參評科目 數學淺談“數形結合”在與圓有關問題中的應用洞口縣第二中學 嚴立芳數形結合就是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，使得復雜問題簡單化，抽象問題具體化，使抽象思維和形象思維相結合，通過圖形的描述、代數的論證來研究和解決數學問題的一種數學思想方法。顯然數形結合，不是兩者簡單的堆砌，而是有機的結合，“數”具有精確性定特征，它可以闡明“形”的某些屬性，并且可以通過運算法則、公式進行運算，比較具體（雖然有時卻比較繁復），“形”具有幾何的直觀性，它也可以表示數之間的某些關系，“形”可以通過邏輯推理得到一些結果，其推理過程較簡捷（但可能有時比較抽象）。但兩者結合，各取所長，往往威力巨大，因此華羅庚教授說：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”因此數形結合思想是一種重要的解題思想，用這種思想指導，一些幾何問題可以用代數方法來處理，一些代數問題又可以用幾何圖形幫助解決。筆者淺談“數形結合”在與圓有關問題中的應用。一 直線與圓的交點問題例1 設集合，若，求實數的取值范圍。oo圖-1（例1）分析：（如圖-1）集合表示的圖形是：半圓，不含端點；集合表示的圖形是：斜率為1的一組平行直線，在軸上的截距為。，表示直線與半圓沒有公共點。如圖，當直線與半圓相切時；當直線過點時；當直線過點時。由圖-1可知：實數的取值范圍是。變式1、若，則實數的取值范圍是 ；變式2、若集合中只有一個元素，則實數的取值范圍是 ；變式3、若集合中有兩個元素，則實數的取值范圍是 。鞏固練習1已知集合，若含有兩個元素，則實數的取值范圍為 。提示：集合表示的圖形是：半圓，包括端點；集合表示的圖形是：過定點的直線系，且斜率為。含有兩個元素，表示直線與半圓有兩個不同交點。如圖-2，直線的斜率為 ；由圖-2可知，實數的取值范圍為。圖-2（練習1）圖-3（練習2）2、曲線與直線有兩個不同交點，則實數的取值范圍為。提示：由得：，它的圖形是半圓，包括端點（如圖-3）；直線恒過定點，且斜率為。由圓心到切線的距離為1，可求得切線的斜率為，又直線的斜率為1，圖-4（例2）由圖-3可知：當直線與半圓有兩個交點時，實數的取值范圍為。二 函數值域問題例2、 求函數的值域。分析：的形式類似于斜率公式，則表示過兩點的直線斜率。由于點在單位圓上（如圖-4）。由圓心到兩切線的距離為1，可求得切線的斜率分別為和0，所以，函數的值域為。鞏固練習3、若實數滿足，則的取值范圍為 。提示：問題可轉化為如下幾何問題：動點在以為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線的斜率的取值范圍。由圖-5可知，直線的斜率的取值范圍為。圖-5（練習3）圖-6（例3）三 不等式問題例3、 不等式的解集為 。分析：令，它表示以原點為圓心，為半徑的上半圓，包括端點；令 ，它表示斜率為2，且軸上的截距為在的直線。由圖-6可知：不等式的解集為 。鞏固練習4、已知實數滿足，欲使不等式恒成立，求實數的取值范圍。圖-7（練習4）提示：恒成立，即恒成立，則小于或等于的最小值。于是問題轉化為：在圓上找一點，使有最小值。如圖-7，當直線平行于且與圓相切于點時，此切線與軸交于點，此時取最小值。所以，即 。 故的取值范圍為。歸納總結 “數形結合”思想是一種重要的解題思想，以上問題是借助于“圓”的幾何直觀性，將代數問題轉化為幾何問題，從而得到既快又準的解答。總之，要讓學生真正掌握數形結合思想的精髓，必須有雄厚的基礎知識和熟練的基本技巧，教師講題時，要引導學生根據問題的具體情況，多角度的觀察和理解問題，揭示問題的本質聯系，利用“數”的準確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數”的計算，從而來解決問題。教學中要緊緊抓住數形轉化的策略，通過多渠道來溝通知識間的聯系