找規律 1 目錄 1 2 6 基本技巧 妙題賞析 基本方法 3 基本步驟 4 關于數表 5 基本類型 2 1 基本方法 看增幅 基本方法 3 一 增幅相等 此實為等差數列 對每個數和它的前一個數進行比較 如增幅相等 則第n個數可以表示為 a n 1 b 其中a為數列的第一位數 b為增幅 n 1 b為第一位數到第n位的總增幅 然后再簡化代數式a n 1 b 基本方法 例 4 10 16 22 28 求第n位數 分析 第二位數起 每位數都比前一位數增加6 增幅都是6 所以 第n位數是 4 n 1 6 6n 2 4 二 增幅不相等 但是 增幅以同等幅度增加 即增幅的增幅相等 也即增幅為等差數列 如增幅分別為3 5 7 9 說明增幅以同等幅度增加 此種數列第n位的數也有一種通用求法 基本方法 例 2 5 10 17 求第n位數 基本思路是 1 求出數列的第n 1位到第n位的增幅 2 求出第1位到第n位的總增幅 3 數列的第1位數加上總增幅即是第n位數 分析 數列的增幅分別為 3 5 7 增幅以同等幅度增加 那么 數列的第n 1位到第n位的增幅是 3 2 n 2 2n 1 總增幅為 3 2n 1 n 1 2 n 1 n 1 n2 1所以 第n位數是 2 n2 1 n2 1 5 三 增幅不相等 但是 增幅同比增加 即增幅為等比數列 基本方法 例 2 3 5 9 17 求第n位數 分析 第二位數起 增幅增幅為1 2 4 8 所以數列的第n 1位到第n位的增幅是 2n 2 總增幅為 1 2 22 23 2n 2 2n 1 1所以 第n位數是 2 2n 1 1 2n 1 1 6 2 基本技巧 基本技巧 7 一 標出序列號 找規律的題目 通常按照一定的順序給出一系列量 要求我們根據這些已知的量找出一般規律 找出的規律 通常包括序列號 所以 把變量和序列號放在一起加以比較 就比較容易發現其中的奧秘 基本技巧 例 觀察下列各式數 0 3 8 15 24 試按此規律寫出的第100個數是 第n個數是 解答這一題 可以先找一般規律 然后使用這個規律 計算出第100個數 我們把有關的量放在一起加以比較 給出的數 0 3 8 15 24 序列號 1 2 3 4 5 容易發現 已知數的每一項 都等于它的序列號的平方減1 因此 第n項n2 1 第100項是1002 1 8 二 公因式法 每位數分成最小公因式相乘 然后再找規律 看是不是與n2 n3 或2n 3n有關 基本技巧 例 1 9 25 49 81 121 的第n項為 2n 1 2 例 A 2 9 28 65 增幅是7 19 37 增幅的增幅是12 18答案與3有關且 即 n3 1B 2 4 8 16 增幅是2 4 8 答案與2的乘方有關即 2n 給出的數 1 32 52 72 92 序列號 1 2 3 4 5 從中可以看出n 2時 正好是2 2 1的平方 n 3時 正好是2 3 1的平方 以此類推 9 三 有些題可對每位數同時減去第一位數 成為第二位開始的新數列 然后用1 2技巧找出每位數與位置的關系 再在找出的規律上加上第一位數 恢復到原來 基本技巧 例 2 5 10 17 26 第n項 析 同時減去2后得到新數列 0 3 8 15 24 序列號 1 2 3 4 5 分析觀察可得 新數列的第n項為 n2 1 所以題中數列第n項為 n2 1 2 n2 1 10 四 有些題可對每位數同時加上 或乘以 或除以第一位數 成為新數列 然后 再找出規律 并恢復到原來 基本技巧 例 4 16 36 64 100 144 196 第一百個數 析 同除以4后可得新數列 1 4 9 16 25 序列號 1 2 3 4 5 很顯然是位置數的平方 得到新數列第n項即n2 原數列是同除以4得到的新數列 所以求出新數列n的公式后再乘以4即 4n2 則求出第一百個數為4 1002 40000 11 五 觀察一下 能否把一個數列的奇數位置與偶數位置分開成為兩個數列 再分別找規律 基本技巧 例 2 9 6 10 18 11 54 12 162 例 1 5 2 8 4 11 8 14 例 320 1 160 3 80 9 40 27 2 9 6 10 18 11 54 12 162 13 486 1 5 2 8 4 11 8 14 16 17 320 1 160 3 80 9 40 27 20 81 12 3 基本步驟 基本步驟 13 1 先看增幅是否相等 如相等 用基本方法 一 解題 2 如不相等 綜合運用技巧 一 二 找規律3 如不行 就運用技巧 三 四 五 變換成新數列 然后運用技巧 一 二 找出新數列的規律4 最后 如增幅以同等幅度增加 則用基本方法 二 解題 基本步驟 14 基本步驟 例 觀察下面兩行數2 4 8 16 32 64 1 5 7 11 19 35 67 2 根據你發現的規律 取每行第十個數 求得他們的和 要求寫出最后的計算結果和詳細解題過程 解 第一組可以看出是2n 第二組可以看出是第一組的每項都加3 即2n 3 則第一組第十個數是210 1024 第二組第十個數是210 3得1027 兩項相加得2051 15 基本步驟 例 白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子 前2002個中有幾個是黑的 解 白 黑白 黑黑白 即個數分別為1 2 3 所以需要求出前2002個有多少白色的 然后就可以退出黑色的 設1 2 n 2002即n n 1 2 2002解得n 63當n 62時 1 2 62 1953所以一共有62個白色的珠子即黑色的珠子為2002 62 1940個 16 4 數表 數表 17 1 先看行的規律 然后 以列為單位用數列找規律方法找規律2 看看有沒有一個數是上面兩數或下面兩數的和或差 數表 步驟 1 先算出第21列第一行的數字202 1 4012 再算出第21列第20行的數字 202 20 420 例 請寫出第20行 第21列的數字 18 5 數字推理基本類型 基本類型 19 一 和差關系 又分為等差 移動求和或差兩種 基本類型 1 等差關系 例 12 20 30 42 56例 127 112 97 82 67例 3 4 7 12 28 2 移動求和或差 從第三項起 每一項都是前兩項之和或差 例 1 2 3 5 8 13解析 1 2 3 2 3 5 3 5 8 5 8 13例 5 3 2 1 1 0 解析 選C 前兩項相減得到第三項 20 二 乘除關系 又分為等比 移動求積或商兩種 基本類型 1 等比 從第二項起 每一項與它前一項的比等于一個常數或一個等差數列 例 8 12 18 27 40 5 后項與前項之比為1 5 例 6 6 9 18 45 135 后項與前項之比為等差數列 分別為1 1 5 2 2 5 3 2 移動求積或商關系 從第三項起 每一項都是前兩項之積或商 例 2 5 10 50 500 例 100 50 2 25 2 25 例 3 4 6 12 36 216 從第三項起 第三項為前兩項之積除以2例 1 7 8 57 457 第三項為前兩項之積加1 21 三 平方關系 基本類型 例 1 4 9 16 25 36 49為位置數的平方 例 66 83 102 123 146 看數很大 其實是不難的 66可以看作64 2 83可以看作81 2 102可以看作100 2 123可以看作121 2 以此類推 可以看出是8 9 10 11 12的平方加2 22 四 立方關系 基本類型 例 1 8 27 64 125位置數的立方 3 10 29 66 127位置數的立方加2 23 五 分數數列 基本類型 例 關鍵是把分子和分母看作兩個不同的數列 有的還需進行簡單的通分 則可得出答案例 分子為等比即位置數的平方 分母為等差數列 則第n項代數式為 例 24 六 質數數列 基本類型 例 2 3 5 7 11質數數列 例 4 6 10 14 22 26 每項除以2得到質數數列 例 20 22 25 30 37 48 后項與前項相減得質數數列 25 五 雙重數列1 每兩項為一組2 兩個數列相隔3 數列中的數字帶小數 雙重數列 例 1 7 14 1 21 42 1 36 72 1 52 104 1 69 兩項為一組 每組的后項等于前項倒數 2 例 34 36 35 35 36 34 37 33 由兩個數列相隔而成 一個遞增 一個遞減 例 2 01 4 03 8 04 16 07 32 11 整數部分為等比 小數部分為移動求和數列 26 六 組合數列最常見的是和差關系與乘除關系組合 和差關系與平方立方關系組合 需要熟悉前面的幾種關系后 才能較好較快地解決這類題 組合數列 例 1 1 3 7 17 41 99 移動求和與乘除關系組合 例 65 35 17 3 1 平方關系與和差關系組合 例 4 6 10 18 34 66 各差關系與等比關系組合 例 2 8 24 64 160 冪數列與等差數列組合 27 6 妙題賞析 妙題賞析 28 中考題 瑞士中學教師巴爾末成功地從光譜數據中得到巴爾末公式 從而打開了光譜奧妙的大門 請你按這種規律寫出第七個數據是 解析 這列數的分子分別為3 4 5的平方數 而分母比分子分別小4 則第7個數的分子為81 分母為77 故這列數的第7個為 29 中考題 觀察下列各式 0 x1 x2 2x3 3x4 5x5 8x6 試按此規律寫出的第10個式子是 解析 這一題 包含有兩個變量 一個是各項的指數 一個是各項的系數 容易看出各項的指數等于它的序列號減1 而系數的變化規律就不那么容易發現啦 然而 如果我們把系數抽出來 嘗試做一些簡單的計算 就不難發現系數的變化規律 系數排列情況 0 1 1 2 3 5 8 從左至右觀察系數的排列 依次求相鄰兩項的和 你會發現 這個和正好是后一項 也就是說原數列相鄰兩項的系數和等于后面一項的系數 使用這個規律 不難推出原數列第8項的系數是5 8 13 第9