此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除錯(cuò)解剖析得真知（三十一） 第十章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用10.1導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.瞬時(shí)變化率：設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變量為時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變，如果當(dāng)趨近于0時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)c（也就是說平均變化率與某個(gè)常數(shù)c的差的絕對(duì)值越來越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)c稱為函數(shù)在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。2.導(dǎo)數(shù)：當(dāng)趨近于零時(shí)，趨近于常數(shù)c。可用符號(hào)“”記作：當(dāng)時(shí)，或記作，符號(hào)“”讀作“趨近于”。函數(shù)在的瞬時(shí)變化率，通常稱作在處的導(dǎo)數(shù)，并記作。3.導(dǎo)函數(shù)：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)。這樣，對(duì)開區(qū)間內(nèi)每個(gè)值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)。于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記為或（或）。4.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：1）函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差）。2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3）函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),且.6.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率2.運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,應(yīng)注意以下幾點(diǎn)（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù),層層求導(dǎo).(2) 要分清每一步的求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，不能混淆，一直計(jì)算到最后，常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤，如實(shí)際上應(yīng)是。(3) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量，如選成，計(jì)算起來就復(fù)雜了。3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義，通常是指物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度。對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義的理解，有助于對(duì)抽象的導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)識(shí)，應(yīng)給予足夠的重視。4. 表示處的導(dǎo)數(shù)，即是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；表示函數(shù)在某給定區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，此時(shí)是在上的函數(shù)，即是在內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。5.導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在處可導(dǎo)，則此函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，未必在點(diǎn)可導(dǎo)，也就是說，連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件。6.可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程可如下求得：（1）求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率。（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義可知，切線方程為.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知,則 .錯(cuò)因：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計(jì)算不熟練,其與系數(shù)不一樣也是一個(gè)復(fù)合的過程,有的同學(xué)忽視了,導(dǎo)致錯(cuò)解為:.正解：設(shè),則.例2已知函數(shù)判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)？錯(cuò)解：。分析： 分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)，須根據(jù)定義來判斷是否可導(dǎo) . 解： f(x)在x=1處不可導(dǎo).注：，指逐漸減小趨近于0；，指逐漸增大趨近于0。點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)極限值，即，x0，包括x0，與x0，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)是否存在時(shí)，要驗(yàn)證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù).例3求在點(diǎn)和處的切線方程。錯(cuò)因：直接將，看作曲線上的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)求解。分析：點(diǎn)在函數(shù)的曲線上，因此過點(diǎn)的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；點(diǎn)不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過設(shè)切點(diǎn)的方法求切線解：即過點(diǎn)的切線的斜率為4，故切線為：設(shè)過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，又，故，。即切線的斜率為4或12，從而過點(diǎn)的切線為：點(diǎn)評(píng)： 要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)例4求證：函數(shù)圖象上的各點(diǎn)處切線的斜率小于1，并求出其斜率為0的切線方程.分析： 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，要證函數(shù)的圖象上各點(diǎn)處切線的斜率都小于1，只要證它的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值都小于1，因此，應(yīng)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，再進(jìn)行論證與求解. 解：（1），即對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任一，其導(dǎo)數(shù)值都小于，于是由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)圖象上各點(diǎn)處切線的斜率都小于1.（2）令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，曲線的斜率為0的切線有兩條，其切點(diǎn)分別為與，切線方程分別為或。點(diǎn)評(píng)： 在已知曲線 切線斜率為的情況下，要求其切線方程，需要求出切點(diǎn)，而切點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是的導(dǎo)數(shù)值為時(shí)的解，即方程的解，將方程的解代入就可得切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求出了切點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出切線方程，要注意的是方程有多少個(gè)相異實(shí)根，則所求的切線就有多少條. 例5（02年高考試題）已知，函數(shù)，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為 . （1）求 的方程； （2）設(shè) 與 軸交點(diǎn)為，求證： ；若，則分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用其求出切線斜率，導(dǎo)出切線方程 . 解：（1） 切線的方程為即.（2）依題意，切線方程中令y=0得， 由知，例6求拋物線 上的點(diǎn)到直線的最短距離. 分析：可設(shè) 為拋物線上任意一點(diǎn)，則可把點(diǎn)到直線的距離表示為自變量的函數(shù)，然后求函數(shù)最小值即可，另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)的切點(diǎn)到直線的距離即為本題所求. 解：根據(jù)題意可知，與直線 xy2=0平行的拋物線y=x2的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線xy2=0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（），那么, 切點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)到直線xy2=0的距離， 拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離為.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.函數(shù)在處不可導(dǎo)，則過點(diǎn)處，曲線的切線 （ ） A必不存在B必定存在 C必與x軸垂直 D不同于上面結(jié)論2.在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)數(shù)是_.3.已知，若，則的值為_.4.已知P（1，1），Q（2，4）是曲線上的兩點(diǎn)，則與直線平行的曲線的切線方程是 _. 5.如果曲線的某一切線與直線平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程.6若過兩拋物線和的一個(gè)交點(diǎn)為P的兩條切線互相垂直.求證：拋物線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).錯(cuò)解剖析得真知（三十二） 10.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、 知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.可導(dǎo)函數(shù)的極值（1）極值的概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且若對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有（或），則稱為函數(shù)的一個(gè)極大（小）值，稱為極大（小）值點(diǎn).（2）求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:求導(dǎo)數(shù)。求方程的根.求方程的根.檢驗(yàn)在方程的根的左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.2.函數(shù)的最大值和最小值（1）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行.求在內(nèi)的極值.將在各極值點(diǎn)的極值與、比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.（2）若函數(shù)在上單調(diào)增加，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意：（以下將導(dǎo)函數(shù)取值為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù)在點(diǎn)處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點(diǎn)不是的駐點(diǎn).(1) 可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處有，即點(diǎn)是的駐點(diǎn)，但從在上為增函數(shù)可知，點(diǎn)不是的極值點(diǎn).(2) 求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，常常把駐點(diǎn)附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實(shí)際問題中的最大值和最小值時(shí)，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個(gè)開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（其實(shí)只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（小）值（如果定義域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（小）.記住這個(gè)定理很有好處），然后通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么立即可以斷定在這個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大（小）值。知道這一點(diǎn)是非常重要的，因?yàn)樗趹?yīng)用上較為簡(jiǎn)便，省去了討論駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，求函數(shù)在端點(diǎn)處的值，以及同函數(shù)在極值點(diǎn)處的值進(jìn)行比較等步驟.2.極大（小）值與最大（小）值的區(qū)別與聯(lián)系極值是局部性概念，最大（小）值可以看作整體性概念，因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的.極大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是極大（小）值，但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知曲線及點(diǎn)，求過點(diǎn)的曲線的切線方程.錯(cuò)解：，過點(diǎn)的切線斜率，過點(diǎn)的曲線的切線方程為.錯(cuò)因：曲線在某點(diǎn)處的切線斜率是該曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.在此題中，點(diǎn)湊巧在曲線上，求過點(diǎn)的切線方程，卻并非說切點(diǎn)就是點(diǎn)，上述解法對(duì)求過點(diǎn)的切線方程和求曲線在點(diǎn)處的切線方程，認(rèn)識(shí)不到位，發(fā)生了混淆.正解：設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線切于點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線的切線斜率，又，。點(diǎn)在曲線上，代入得化簡(jiǎn)，得，或.若，則，過點(diǎn)的切線方程為；若，則，過點(diǎn)的切線方程為過點(diǎn)的曲線的切線方程為或例2已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍.錯(cuò)解：在上是減函數(shù)，在上恒成立，對(duì)一切恒成立，即，.正解:，在上是減函數(shù)，在上恒成立，且，即且，.例3當(dāng) ，證明不等式.證明：，則，當(dāng)時(shí)。在內(nèi)是增函數(shù)，即，又，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)，即，因此，當(dāng)時(shí)，不等式成立.點(diǎn)評(píng)：由題意構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而導(dǎo)出及是解決本題的關(guān)鍵.例4設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省?解 ： 設(shè)BD之間的距離為km,則|AD|=,|CD|=.如果公路運(yùn)費(fèi)為元/km,那么鐵路運(yùn)費(fèi)為元/km.故從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運(yùn)費(fèi)為:+,().對(duì)該式求導(dǎo),得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合實(shí)際意義,舍去).且=15是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn),所以=15是函數(shù)的極小值點(diǎn),而且也是函數(shù)的最小值點(diǎn).由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時(shí),運(yùn)費(fèi)最省.點(diǎn)評(píng)： 這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù),用過去的知識(shí)求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí),求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡(jiǎn)單.一般情況下,對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式函數(shù)簡(jiǎn)單的無理函數(shù)、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.由此也可見,導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間.例5（2006年四川）函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）對(duì)滿足11的一切的值，都有0，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線3只有一個(gè)公共點(diǎn).解：（1）由題意 令，對(duì)，恒有，即 即解得故時(shí)，對(duì)滿足11的一切的值，都有.（2）當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)時(shí)，列表： 極大極小又的值域是，且在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí)，恒有由題意得即解得綜上，的取值范圍是.例6若電燈B可在桌面上一點(diǎn)O的垂線上移動(dòng)，桌面上有與點(diǎn)O距離為的另一點(diǎn)A，問電燈與點(diǎn)0的距離怎樣，可使點(diǎn)A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）分析：如圖，由光學(xué)知識(shí)，照度與成正比，與成反比，即（是與燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)）要想點(diǎn)處有最大的照度，只需求的極值就可以了.解：設(shè)到的距離為，則，于是，.當(dāng)時(shí)，即方程的根為（舍）與，在我們討論的半閉區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在點(diǎn)取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與點(diǎn)距離為時(shí)，點(diǎn)的照度為最大. （0，）+-點(diǎn)評(píng)：在有關(guān)極值應(yīng)用的問題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點(diǎn)使得=0且在該點(diǎn)兩側(cè)，的符號(hào)各異，一般稱為單峰問題，此時(shí)，該點(diǎn)就是極值點(diǎn)，也是最大（小）值點(diǎn).四、典型習(xí)題導(dǎo)練1已知函數(shù)，若是的一個(gè)極值點(diǎn)，則值為 （ ）A2 B.-2 C. D.42.已知函數(shù)在處有極值為10，則= .3給出下列三對(duì)函數(shù)：， ，；其中有且只有一對(duì)函數(shù)“既互為反函數(shù)，又同是各自定義域上的遞增函數(shù)”，則這樣的兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是 ， .4已知函數(shù)有極大值和極小值，求的取值范圍.5已知拋物線，過其上一點(diǎn)引拋物線的切線，使與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求的方程.6設(shè)在上的最大值為，（1）求的表達(dá)式；（2）求的最大值.10.3定積分與微積分基本定理一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1可微：若函數(shù)在的增量可以表示為的線性函數(shù)（是常數(shù)）與較高階的無窮小量之和:（1）,則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，（1）中的稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分，記作或.函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在可導(dǎo)，這時(shí)（1）式中的等于.若函數(shù)在區(qū)間上每點(diǎn)都可微，則稱為上的可微函數(shù).函數(shù)在上的微分記作.2微積分基本定理：如果，且在上可積.則.其中叫做的一個(gè)原函數(shù).由于，也是的原函數(shù)，其中為常數(shù).二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1 .定積分的定義過程包括“分割、近似求和、取極限”這幾個(gè)步驟，這里包含著很重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有對(duì)定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應(yīng)用.1）一般情況下，對(duì)于區(qū)間的分割是任意的，只要求分割的小區(qū)間的長(zhǎng)度的最大者趨近于0，這樣所有的小區(qū)間的長(zhǎng)度才能都趨近于0，但有的時(shí)候?yàn)榱私忸}的方便，我們選擇將區(qū)間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.2）對(duì)每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的選取也是任意的，在解題中也可選取區(qū)間的左端點(diǎn)或是右端點(diǎn).3）求極限的時(shí)候，不是，而是.2在微積分基本定理中，原函數(shù)不是唯一的，但我們只要選取其中的一個(gè)就可以了，一般情況下選那個(gè)不帶常數(shù)的。因?yàn)?3利用定積分來求面積時(shí)，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計(jì)算，分兩部分進(jìn)行計(jì)算，然后求兩部分的代數(shù)和.三 、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的面積S.錯(cuò)解：分兩部分，在，在，因此所求面積為 2+（-2）=0。分析：面積應(yīng)為各部分積分的代數(shù)和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數(shù)。所以不應(yīng)該將兩部分直接相加。正解：例2用微積分基本定理證明（）分析：即尋找的原函數(shù)代入進(jìn)行運(yùn)算。解；設(shè)，則= =由微積分基本定理的逆運(yùn)用可知：上式所以原式成立，即證。注：該式可用來求分布在軸兩側(cè)的圖形的積分。例3根據(jù)等式求常數(shù)的值。1） 2）分析：利用微積分基本定理，求出原函數(shù)代入求解解：1）2）例4某產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位時(shí)的邊際收入（） 求生產(chǎn)了50個(gè)單位時(shí)的總收入。（） 如果已生產(chǎn)了100個(gè)單位時(shí)，求再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收入。分析：總收入為邊際收入的積分和，求總收入既為求邊際收入在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的定積分。由收入函數(shù)和邊際收入的關(guān)系可得（1）生產(chǎn)50個(gè)單位時(shí)的總收入為 = =99875（2）已生產(chǎn)了100個(gè)單位時(shí)后，再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收入為答：生產(chǎn)50個(gè)單位時(shí)的總收入為99875；生產(chǎn)了100個(gè)單位時(shí)后，再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收入為19850.例5一個(gè)帶電量為的電荷放在軸上原點(diǎn)處，形成電場(chǎng)，求單位正電荷在電場(chǎng)力作用下沿軸方向從處移動(dòng)到處時(shí)電場(chǎng)力對(duì)它所作的功。分析：變力做功的問題就是定積分問題在物理方面的應(yīng)用。解：?jiǎn)挝徽姾煞旁陔妶?chǎng)中，距原點(diǎn)處，電荷對(duì)它的作用力為在單位電荷移動(dòng)的過程中，電場(chǎng)對(duì)它的作用力為變力。則根據(jù)課本對(duì)變力做功的分析可知答：電場(chǎng)力對(duì)它做的功為。例6一質(zhì)點(diǎn)以速度沿直線運(yùn)動(dòng)。求在時(shí)間間隔上的位移。分析：變速求位移和變力求功一樣都可以用定積分解決。解：答：位移為。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. ( )A. B. C. D.2（ ）A0 B.2 C.-2 D.4 3，則 。4利用概念求極限：5求下列定積分；（1） （2） 6寫出下面函數(shù)在給定區(qū)間上的總和及的表達(dá)式 錯(cuò)解剖析得真知（三十三） 第十一章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)11.1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 復(fù)數(shù)：形如的數(shù)（），復(fù)數(shù)通常有小寫字母表示，即,其中叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部、叫做復(fù)數(shù)的虛部，稱做虛數(shù)單位.2. 分類：復(fù)數(shù)()中，當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)；除了實(shí)數(shù)以外的數(shù)，即當(dāng)b時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng),b時(shí)，叫做純虛數(shù).3. 復(fù)數(shù)集：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合.4. 復(fù)數(shù)相等：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)與的實(shí)部與虛部分別相等，記作：=.5. 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面.在復(fù)平面內(nèi)，軸叫做實(shí)軸， 軸叫做虛軸.6. 復(fù)數(shù)的模：設(shè)=,則向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)的模（或絕對(duì)值），記作.(1)；(2)=；(3)；7共扼復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共扼復(fù)數(shù).二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小2則，而，則不一定成立，如時(shí)；3，而則不一定成立；4若不一定能推出；5若，則=，但若則上式不一定成立.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1兩個(gè)共扼復(fù)數(shù)的差是（ ）.實(shí)數(shù) .純虛數(shù) .零 .零或純虛數(shù)錯(cuò)解:當(dāng)?shù)玫綍r(shí)就錯(cuò)誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設(shè)互為共扼的兩復(fù)數(shù)分別為及則 或當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)當(dāng)時(shí)，因此應(yīng)選D. 注：要認(rèn)真審題，看清題設(shè)條件，結(jié)論. 學(xué)會(huì)全面辯證的思考問題，準(zhǔn)確記 憶有關(guān)概念性質(zhì).例2判斷下列命題是否正確 (1)若, 則 (2)若且，則 (3)若，則 錯(cuò)解：(1)認(rèn)為任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方大于零可推廣到復(fù)數(shù)中，從而(1)是正確的 (2)認(rèn)為兩實(shí)數(shù)之差大于零等價(jià)于前一個(gè)大于后一個(gè)實(shí)數(shù)，也可推到復(fù)數(shù)中來.認(rèn)為兩復(fù)數(shù)差為實(shí)數(shù)則這兩個(gè)復(fù)數(shù)也為實(shí)數(shù).而認(rèn)為命題(2)是正確的. (3)把不等式性質(zhì)錯(cuò)誤的推廣到復(fù)數(shù)中，忽略不等式是在實(shí)數(shù)中成立的前提條件. 正解：(1)錯(cuò)，反例設(shè)則 (2)錯(cuò)，反例設(shè)，滿足，但不能比較大小. (3)錯(cuò)，故，都是虛數(shù)，不能比較大小.例3實(shí)數(shù)分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù). 解：實(shí)部，虛部.（1）當(dāng) 時(shí)，是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng) ，且 時(shí)，是虛數(shù)；（3） 當(dāng) 或 時(shí)是純虛數(shù)例4 設(shè)，當(dāng)取何值時(shí)， (1) ; (2).分析：復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的依據(jù)，這是解復(fù)數(shù)問題常用的思想方法，這個(gè)題就可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來列出關(guān)于實(shí)數(shù) 的方程，求出 的值解：(1)由可得：解之得，即：當(dāng) 時(shí) (2)當(dāng) 可得： 或 ，即 時(shí).例5是兩個(gè)不為零的復(fù)數(shù)，它們?cè)趶?fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)P和Q，且，證明OPQ為直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），并求兩銳角的度數(shù)分析 本題起步的關(guān)鍵在于對(duì)條件的處理等式左邊是關(guān)于的二次齊次式，可以看作二次方程求解，也可配方解：由（，不為零），得即向量與向量的夾角為，在圖中，又，設(shè)，在OPQ中，由余弦定理OPQ為直角三角形，四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系，那么z等于（ ）A B C D2.復(fù)數(shù)系方程有實(shí)數(shù)根，則這個(gè)實(shí)數(shù)是.3.實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)是(1)純虛數(shù)；(2)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限4.已知且求復(fù)數(shù).5.設(shè)復(fù)數(shù)滿足且在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限、四象限的角平分線上，求的值.錯(cuò)解剖析得真知（三十四） 11.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)加法的幾何意義復(fù)數(shù) 是以、為兩鄰邊的平行四邊形對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)是連接向量、的終點(diǎn)，并指向被減數(shù)的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).2. 重要結(jié)論（1） 對(duì)復(fù)數(shù)z 、和自然數(shù)m、n，有，(2) ，； ，.(3) ，.(4)設(shè)，二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.對(duì)于，是復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)，也是把復(fù)數(shù)看作整體進(jìn)行運(yùn)算的主要依據(jù)，在解題中加以認(rèn)識(shí)并逐漸體會(huì).2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，不能把實(shí)數(shù)的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來，如下面的結(jié)論.當(dāng)時(shí)，不總是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 滿足條件的點(diǎn)的軌跡是（ ）A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓錯(cuò)解：選A或B.錯(cuò)因：如果把看作動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)（0，2）的距離，由上式表示到兩個(gè)定點(diǎn)（0，2）與（-1，0）的距離之和為常數(shù) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合橢圓的定義，但是，有一定的前提的就是兩點(diǎn)間的距離小于定常數(shù).正解：點(diǎn)（0，2）與（-1，0）間的距離為， 動(dòng)點(diǎn)在兩定點(diǎn)（0，-2）與（-1，0）之間，選C評(píng)注：加強(qiáng)對(duì)概念的理解加深，認(rèn)真審題.例2 求值：錯(cuò)解：原式= 錯(cuò)因：上面的解答錯(cuò)在沒有真正理解的含義，只是用了三個(gè)特殊整數(shù)代替了所有整數(shù)，犯了用特殊代替一般的錯(cuò)誤.另外還可以看出對(duì)虛數(shù)單位的整數(shù)冪的運(yùn)算不熟悉，沒有掌握虛數(shù)單位整數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)果的周期性.正解：原式=評(píng)注：虛數(shù)單位整數(shù)冪的值具有以4為周期的特點(diǎn)，根據(jù)必須按被4整除余數(shù)為0、1、2、3四種情況進(jìn)行分類討論.例3已知，求的值.分析：結(jié)論是等比數(shù)列的求和問題，所以應(yīng)聯(lián)想到求和公式，若直接將條件代入求和公式，則顯得較為麻煩，不妨先將條件化簡(jiǎn). 原式=評(píng)注：由于數(shù)列中的數(shù)可以是復(fù)數(shù)，所以數(shù)列的諸性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中仍成立.例4 （06年上海春卷）已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程.解法一： ， . 若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根. ， 所求的一個(gè)一元二次方程可以是. 解法二：設(shè) ， 得 ， 以下解法同解法一.例5解析 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1（06年四川卷）非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對(duì)任意，都有； （2）存在，使得對(duì)一切，都有，則稱關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算： 其中關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”_;（寫出所有“融洽集”的序號(hào)）2. 3計(jì)算4.計(jì)算 5解下列方程：(1)；(2). 錯(cuò)解剖析得真知（三十五） 第十二章 統(tǒng)計(jì)121抽樣方法一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1抽簽法：（1）將總體中的所有個(gè)體編號(hào)（號(hào)碼可以從1到N）；（2）將1到N這N個(gè)號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上（號(hào)簽可以用小球、卡片、紙條等制作）；（3）將號(hào)簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（4）從箱中每次抽出1個(gè)號(hào)簽，并記錄其編號(hào)，連續(xù)抽取k次；（5）從總體中將與抽到的簽的編號(hào)相一致的個(gè)體取出.2隨機(jī)數(shù)表法：（1）對(duì)總體中的個(gè)體進(jìn)行編號(hào)（每個(gè)號(hào)碼位數(shù)一致）；（2）在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始；（3）從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，得到的數(shù)碼若不在編號(hào)中，則跳過；若在編號(hào)中，則取出；如果得到的號(hào)碼前面已經(jīng)取出，也跳過；如此繼續(xù)下去，直到取滿為止；（4） 根據(jù)選定的號(hào)碼抽取樣本.3系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）：（1）采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)；（2）將整個(gè)的編號(hào)按一定的間隔（設(shè)為k）分段，當(dāng)（N為總體中的個(gè)體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時(shí)，；當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，從總體中剔除一些個(gè)體，使剩下的總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)N能被n整除，這時(shí)，并將剩下的總體重新編號(hào)；（3）在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)；（4）將編號(hào)為的個(gè)體抽出.4分層抽樣：（1）將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層；（2）計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)數(shù)的比；（3）按各層個(gè)體數(shù)占總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；（4）在每一層進(jìn)行抽樣（可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣）.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)不放回地抽取.2簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣都是一種等概率抽樣，即每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都是相同的.3簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣適用于總體中個(gè)體較少的情況；系統(tǒng)抽樣適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情形；分層抽樣用于總體由幾個(gè)差異明顯的部分組成的情況.4 分層抽樣時(shí)，在每一層內(nèi)進(jìn)行抽樣時(shí)可根據(jù)具體情況，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣.5 在使用分層抽樣時(shí)，在每一層內(nèi)抽樣的比例相同.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1某工廠生產(chǎn)A,B,C,D四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5：1，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A型號(hào)有16件，那么此樣本容量n是多少？錯(cuò)解：樣本容量16=2（件）錯(cuò)因：混淆了A型號(hào)產(chǎn)品與樣本容量的比例關(guān)系.正解：在分層抽樣中，每一層所抽的個(gè)體數(shù)的比例與總體中各層個(gè)體數(shù)的比例是一致的，所以，樣本容量為答：此樣本容量為88件.例2從1002名學(xué)生中選取100名進(jìn)行抽樣檢查.請(qǐng)用系統(tǒng)抽樣法設(shè)計(jì)一種方案，敘述其步驟.解：（1）將1002名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)，號(hào)碼分別為1，2，1002； （2）用隨機(jī)數(shù)表法剔除2個(gè)個(gè)體，并將剩下的學(xué)生重新編號(hào)，號(hào)碼分別為1，2，1000；（3）將1000個(gè)號(hào)碼平均分成100組，并在第一組1，2，10中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法確定一個(gè)號(hào)碼（如）；（2） 將號(hào)碼為的個(gè)體抽出.例3某學(xué)校有2005名學(xué)生，從中選取20人參加學(xué)生代表大會(huì)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行抽樣，是用抽簽法還是隨機(jī)數(shù)表法？如何具體實(shí)施？分析：由于學(xué)生人數(shù)較大，制作號(hào)簽比較麻煩，所以決定用隨機(jī)數(shù)表法解：采用隨機(jī)數(shù)表法實(shí)施步驟：（1） 對(duì)2005名同學(xué)進(jìn)行編號(hào)，0000-2004（2） 在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)地確定一個(gè)數(shù)作為開始，如21行45列的數(shù)字9開始的4位：9706；依次向下讀數(shù)，5595，4904,，如到最后一行，轉(zhuǎn)向左邊的四位數(shù)字號(hào)碼，并向上讀，凡不在0000-2004范圍內(nèi)的，則跳過，遇到已讀過的數(shù)也跳過，最后得到號(hào)碼為：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855的學(xué)生組成容量為20的樣本.例4某工廠有3條生產(chǎn)同一產(chǎn)品的流水線，每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別是3000件，4000件，8000件.若要用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為150件產(chǎn)品的樣本，應(yīng)該如何抽樣？解：總體中的個(gè)體數(shù)N=3000+4000+8000=15000樣本容量n=150抽樣比例為所以應(yīng)該在第一條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3000=30件產(chǎn)品在第二條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取：4000=40件產(chǎn)品在第三條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取：5000=50件產(chǎn)品這里因?yàn)槊織l流水線所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)都較多，所以，在每條流水線的產(chǎn)品中抽取樣品時(shí)，宜采用系統(tǒng)抽樣方法。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1為了解某班50名同學(xué)的會(huì)考及格率，從中抽取10名進(jìn)行考查分析，則在這次考查中，考查的總體內(nèi)個(gè)體總數(shù)為 樣本容量為 .2采用系統(tǒng)抽樣從含有2000個(gè)個(gè)體的總體（編號(hào)為0000，0001，1999）中抽取一個(gè)容量為100的樣本，則第一段的編號(hào)為 若在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到起始個(gè)體編號(hào)為0013，則前6個(gè)入樣編號(hào)為 . 3某市為了了解職工的家庭生活狀況，先將職工所在的國(guó)民經(jīng)濟(jì)行業(yè)分成13類，然后每個(gè)行業(yè)抽的職工家庭進(jìn)行調(diào)查，這種抽樣方法是 .4用分層抽樣的方法在一個(gè)企業(yè)中抽取一個(gè)樣本容量為50的樣本，其中在管理營(yíng)銷部門抽了15人，技術(shù)部門10人，其余在生產(chǎn)工人中抽取，已知該企業(yè)有生產(chǎn)工人375人，那么這個(gè)企業(yè)共有多少職工？5采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有5個(gè)人的身高的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本，寫出全部樣本，并計(jì)算各個(gè)樣本的平均值，各樣本平均值的平均值.12.2頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1頻率分布表：反映總體頻率分布的表格.2一般地，編制頻率分布表的步驟如下：（1）求全距，決定組數(shù)和組距，組距=；（2）分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；（3）登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.3 頻率（分布）直方圖：利用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律.4 一般地，作頻率分布直方圖的方法為：（1）把橫軸分成若干段，每一線段對(duì)應(yīng)一個(gè)組的組距；（2）以此線段為底作矩形，它的高等于該組的，這樣得出一系列的矩形；（3）每個(gè)矩形的面積恰好是該組上的頻率.5 頻率折線圖：如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連接起，就得到一條折線，稱這條折線為本組數(shù)據(jù)的頻率折線圖.6 制作莖葉圖的方法是：將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個(gè)位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個(gè)莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從大到小（或從小到大）的順序同行列出.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1 在編制頻率分布表時(shí)，要選擇適當(dāng)?shù)慕M距和起始點(diǎn)才可以使頻率分布表更好地反映數(shù)據(jù)的分布情況.2 在編制頻率分布表時(shí)，如果取全距時(shí)不利于分組（如不能被組數(shù)整除），可適當(dāng)增大全距，如在左右兩端各增加適當(dāng)范圍（盡量使兩端增加的量相同）.3 頻率折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則這條折線將趨于一條曲線，我們稱這一曲線為總體分布的密度曲線.4 莖葉圖對(duì)于分布在099的容量較小的數(shù)據(jù)比較合適，此時(shí)，莖葉圖比直方圖更詳盡地表示原始數(shù)據(jù)的信息.5 在莖葉圖中，莖也可以放兩位，后面位數(shù)多可以四舍五入后再制圖.三、典型例題導(dǎo)講例1（06全國(guó)卷）一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人用再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在（元）月收入段應(yīng)抽出 人.解析:由直方圖可得（元）月收入段共有人，按分層抽樣應(yīng)抽出人.故答案 25點(diǎn)評(píng)：頻率分布直方圖中，關(guān)健要理解圖中數(shù)據(jù)的意義，特別是圖中每個(gè)小矩形的面積才是這一組距內(nèi)個(gè)體的頻率.例2從有甲乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)抽取15個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，相關(guān)指標(biāo)的檢驗(yàn)結(jié)果為：甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514畫出上述數(shù)據(jù)的莖葉圖錯(cuò)解：錯(cuò)因：對(duì)于兩位數(shù)是將兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個(gè)位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個(gè)莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從大到小（或從小到大）的順序同行列出，對(duì)于三位數(shù)字，應(yīng)該把前兩位數(shù)字作為莖，最后一位數(shù)字作為葉，然后從圖中觀察數(shù)據(jù)的分布情況，而不是仍考慮兩位數(shù)，盡管此題的效果一樣.正解：用前兩位數(shù)作為莖，莖葉圖為從圖中可以看出，甲機(jī)床生產(chǎn)的零件的指標(biāo)分布大致對(duì)稱，平均分在520左右，中位數(shù)和眾數(shù)都是522，乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的指標(biāo)分布也大致對(duì)稱，平均分也在520左右，中位數(shù)和眾數(shù)分別是520和516，總的看，甲的指標(biāo)略大一些.例3在繪制頻率分布直方圖的第三個(gè)矩形時(shí)，矩形高度 與這個(gè)矩形的寬度（組距）有關(guān)； 與樣本容量n無關(guān)； 與第三個(gè)分組的頻數(shù)有關(guān)； 與直方圖的起始點(diǎn)無關(guān).以上結(jié)論中正確的共有（）A0個(gè) B.1個(gè) C. 2個(gè) D.3個(gè)錯(cuò)解：D.錯(cuò)因：起始點(diǎn)與組距均影響第三組的頻數(shù)，所以矩形高度與以上各因素均有關(guān)，正確，正解：C.例4根據(jù)中國(guó)銀行的外匯牌價(jià)，2005年第一季度的60個(gè)工作日中，歐元的現(xiàn)匯買入價(jià)（100歐元的外匯可兌換的人民幣）的分組與各組頻數(shù)如下：1050，1060：1，1060，1070：7，1070，1080：20，1080，1090：11，1090，1100：13，1100，1110：6，1110，1120：2.（1）列出歐元的現(xiàn)匯買入價(jià)的頻率分布表；（2）估計(jì)歐元的現(xiàn)匯買入價(jià)在區(qū)間10651105內(nèi)的頻率；（3）如果歐元的現(xiàn)匯買入價(jià)不超過x的頻率的估計(jì)值為0.95，求此x解：（1）歐元的現(xiàn)匯買入價(jià)的頻率分布表為：分組頻數(shù)頻率1050，106010.0171060，107070.1171070，1080200.3331080，1090110.1831090，1100130.2171100，111060.1001110，112020.033合計(jì)601.000（2）歐元現(xiàn)匯買入價(jià)在區(qū)間10651105內(nèi)的頻率的估計(jì)值為（3）因?yàn)?.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.8670.95，0.017+0.217+0.100=0.9670.95，所以在1100，1110內(nèi)，且滿足0.867+0.100即歐元現(xiàn)匯買入價(jià)不超過1108.3的頻率的估計(jì)為0.95例5初一年級(jí)某班期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：分?jǐn)?shù)段100909980-8970-7960-690-59人數(shù)26122172如果80分以上（包括80分）定為成績(jī)優(yōu)秀，60分以上（包括60分）定為成績(jī)及格.那么，在這個(gè)班級(jí)的這次成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，成績(jī)不及格的頻率是多少？成績(jī)及格的頻率是多少？成績(jī)優(yōu)秀的頻率是多少？解：被統(tǒng)計(jì)的對(duì)象（參加這次考試的本班學(xué)生）共有2+6+12+21+7+2=50個(gè).60分以上的有48個(gè)，80分以上的有20個(gè)，所以成績(jī)不及格的頻率是，成績(jī)及格的頻率是，成績(jī)優(yōu)秀的頻率是.說明 要計(jì)算一組數(shù)據(jù)中某個(gè)對(duì)象的頻率，要先計(jì)算數(shù)據(jù)的總的個(gè)數(shù)，再計(jì)算符合這個(gè)對(duì)象要求的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).某個(gè)對(duì)象可以是一個(gè)確定的數(shù)據(jù)，也可以是在某一范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的總數(shù).例6在英語(yǔ)單詞frequency和英語(yǔ)詞組relative frequency中，頻數(shù)最大的各是哪個(gè)字母？它們的頻數(shù)和頻率各是多少？解：在frequency和英語(yǔ)詞組relative frequency中，頻數(shù)最大的字母都是e，在單詞frequency中，e的頻數(shù)是2，頻率是；在詞組relative frequency中，e的頻數(shù)是4，頻率是.點(diǎn)評(píng)：在兩組數(shù)據(jù)中，同一個(gè)對(duì)象的頻數(shù)相等，但頻率不一定相等，頻數(shù)大，不一定頻率大.在同一組數(shù)據(jù)中，某兩個(gè)對(duì)象的頻數(shù)相等，頻率也相等；頻數(shù)大，頻率也大.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1（06年重慶卷）為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為歲的男生體重，得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在的學(xué)生人數(shù)是（ ）.A 20 B.30 C.40 D. 502 一個(gè)容量為800的樣本，某組的頻率為6.25%，則這一組的頻數(shù)是 3 某校隨機(jī)抽取了20名學(xué)生，測(cè)量得到的視力數(shù)據(jù)如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0，4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0（1） 列出頻率分布表（共分5組）（2） 估計(jì)該校學(xué)生的近視率（視力低于4.9）4 用一個(gè)容量為200的樣本制作頻率分布直方圖時(shí)，共分13組，組距為6，起始點(diǎn)為10，第4組的頻數(shù)為25，則直方圖中第4個(gè)小矩形的寬和高分別是多少？5 200名學(xué)生某次考試的成績(jī)的分組及各組頻率如下表：分組頻數(shù)21130528520則及格率，優(yōu)秀率（）的估計(jì)分別是6某地隨機(jī)檢查了140名成年男性紅細(xì)胞（L），數(shù)據(jù)的分組及頻率如下表：分組頻數(shù)頻率分組頻數(shù)頻率21761311425232127合計(jì)140（1）完成上面的頻率分布表（2）根據(jù)上面的圖表，估計(jì)成年男性紅細(xì)胞數(shù)在正常值（4.05.5）內(nèi)的百分比7名著簡(jiǎn)愛的中英文版本中，第一節(jié)部分內(nèi)容每句句子所含單詞（字）數(shù)如下：英文句子所含單詞數(shù)10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字?jǐn)?shù)11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51.（1）作出這些數(shù)據(jù)的莖葉圖；（2）比較莖葉圖，你能得到什么結(jié)論？錯(cuò)解剖析得真知（三十六） 123平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1n 個(gè)數(shù)據(jù)，.的平均數(shù)或平均值一般記為=.2一般地，若取值的頻率分別為，則其平均數(shù)為.3把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差.4 一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則稱為這個(gè)樣本的方差，算術(shù)平方根為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別簡(jiǎn)稱樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)都是總體的數(shù)字特征，從不同角度反映了分布的集中趨勢(shì)，平均數(shù)是最常用的指標(biāo)，也是數(shù)據(jù)點(diǎn)的“重心”位置，它易受極端值（特別大或特別小的值）的影響，中位數(shù)位于數(shù)據(jù)序列的中間位置，不受極端值的影響，在一組數(shù)據(jù)中，可能沒有眾數(shù)，也可能有多個(gè)眾數(shù).2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差是總體的數(shù)字特征，反映了分布的分散程序（波動(dòng)大小），標(biāo)準(zhǔn)差也會(huì)受極端值（特別大或特別小的值）的影響.3.分布的分散程序還可以用極差來描述，但較粗略.4.樣