第三章概率 章末復習提升 知識網絡系統盤點 要點歸納整合要點 題型探究重點突破 欄目索引 知識網絡系統盤點 返回 要點歸納整合要點 1 本章涉及的概念比較多 要真正理解它們的實質 搞清它們的區別與聯系 了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性 要進一步了解概率的意義以及頻率與概率的區別 4 對于幾何概型事件概率的計算 關鍵是求得事件a所占區域和整個區域的幾何度量 然后代入公式求解 5 學習本章的過程中 要重視教材的基礎作用 重視過程的學習 重視基本數學思想和數學方法的形成和發展 注意培養分析問題和解決問題的能力 返回 題型探究重點突破 題型一隨機事件的概率 1 有關事件的概念 1 必然事件 在條件s下 一定會發生的事件 叫作相對于條件s的必然事件 簡稱必然事件 2 不可能事件 在條件s下 一定不會發生的事件 叫作相對于條件s的不可能事件 簡稱不可能事件 3 確定事件 必然事件與不可能事件統稱為相對于條件s的確定事件 簡稱確定事件 4 隨機事件 在條件s下可能發生也可能不發生的事件 叫作相對于條件s的隨機事件 簡稱隨機事件 5 事件的表示方法 確定事件和隨機事件統稱為事件 一般用大寫字母a b c 表示 2 對于概率的定義應注意以下幾點 1 求一個事件的概率的基本方法是通過大量的重復試驗 2 只有當頻率在某個常數附近擺動時 這個常數才叫作事件a的概率 3 概率是頻率的穩定值 而頻率是概率的近似值 4 概率反映了隨機事件發生的可能性的大小 5 必然事件的概率為1 不可能事件的概率為0 故0 p a 1 例1對一批u盤進行抽檢 結果如下表 解析答案 1 計算表中次品的頻率 解表中次品頻率從左到右依次為0 06 0 04 0 025 0 017 0 02 0 018 2 從這批u盤中任抽一個是次品的概率約是多少 解析答案 解當抽取件數a越來越大時 出現次品的頻率在0 02附近擺動 所以從這批u盤中任抽一個是次品的概率約是0 02 3 為保證買到次品的顧客能夠及時更換 要銷售2000個u盤 至少需進貨多少個u盤 解析答案 解設需要進貨x個u盤 為保證其中有2000個正品u盤 則x 1 0 02 2000 因為x是正整數 所以x 2041 即至少需進貨2041個u盤 跟蹤訓練1某射擊運動員為備戰奧運會 在相同條件下進行射擊訓練 結果如下 解析答案 1 該射擊運動員射擊一次 擊中靶心的概率大約是多少 解由題意得 擊中靶心的頻率分別為0 8 0 95 0 88 0 92 0 89 0 91 當射擊次數越來越多時 擊中靶心的頻率在0 9附近擺動 故概率約為0 9 解析答案 2 假設該射擊運動員射擊了300次 則擊中靶心的次數大約是多少 解擊中靶心的次數大約為300 0 9 270 次 3 假如該射擊運動員射擊了300次 前270次都擊中靶心 那么后30次一定都擊不中靶心嗎 解由概率的意義 可知概率是個常數 不因試驗次數的變化而變化 后30次中 每次擊中靶心的概率仍是0 9 所以不一定 4 假如該射擊運動員射擊了10次 前9次中有8次擊中靶心 那么第10次一定擊中靶心嗎 解不一定 題型二古典概型及其應用y 古典概型是一種最基本的概率模型 也是學習其他概率模型的基礎 在高考題中 經常出現此種概率模型的題目 解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特點 即有限性和等可能性 另外 在求古典概型問題的概率時 往往需要我們將所有基本事件一一列舉出來 以便確定基本事件總數及事件所包含的基本事件數 這就是我們常說的窮舉法 在列舉時應注意按一定的規律 標準 不重不漏 例2海關對同時從a b c三個不同地區進口的某種商品進行抽樣檢測 從各地區進口此種商品的數量 單位 件 如下表所示 工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測 解析答案 1 求這6件樣品中來自a b c各地區商品的數量 2 若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測 求這2件商品來自相同地區的概率 解設6件來自a b c三個地區的樣品分別為a b1 b2 b3 c1 c2 則從這6件樣品中抽取的2件商品構成的所有基本事件為 a b1 a b2 a b3 a c1 a c2 b1 b2 b1 b3 b1 c1 b1 c2 b2 b3 b2 c1 b2 c2 b3 c1 b3 c2 c1 c2 共15個 每個樣品被抽到的機會均等 因此這些基本事件的出現是等可能的 記事件d 抽取的這2件商品來自相同地區 則事件d包含的基本事件有 b1 b2 b1 b3 b2 b3 c1 c2 共4個 解析答案 跟蹤訓練2甲 乙 丙3個盒中分別裝有大小相等 形狀相同的卡片若干張 甲盒中裝有2張卡片 分別寫有字母a和b 乙盒中裝有3張卡片 分別寫有字母c d和e 丙盒中裝有2張卡片 分別寫有字母h和i 現要從3個盒中各隨機取出1張卡片 求 1 取出的3張卡片中恰好有1張 2張 3張寫有元音字母的概率各是多少 解析答案 2 取出的3張卡片上全是輔音字母的概率 解根據題意畫出如圖所示的樹狀圖 由樹狀圖可以得到 所有可能出現的基本事件有12個 它們出現的可能性相等 1 只有1個元音字母的結果有5個 解析答案 2 全是輔音字母的結果有2個 題型三互斥事件與對立事件 1 對互斥事件與對立事件的概念的理解 1 互斥事件是不可能同時發生的兩個事件 對立事件除要求這兩個事件不同時發生外 還要求二者必須有一個發生 因此對立事件一定是互斥事件 但互斥事件不一定是對立事件 對立事件是互斥事件的特殊情況 2 利用集合的觀點來看 如果事件a b 則兩事件是互斥的 此時a b的概率就可用概率加法公式來求 即為p a b p a p b 如果事件a b 則可考慮利用古典概型的定義來解決 不能直接利用概率加法公式 3 利用集合的觀點來看 如果事件a b a b u 則兩事件是對立的 此時a b就是必然事件 可由p a b p a p b 1來求解p a 或p b 2 互斥事件概率的求法 1 若a1 a2 an互斥 則p a1 a2 an p a1 p a2 p an 2 利用這一公式求概率的步驟 要確定這些事件彼此互斥 先求出這些事件分別發生的概率 再求和 值得注意的是 是公式的使用條件 如不符合 是不能運用互斥事件的概率加法公式的 4 互斥事件的概率加法公式是解決概率問題的重要公式 它能把復雜的概率問題轉化為較為簡單的概率或轉化為其對立事件的概率求解 例3某人在如圖所示的直角邊長為4m的三角形地塊的每個格點 指縱 橫直線的交叉點以及三角形的頂點 處都種了一株相同品種的作物 根據歷年的種植經驗 一株該種作物的年收獲量y 單位 kg 與它的 相近 作物株數x 單位 株 之間的關系如下表所示 解析答案 這里 兩株作物 相近 是指它們之間的直線距離不超過1m 1 完成下表 并求所種作物的平均年收獲量 解所種作物的總株數為1 2 3 4 5 15 其中 相近 作物株數為1的作物有2株 相近 作物株數為2的作物有4株 相近 作物株數為3的作物有6株 相近 作物株數為4的作物有3株 列表如下 2 在所種作物中隨機選取一株 求它的年收獲量至少為48kg的概率 解析答案 跟蹤訓練3向三個相鄰的軍火庫投一枚炸彈 炸中第一個軍火庫的概率為0 2 炸中第二個軍火庫的概率為0 12 炸中第三個軍火庫的概率為0 28 三個軍火庫中 只要炸中一個另兩個也會發生爆炸 求軍火庫發生爆炸的概率 解析答案 解設a b c分別表示炸彈炸中第一 第二及第三個軍火庫這三個事件 事件d表示軍火庫爆炸 已知p a 0 2 p b 0 12 p c 0 28 又因為只投擲了一枚炸彈 故不可能炸中兩個及以上軍火庫 所以a b c是互斥事件 且d a b c 所以p d p a b c p a p b p c 0 2 0 12 0 28 0 6 即軍火庫發生爆炸的概率為0 6 題型四幾何概型及其應用 解析答案 解析設兩串彩燈同時通電后 第一次閃亮的時刻分別為x y 則0 x 4 0 y 4 而事件a 它們第一次閃亮的時刻相差不超過2s 即 x y 2 其表示的區域為如圖所示的陰影部分 答案c 解析答案 解析設陰影小正方形邊長為x 答案c 課堂小結 1 關于古典概型 必須要解決好下面三個方面的問題 1 試驗結果是否有限且是等可能的 2 試驗的基本事件有多少個 3 事件a是什么 它包含多少個基本事件 只有回答好了這三方面的問題 解題才不會出錯 2 兩個事件互