第一章數列 3 1等比數列 二 1 靈活應用等比數列的定義及通項公式 2 熟悉等比數列的有關性質 3 系統了解判斷數列是否成等比數列的方法 學習目標 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 思考1 知識點一等比數列通項公式的推廣 我們曾經把等差數列的通項公式做過如下變形 an a1 n 1 d am n m d 等比數列也有類似變形嗎 答案 思考2 我們知道等差數列的通項公式可以變形為an dn a1 d 其單調性由公差的正負確定 等比數列的通項公式是否也可做類似變形 答案 設等比數列 an 的首項為a1 公比為q 則an a1qn 1 qn 其形式類似于指數型函數 但q可以為負值 由于an 1 an a1qn a1qn 1 a1qn 1 q 1 所以 an 的單調性由a1 q q 1的正負共同決定 梳理 公比為q的等比數列 an 中 an a1qn 1 qn an 的單調性由a1 q共同確定如下 知識點二由等比數列衍生的等比數列 思考 答案 等比數列 an 的前4項為1 2 4 8 下列判斷正確的是 1 3an 是等比數列 2 3 an 是等比數列 3 是等比數列 4 a2n 是等比數列 由定義可判斷出 1 3 4 正確 梳理 1 在等比數列 an 中按序號從小到大取出若干項 若k1 k2 k3 kn 成等差數列 那么 是等比數列 知識點三等比數列的性質 思考 答案 梳理 一般地 在等比數列 an 中 若m n s t 則有am an as at m n s t n 若m n 2k 則am an m n k n 題型探究 例1已知數列 an 的前n項和為sn sn n 5an 85 n n 證明 an 1 是等比數列 證明 類型一等比數列的判斷方法 當n 1時 a1 s1 1 5a1 85 解得a1 14 當n 2時 an sn sn 1 1 5an 5an 1 6an 5an 1 1 an 1 an 1 1 an 1 是首項為 15 公比為的等比數列 反思與感悟 判斷一個數列是等比數列的基本方法 跟蹤訓練1已知數列 an 的前n項和為sn 且sn an 1 n n 1 求a1 a2 解答 2 求證 數列 an 是等比數列 證明 類型二等比數列的性質 命題角度1序號的數字特征例2已知 an 為等比數列 1 若an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 求a3 a5 解答 根據等比數列的性質a5a6 a1a10 a2a9 a3a8 a4a7 9 a1a2 a9a10 a5a6 5 95 log3a1 log3a2 log3a10 log3 a1a2 a9a10 log395 10 2 若an 0 a5a6 9 求log3a1 log3a2 log3a10的值 解答 反思與感悟 抓住各項序號的數字特征 靈活運用等比數列的性質 可以順利地解決問題 跟蹤訓練2在各項均為正數的等比數列 an 中 若a3a5 4 則a1a2a3a4a5a6a7 128 答案 解析 命題角度2整體思想例3已知等比數列 an 中 a4 a8 2 則a6 a2 2a6 a10 的值為a 4b 6c 8d 9 答案 解析 反思與感悟 利用等比數列性質 挖掘出條件與解題目標之間的聯系 進而進行整體代換 是簡化計算的常用技巧 跟蹤訓練3設 an 為公比q 1的等比數列 若a2012和a2013是方程4x2 8x 3 0的兩根 則a2014 a2015 答案 解析 18 當堂訓練 由a5 a2q3 得q3 8 所以q 2 1 在等比數列 an 中 a2 8 a5 64 則公比q為a 2b 3c 4d 8 答案 解析 1 2 3 4 因為a2a9 a1a10 27 所以log3a2 log3a9 log327 3 答案 解析 2 在等比數列 an 中 an 0 且a1 a10 27 則log3a2 log3a9等于a 9b 6c 3d 2 1 2 3 4 設這8個數組成的等比數列為 an 則a1 1 a8 2 插入的6個數的積為a2a3a4a5a6a7 a2a7 a3a6 a4a5 a1a8 3 23 8 3 在1與2之間插入6個正數 使這8個數成等比數列 則插入的6個數的積為 1 2 3 4 答案 解析 8 不是等比數列 a1 21 31 5 a2 22 32 13 a3 23 33 35 a1a3 數列 an 不是等比數列 1 2 3 4 4 已知an 2n 3n 判斷數列 an 是不是等比數列 解答 規律與方法 1 等比數列的判斷或證明 1 利用定義 q