求曲線方程學案課前預習學案一、 預習目標回顧圓錐曲線的定義，并會利用定義和性質求圓錐曲線的方程。二、 預習內容1到頂點和定直線的距離之比為的動點的軌跡方程是 2直線與橢圓交于P、Q兩點，已知過定點（1，0），則弦PQ中點的軌跡方程是 3已知點P是雙曲線上任一點，過P作軸的垂線，垂足為Q，則PQ中點M的軌跡方程是 4在中，已知，且成等差數列，則C點軌跡方程為 課堂探究學案【學習目標】 1了解用坐標法研究幾何問題的方法，了解解析幾何的基本問題 2理解曲線的方程、方程的曲線的概念，能根據曲線的已知條件求出曲線的方程，了解兩條曲線交點的概念3通過曲線方程概念的教學，培養學生數與形相互聯系、對立統一的辯證唯物主義觀點4.通過求曲線方程的教學，培養學生的轉化能力和全面分析問題的能力，幫助學生理解解析幾何的思想方法.5.進一步理解數形結合的思想方法【學習重難點】學習重點：熟練掌握求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數法、參數法等，并能靈活應用。學習難點：曲線方程的概念和求曲線方程的方法【學習過程】一、 新課分析 解析幾何主要研究兩大類問題：一是根據題設條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.解答軌跡問題時，若能充分挖掘幾何關系，則往往可以簡化解題過程 二、典型例題例1設動直線垂直于軸，且與橢圓交于兩點，P是上滿足的點，求點P的軌跡方程。OyxB方法點撥：用直接法：若曲線上的動點滿足的條件是一些幾何量的等量關系，則只需直接把這種關系“翻譯”成關于動點的坐標的方程。經化簡所得同解的最簡方程，即為所求軌跡方程。其一般步驟為：建系設點列式代換化簡檢驗。例2如圖，在中，平方單位，動點P在曲線E上運動，若曲線E過點C且滿足的值為常數。（1） 求曲線E的方程；C（2） 設直線的斜率為1，若直線與曲線E有兩個不同的交點Q、R，求線段QR的中點M的軌跡方程。AyxOB方法點撥：用圓錐曲線的定義求方程。如果題目中的幾何條件能夠滿足圓、橢圓、雙曲線，拋物線的第一、二定義，則直接利用曲線定義寫出其軌跡方程。例3如圖所示，過橢圓E：上任一點P，作右準線的垂線PH，垂足為H。延長PH到Q，使HQ=（1）當P點在E上運動時，求點Q的軌跡G的方程；（2）當取何值時，軌跡G是焦點在平行于軸的直線上的橢圓？證明這些焦點都在同一個橢圓上，并寫出橢圓的方程；（3）當取何值時，軌跡G是一個圓？判斷這個圓與橢圓的右準線的位置關系。方法點撥：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一。求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標互化”將其轉化為變量間的關系。在確定了軌跡方程之后，有時需要對方程中的參數進行討論，因為參數取值的變化會使方程表示不同的曲線，會使其與其他曲線的位置關系不同，會引起另外某些變量取值范圍的變化。例4設橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足點N的坐標為，當繞點M旋轉時，求：（1）動點P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值。 方法點撥：本題是運用參數法求的軌跡。當動點P的坐標之間的直接關系不易建立時，可適當地選取中間變量，并用表示動點P的坐標，從而得到動點軌跡的參數方程，消去參數，便可得到動點P的軌跡普通方程。其中應注意方程的等價性，即由的范圍確定出范圍。 三、小結: 求曲線方程的兩類問題：一是動點變動的根本原因，二是動點變動的約束條件；求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數法、參數法等。課后題高與練習1.若點M（x,y）滿足，則點M的軌跡是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D拋物線.2.點M為拋物線上的一個動點，連結原點O與動點M，以OM為邊作一個正方形MNPO，則動點P的軌跡方程為（）A.B. C. D. 3.方程化簡的結果是（）A.B. C. D. 4.一動圓M與兩定圓均外切，則動圓圓心M的軌跡方程是.5.拋物線關于直線對稱的曲線方程是.橢圓與橢圓關于直線對稱，橢圓的方程是（）A. B. C. D. .下列四個命題：圓關于點A(1，2)對稱的曲線方程是；以點（2，3）和點（2，1）為焦點的橢圓方程可以是；頂點在原點，對稱軸為坐標軸且過點(4，3)的拋物線方程只能是；雙曲線右支上一點P到左準線的距離為18，則P點到右焦點的距離為；以上正確的命題是.（將正確命題的序號都填上）8.設曲線C：和直線.記與C的兩個交點為A、B，求線段AB中點的軌跡方程；若線段AB上的點Q滿足，求點Q的軌跡方程；在點Q的軌跡上是否存在點Q0，使得經過曲線C的焦點的弦被點Q0平分？證明你的結論.答案：1、；2、；3、；4、解析：應用圓錐曲線的定義，注意只有一支.5、；、注意焦點所在位置的變化。 7、；8、略解：（1）設AB中點M，聯立方程組得：，則，消云k得，注意到0，得AB中點的軌跡方程是.（2）點Q的軌跡方程是，是一條線段（無端點）.（3）曲線C的焦點F，設過F的直線方程為，與曲線C的方程聯立，得弦的中點的橫坐標為,解得.當時，弦的中點的縱坐標；當時，弦的中點的縱坐標.綜上，存在點 ，使得經過曲線C的焦點的弦被點Q0平分.求曲線的方程【教學目標】 1了解用坐標法研究幾何問題的方法，了解解析幾何的基本問題 2理解曲線的方程、方程的曲線的概念，能根據曲線的已知條件求出曲線的方程，了解兩條曲線交點的概念3通過曲線方程概念的教學，培養學生數與形相互聯系、對立統一的辯證唯物主義觀點4.通過求曲線方程的教學，培養學生的轉化能力和全面分析問題的能力，幫助學生理解解析幾何的思想方法.5.進一步理解數形結合的思想方法【教學重難點】教學重點：熟練掌握求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數法、參數法等，并能靈活應用。教學難點：曲線方程的概念和求曲線方程的方法【教學過程】一、課前預習 1到頂點和定直線的距離之比為的動點的軌跡方程是 2直線與橢圓交于P、Q兩點，已知過定點（1，0），則弦PQ中點的軌跡方程是 3已知點P是雙曲線上任一點，過P作軸的垂線，垂足為Q，則PQ中點M的軌跡方程是 4在中，已知，且成等差數列，則C點軌跡方程為 答案：1（提示：設動點，則。）；2 ； 3（提示：設，則將代入雙曲線方程得。）； 4（提示：到AB的距離之和為8。） 二、新課分析 解析幾何主要研究兩大類問題：一是根據題設條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.解答軌跡問題時，若能充分挖掘幾何關系，則往往可以簡化解題過程 三、典型例題 lA 例1設動直線垂直于軸，且與橢圓交于兩點，P是上滿足的點，求點P的軌跡方程。OyxB方法點撥：用直接法：若曲線上的動點滿足的條件是一些幾何量的等量關系，則只需直接把這種關系“翻譯”成關于動點的坐標的方程。經化簡所得同解的最簡方程，即為所求軌跡方程。其一般步驟為：建系設點列式代換化簡檢驗。例2如圖，在中，平方單位，動點P在曲線E上運動，若曲線E過點C且滿足的值為常數。（1） 求曲線E的方程；C（2） 設直線的斜率為1，若直線與曲線E有兩個不同的交點Q、R，求線段QR的中點M的軌跡方程。AyxOB方法點撥：用圓錐曲線的定義求方程。如果題目中的幾何條件能夠滿足圓、橢圓、雙曲線，拋物線的第一、二定義，則直接利用曲線定義寫出其軌跡方程。例3如圖所示，過橢圓E：上任一點P，作右準線的垂線PH，垂足為H。延長PH到Q，使HQ=（1）當P點在E上運動時，求點Q的軌跡G的方程；（2）當取何值時，軌跡G是焦點在平行于軸的直線上的橢圓？證明這些焦點都在同一個橢圓上，并寫出橢圓的方程；（3）當取何值時，軌跡G是一個圓？判斷這個圓與橢圓的右準線的位置關系。O xPyHQl方法點撥：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一。求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標互化”將其轉化為變量間的關系。在確定了軌跡方程之后，有時需要對方程中的參數進行討論，因為參數取值的變化會使方程表示不同的曲線，會使其與其他曲線的位置關系不同，會引起另外某些變量取值范圍的變化。例4設橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足點N的坐標為，當繞點M旋轉時，求：（1）動點P的軌跡方程；（2）的最小值與