高中高一數學必修1各章知識點總結第一章 集合與函數概念一、集合有關概念1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示： 如我校的籃球隊員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列舉法與描述法。注意啊：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）記作：N正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R關于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 aA ，相反，a不屬于集合A 記作 aA列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。語言描述法：例：不是直角三角形的三角形數學式子描述法：例：不等式x-32的解集是xR| x-32或x| x-324、集合的分類：1有限集 含有有限個元素的集合2無限集 含有無限個元素的集合3空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2“相等”關系(55，且55，則5=5)實例：設 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B 任何一個集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同時 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算1交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB(讀作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AB(讀作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB3、交集與并集的性質：AA = A, A= , AB = BA，AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集與補集（1）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即 ），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作： CSA 即 CSA =x | xS且 xAS CsA A （2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。（3）性質：CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA)A=U 二、函數的有關概念1函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的值域注意：2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；3 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式定義域補充能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零； (3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.(又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域再注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：表達式相同；定義域一致 (兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)值域補充(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。3. 函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C= P(x,y) | y= f(x) , xA 圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。(2) 畫法A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法（請參考必修4三角函數）常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：1、直觀的看出函數的性質；2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發現解題中的錯誤。4快去了解區間的概念（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示5什么叫做映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A B”給定一個集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，集合A、B及對應法則f是確定的；對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；對于映射f：AB來說，則應滿足：（）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。常用的函數表示法及各自的優點：1 函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據；2 解析法：必須注明函數的定義域；3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征注意啊：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值補充一：分段函數 （參見課本P24-25）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補充二：復合函數如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=fg(x)=F(x)，(xA) 稱為f、g的復合函數。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)7函數單調性（1）增函數設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數。區間D稱為y=f(x)的單調增區間（睇清楚課本單調區間的概念）如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；2 必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1x2時，總有f(x1)f(x2) 。（2） 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區間與單調性的判定方法(A) 定義法：1 任取x1，x2D，且x11，且 *當 是奇數時，正數的 次方根是一個正數，負數的 次方根是一個負數此時， 的 次方根用符號 表示式子 叫做根式（radical），這里 叫做根指數（radical exponent）， 叫做被開方數（radicand）當 是偶數時，正數的 次方根有兩個，這兩個數互為相反數此時，正數 的正的 次方根用符號 表示，負的 次方根用符號 表示正的 次方根與負的 次方根可以合并成 （ 0）由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。注意：當 是奇數時， ，當 是偶數時， 2分數指數冪正數的分數指數冪的意義，規定：， 0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪3實數指數冪的運算性質（1） ；（2） ；（3） （二）指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數（exponential ），其中x是自變量，函數的定義域為R注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和12、指數函數的圖象和性質a1 0a1 0a1 圖象特征 函數性質 函數圖象都在y軸右側 函數的定義域為（0，） 圖象關于原點和y軸不對稱 非奇非偶函數 向y軸正負方向無限延伸 函數的值域為R 函數圖象都過定點（1，0） 自左向右看，圖象逐漸上升 自左向右看，圖象逐漸下降 增函數 減函數 第一象限的圖象縱坐標都大于0 第一象限的圖象縱坐標都大于0 第二象限的圖象縱坐標都小于0 第二象限的圖象縱坐標都小于0 （三）冪函數1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數2、冪函數性質歸納（1）所有的冪函數在（0，+）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；（2） 時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間 上是增函數特別地，當 時，冪函數的圖象下凸；當 時，冪函數的圖象上凸；（3） 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸 第三章 函數的應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的