力學問題只是牛頓第二定律的應用中的一個特例，與直線運動中動力學的解題思路，分析方法完全相同，需要注意的是其加速度a=v2/r或a=2r方向指向圓心.例3 在水平轉臺上放一個質量為m的木塊，靜摩擦因數為，轉臺以角速度勻速轉動時，細繩一端系住木塊m，另一端通過轉臺中心的小孔懸一質量為m的木塊，如右圖所示，求m與轉臺能保持相對靜止時，m到轉臺中心的最大距離r1和最小距離r2.分析 m在水平面內轉動時，平臺對m的支持力與mg相平衡，拉力與平臺對m的摩擦力的合力提供向心力.設m到轉臺中心的距離為r，m以角速度轉動所需向心力為m2r，若m2rtmg，此時平臺對m的摩擦力為零.若r1r，m2r1mg，平臺對m的摩擦力方向向左，由牛頓第二定律f+mg=m2r1，當f為最大值mg時，r1最大.所以，m到轉臺的最大距離為r1=(mg+mg)/m2.若r2r，m2r2mg，平臺對m的摩擦力水平向右，由f=ma.mg-f=m2r2f=mg時，r2最小，最小值為r2=(mg-mg)/m2.小結 本例實際上屬于一個簡單的連接體，直線運動中關于連接體的分析方法，在圓周運動中同樣適用.例4 長l=0.5m，質量可忽略的桿，其下端固定于o點，上端連接一個零件a，a的質量為m=2kg，它繞o點做圓周運動，如下圖所示，在a通過最高點時，求下列兩種情況下桿受的力：(1)a的速率為1m/s，(2)a的速率為4m/s.分析 桿對a的作用力為豎直方向，設為t，重力mg與t的合力提供向心力，由f=ma，a=v2/r，得mg+t=mv2/r t=m(v2/r-g)(1)當v=1m/s時，t=2(12/0.5-10)n=-16n(2)當v=4m/s時，t=2(42/0.5-10)n=44n(1)問中t為負值，表明t與mg的方向相反，桿對a的作用力為支持力.討論(1)由上式，當v=時，t0，當v時，t為正值，對a的作用力為拉力，當v時，t為負值，對a的作用力為支持力.(2)如果把桿換成細繩，由于t0，則有v.例5 如下圖甲所示，質量為m的物體，沿半徑為r的圓形軌道自a點滑下，a點的法線為水平方向，b點的法線為豎直方向，物體與軌道間的動摩擦因數為，物體滑至b點時的速度為v，求此時物體所受的摩擦力.解析：物體由a滑到b的過程中，受到重力、軌道對其彈力及軌道對其摩擦力的作用，物體一般做變速圓周運動.已知物體滑到b點時的速度大小為v，它在b點時的受力情況如圖6-12乙所示.其中軌道的彈力fn、重力g的合力提供物體做圓周運動的向心力，方向一定指向圓心.故 甲 乙fn-g=mfn=mg+m，則滑動摩擦力為f1=fn=(mg+m).【達標訓練】1.若火力按規定速率轉彎時，內、外軌對車輪皆無側壓力，則火車以較小速率轉彎時( )a.僅內軌對車輪有側壓力b.僅外軌對車輪有側壓力c.內、外軌對車輪都有側壓力d.內、外軌對車輪均無側壓力2.把盛水的水桶拴在長為l的繩子一端，使這水桶在豎直平面做圓周運動，要使水在水桶轉到最高點時不從桶里流出來，這時水桶的線速度至少應該是( )a. b. c. d.2e.03.a、b、c三個物體放在旋轉圓臺上，靜摩擦系數均為，a的質量為2m，b、c的質量均為m，a、b離軸為r，c離軸為2r，則當圓臺旋轉時：(設a、b、c都沒有滑動，如下圖所示)( )a.c物的向心加速度最大b.b物的靜摩擦力最小c.當圓臺轉速增加時，c比a先滑動d.當圓臺轉速增加時，b比a先滑動4.如下圖所示：在以角速度旋轉的光滑的細桿上穿有質量分別為m和m的兩球，兩球用輕細線連接.若mm,則( )a.當兩球離軸距離相等時，兩球都不動b.當兩球離軸的距離之比等于質量之比時，兩球都不動c.若轉速為時兩球不動，那么轉速為2時兩球也不會動d.若兩球滑動，一定向同一方向，不會相向滑動5.如下圖所示，一小球套在光滑輕桿上，繞著豎直軸oo勻速轉動，下列關于小球的說