1變化的快慢與變化率學習目標1.了解函數的平均變化率和瞬時變化率的概念.2.會求物體運動的平均速度并估計瞬時速度知識點一函數的平均變化率觀察圖形，回答下列問題：思考1怎樣理解從點a到點b自變量x的增量、函數值y的增量？答案(1)自變量的增量：用x表示，即xx2x1，表示自變量相對于x1的“增加量”(2)函數值的增量：用y表示，即yf(x2)f(x1)，也表示為f(x1x)f(x1)，表示函數值在x1的“增加量”(3)增量并不一定都是正值，也可以是負值，函數值的增量還可以是0，比如常數函數，其函數值的增量就是0.思考2函數f(x)在區間x1，x2上平均變化率的大小與曲線在區間上的陡峭程度有何關系？答案(1)yf(x)在區間x1，x2上的平均變化率是曲線yf(x)在區間x1，x2上陡峭程度的“數量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”(2)平均變化率的絕對值越大，曲線yf(x)在區間x1，x2上越“陡峭”，反之亦然梳理函數的平均變化率的定義及作用(1)定義：對一般的函數yf(x)來說，當自變量x從x1變為x2時，函數值從f(x1)變為f(x2)，它的平均變化率為.其中自變量的變化x2x1稱作自變量的改變量，記作x，函數值的變化f(x2)f(x1)稱作函數值的改變量，記作y.這樣，函數的平均變化率就可以表示為函數值的改變量與自變量的改變量之比，即.(2)作用：刻畫函數值在區間x1，x2上變化的快慢知識點二瞬時變化率思考瞬時速度與平均速度有何區別？答案瞬時速度刻畫的是物體在某一時刻運動的快慢；平均速度刻畫的是物體在一段時間內運動的快慢梳理瞬時變化率的定義及作用(1)定義：對于一般的函數yf(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，若設xx1x0，yf(x1)f(x0)，則函數的平均變化率是.而當x趨于0時，平均變化率就趨于函數在x0點的瞬時變化率(2)作用：刻畫函數在一點處變化的快慢對于函數yf(x)，當x從x1變為x2時，函數值從f(x1)變為f(x2)，若記xx2x1，yf(x2)f(x1)，則1x可正，可負，可為零()2函數yf(x)的平均變化率為.()3函數yf(x)的平均變化率為.()4當x趨于0時，就趨于函數在x1處的瞬時變化率()類型一函數的平均變化率例1求函數yf(x)x2在x分別從1到1x,2到2x,3到3x的平均變化率，當x都為時，哪一點附近的平均變化率最大？考點平均變化率的概念題點求平均變化率解在x1附近的平均變化率為k12x；在x2附近的平均變化率為k24x；在x3附近的平均變化率為k36x.當x時，k12，k24，k36.由于k1k20)豎直上拋的物體，t秒時的高度s與t的函數關系為sv0tgt2，求物體在t0時刻處的瞬時速度考點瞬時變化率的概念題點瞬時速度解因為sv0(t0t)g(t0t)2(v0gt0)tg(t)2，所以v0gt0gt.當t趨于0時，趨于v0gt0，故物體在t0時刻處的瞬時速度為v0gt0.反思與感悟1.求瞬時速度的步驟(1)求位移改變量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度v.(3)當t趨于0時，平均速度趨于瞬時速度2求當x無限趨近于0時，的值(1)在表達式中，可把x作為一個數來參加運算(2)求出的表達式后，x無限趨近于0，就是令x0，求出結果即可跟蹤訓練2一質點m按運動方程s(t)at21做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質點m在t2 s時的瞬時速度為8 m/s，求常數a的值考點瞬時變化率的概念題點瞬時速度解質點m在t2時的瞬時速度即為函數s(t)在t2處的瞬時變化率質點m在t2附近的平均變化率4aat，當t趨于0時，趨于4a，4a8，得a2.1已知函數f(x)，當自變量由x0變化到x1時，函數值的增量與相應的自變量的增量之比是函數()a在x0處的變化率b在區間x0，x1上的平均變化率c在x1處的變化率d以上結論都不對考點平均變化率的概念題點平均變化率概念的理解答案b解析，由平均變化率的定義可知，故選b.2一物體的運動方程是s(t)32t，則在2,2.1這段時間內的平均速度是()a0.4 b2c0.3 d0.2考點平均變化率的概念題點求平均速度答案b解析2.3物體運動時位移s與時間t的函數關系是s(t)4t216t，此物體在某一時刻的瞬時速度為零，則相應的時刻為()at1 bt2ct3 dt4考點瞬時變化率的概念題點瞬時速度答案b解析設此物體在t0時刻的瞬時速度為0，8t0164t，當t趨于0時，趨于8t016，令8t0160，解得t02.4球的半徑從1增加到2時，球的體積平均膨脹率為_考點平均變化率的概念題點平均變化率的應用答案解析y2313，球的體積平均膨脹率為.5設函數f(x)3x22在x01,2,3附近x取時的平均變化率分別為k1，k2，k3，比較k1，k2，k3的大小考點平均變化率的概念題點求平均變化率解函數在x0，x0x上的平均變化率為6x03x.當x01，x時，函數在1,1.5上的平均變化率為k16130.57.5；當x02，x時，函數在2,2.5上的平均變化率為k26230.513.5；當x03，x時，函數在3,3.5上的平均變化率為k36330.519.5，所以k1k2k3.1平均變化率反映函數在某個范圍內變化的快慢；瞬時變化率反映函數在某點處變化的快慢2可以使用逼近的思想理解瞬時變化率，同時結合變化率的實際意義一、選擇題1已知函數yf(x)sin x，當x從變到時，函數值的改變量y等于()a b.c. d.考點平均變化率的概念題點函數因變量的增量答案b解析yf f sin sin .2已知函數f(x)2x24的圖像上一點(1，2)及鄰近一點(1x，2y)，則等于( )a4 b4x c42x d42(x)2答案c解析42x.3一質點運動的方程為s53t2，若該質點在時間段1，1t內相應的平均速度為3t6，則該質點在t1時的瞬時速度是()a3 b3c6 d6考點瞬時速度與平均速度的關系題點瞬時速度答案d解析由平均速度和瞬時速度的關系可知，當t趨于0時，3t6趨于6，故該質點在t1時的瞬時速度為6.4.如圖，函數yf(x)在a，b兩點間的平均變化率是()a1 b1c2 d2考點平均變化率的概念題點求平均變化率答案b解析依題意可知yybya132，xxbxa312，所以函數yf(x)在xa到xb之間的平均變化率為1.5一木塊沿一光滑斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數關系為s(t)t2，當t2時，此木塊在水平方向的瞬時速度為()a2 b1 c. d.答案c解析s(2t)22244t(t)24(t)24t，t.當t趨于0時，趨于.6函數f(x)x2在x0到x0x之間的平均變化率為k1，在x0x到x0之間的平均變化率為k2，則k1，k2的大小關系是()ak1k2ck1k2 d無法確定考點平均變化率的概念題點平均變化率概念的理解答案d解析k12x0x，k22x0x，而x可正可負，故k1，k2大小關系不確定7如果函數yf(x)axb在區間1,2上的平均變化率為3，則()aa3 ba3ca2 da的值不能確定考點平均變化率的概念題點平均變化率的應用答案b解析a3.8一個物體的運動方程是s2t2at1，該物體在t1時的瞬時速度為3，則a等于()a1 b0c1 d7考點瞬時變化率的概念題點瞬時速度答案a解析a42t，當t趨于0時，a42t趨于a4，由題意知a43，得a1.二、填空題9汽車行駛的路程s和時間t之間的函數圖像如圖所示，在時間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關系為_考點平均變化率的概念題點平均變化率的應用答案123解析1koa，2kab，3kbc，由圖像知，koakabkbc，所以123.10函數f(x)2在x1處的瞬時變化率為_考點瞬時變化率的概念題點瞬時速率答案2解析y2(2)1，當x趨于0時，趨于2.11若一物體的運動方程為s7t28，則其在t_時的瞬時速度為1.答案解析7t14t，t趨于0時，趨于14t，即14t1，t.12函數f(x)x2x在區間2，t上的平均變化率為2，則t_.考點平均變化率的概念題點平均變化率的應用答案5解析函數f(x)x2x在區間2，t上的平均變化率是2，即t2t62t4，t23t100，解得t5或t2(舍去)所以當函數f(x)x2x在區間2，t上的平均變化率是2時，t的值是5.三、解答題13若一物體運動方程如下：(位移單位：m，時間單位：s)s求：(1)物體在t3,5內的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t1時的瞬時速度考點變化率的概念題點瞬時速度解(1)物體在t3,5內的時間變化量為t532，物體在t3,5內的位移變化量為s3522(3322)3(5232)48，物體在t3,5內的平均速度為24 m/s.(2)求物體的初速度v0即求物體在t0時的瞬時速度物體在t0附近的平均變化率為3t18，當t趨于0時，趨于18，物體在t0處的瞬時變化率為18，即物體的初速度為18 m/s.(3)物體在t1時的瞬時速度即為函數在t1處的瞬時變化率物體在t1附近的平均變化率為3t12.當t趨于0時，趨于12，物體在t1處的瞬時變化率為12.即物體在t1時的瞬時速度為12 m/s.四、探究與拓展14.甲、乙兩廠污水的排放量w與時間t的關系如圖