一元二次不等式的解法（第一課時）教學設計（2010-3-29）教 材:人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學必修5授課教師:廣東省揭陽市漁湖中學 鐘立權【教學目標】不等式是高中數學研究的一個重要課題，它與中學數學其它章節有著密切的聯系，可以說是貫穿高中數學的始終，而一元二次不等式雖是最基礎、最簡單的不等式，但它卻有著重要地位，縱向看，它是后面的分式不等式、含絕對值不等式等歸化、轉化的歸宿；橫向看，它與二次函數、一元二次方程密切相關，因此成為我們學習討論和考察學生能力的一個熱點。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續和深化，對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用，也與函數、數列、三角函數、線形規劃、直線與圓錐曲線以及導數等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整個高中數學教學中具有很強的基礎性，體現出很大的工具作用。1、知識與能力：熟練掌握一元二次不等式的解法，正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數三者的關系；培養學生運用數形結合與等價轉化等數學思想方法解決問題的能力，提高運算和作圖能力。2、過程與方法：在經歷由二次函數圖象解不等式的過程，師生共同分析、交流，探究發現其中的一般規律，從而得到解決一元二次不等式的辦法。3、情感態度與價值觀: 在通過對解不等式過程中等與不等對立統一關系的認識，向學生逐步滲透辨證唯物主義思想；同時激發學生學習數學的熱情，培養勇于自主探索、合作學習、勇于創新的精神，同時體會事物之間普遍聯系的辯證思想。【教學重點】圖象法解一元二次不等式。【教學難點】一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系。【教學方法】 啟發式、合作探究教學法 【教學手段】多媒體輔助教學復習舊知，自然引出研究問題類比、知識遷移，獲得求解過程啟發、總結，探究規律引導、形成結論應用規律，解決問題【教學流程】【教學過程】1 引 導（情境引入） 問題1:方程2x-7=0的解集是_。 不等式2x-70的解集是_。 不等式2x-70的解集是_。作出函數的圖象。注：（1）引導學生由圖象得出結論（數形結合）（2）由學生填空（一邊演示y0部分圖象）從上例的特殊情形，你能得出什么結論？注：教師引導下學生發現其結論，并由學生嘗試敘述：一元一次方程ax+b=0的根實質上就是直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標；一元一次不等式ax+b0(或ax+b0)的解集實質上就是使得函數的圖象在x軸上方還是下方時x的取值范圍。問題2：問題2：某種汽車在水泥路面上的剎車距離s(單位：m)和汽車車速x（單位：km/h）有如下關系：.在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m，那么這輛汽車剎車鉗的車速至少為多少？（精確到0.01km/h）注：這個是生活中的實例，問題的解決有助于學生更注意安全，更注意生活中的數學。這個例子在教學中，我們暫時是作為引子來介紹，在這里我們并不解答，而是“拋個繡球”給學生，讓他們在學習這個新課后自己來完成，這樣，迎合了學生學習的興趣，也符合新課程標準的學習方式。2 探 究（合作探究）問題3:我們現在就結合上題的求解來試一試。（師生共同活動用“特殊點法”而非課本上的“列表描點”的方法作出的圖像，然后請一位程度中下的同學寫出相應一元二次方程及一元二次不等式的解集。）【答】方程的解集為 不等式的解集為【置疑】哪位同學還能寫出的解法？（請一程度差的同學回答）【答】不等式的解集為。點撥：我們通過二次函數的圖像，不僅求得了的解集，還求出了的解集，可見利用二次函數的圖像來解一元二次不等式是個十分有效的方法。 問題4: 求不等式的解集。（解法同上，但注意二次項系數此時為負。）【答】先講不等式變為：，對應方程的，解集為沒有實數根。因此不等式的解集為。不等式的解集為。問題5：求不等式的解集。【答】方程的，解集為，因此不等式的解集為。3 交 流發 現前面的三個小題，基本涵蓋了一般一元二次不等式解的各種情況，進一步啟發引導學生將特殊、具體題目的結論做一般化總結，與學生一起就 0,0,0 的三種情況，總結二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0 （a0）的解的情況應該水到渠成。至此，學生可以感受到，解二次不等式只須將二次項系數化為正數，求解二次方程 ax2+bx+c=0 的根。根據后的二次不等式的符號寫出解集即可，必要時也可以結合圖象寫解集。這樣我們就得到了一元二次不等式的一種解法(可稱為“三步曲”法)。小結：一元二次不等式的一般解法是：當0時，不等式的解就為根的左右兩端，大于大的，小于小的；當0時，不等式的解就為全體實數，但去掉根；當0時，不等式的解為全體實數。而對于，只要前面這個理解，這個不等式的求解是順理成章的，另外，對于二次項系數是負的，只要兩邊同時乘于-1，不等式變號，那么又返回到剛剛說的問題了，解法同上。這里我采用表格的形式給出相關的關系。 二次函數的圖像的根的解集的解集【答】的解集依次是的解集依次是它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應盡快將表中的結果記住。其關鍵就是抓住相應二次函數的圖像。4 鞏 固（鞏固深化） 為了鞏固和加深二次不等式的一般解法，接下來及時組織學生進行課堂練習，完成課本80頁練習1-(1)(3)(5)題。本環節請不同層次的學生在黑板上書寫解題過程，之后師生共同糾正問題，規范解題過程的書寫。并由學生自己歸納“解一元二次不等式的基本步驟”。5 拓 寬（提高能力）思 考：1.若不等式x2+2x+a0的解集為R , 求實數a的取值范圍. 3. 已知不等式ax2+bx+20的解集為 , 求a、b的值.通過練習加深對知識的理解，提高技能。同時使教師了解學生的掌握情況。設置思考題，使學生活躍思維，培養創新。同時為學有余力的學生提供學習空間。6 回 顧 總 結 1.一元二次方程、一元二次不等式和二次函數的關系： (1)方程的解對應于函數圖象與x軸的交點； (2)不等式的解對應于函數圖象與x軸上方（或下方）部分在x軸上的點。 2. 解一元二次不等式的基本步驟： （1）把二次項系數化為正數； （2）確定對應方程是否有實根，如有實根則求出根； （3）根據對應的二次函數的大致圖象以及不等號的方向，寫出不等式的解集。注：我們把上述根據圖象來解一元二次不等式的方法叫就圖象法.根據圖象來解題，是我們數學中一種很重要的思想，即：數形結合的思想。另外，我們把解不等式的問題轉化為與二次函數和一元二次方程有關的問題，這個也包含了一種數學思想，就是轉化、化歸的思想。 【課時作業】P80習題3.2 A組1、4【板書設計】3.2 一元二次不等式解法（一）1一元二次方程，一元一次不等式及一元一次函數間關系（1）（2）（注：這個是本節課最重要的結論之一，而這個結論是在問題結束后，師生合作，探究，發現其中的一般規律。）2解一元二次不等式的基本步驟：（1）（2）（3）（注：這個是本節課最重要的結論之二，體現合作探究式的教學。）3問題1問題2問題3問題4問題54課堂練習（學生演板）5.作業布置P80習題3.2 A組1、4一元二次不等式的解法（第一課時）教案說明教材:人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學必修5數學課程標準明確指出：有效的數學學習活動不能單純地模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流，可以促進學生自主、全面、可持續的發展，是學生學習數學的重要方式。 為使教學真正做到以學生為本，我對教材P76P79的知識進行了適當地重組和加工，力求給學生提供研究、探討的時間與空間，讓學生充分經歷“做數學”的過程，促使學生在自主中求知，在合作中獲取，在探究中發展。1、本節課教學設計力圖體現以學生發展為本，遵循學生的認知規律，體現循序漸進的教學原則，通過對原有知識的復習，引導學生類比探索新的知識，激發學生的求知欲望，調動學生的積極性。2、本節課采用在教師引導下啟發學生探索發現，體會解題過程中形結合思想方法，使之獲得內心感受