1.1.1 角的概念的推廣課堂探究探究一 有關角的概念問題1熟記一些角的概念，如第一象限角可表示為k36090k3602熟悉一些角與角的基本關系，如銳角是第一象限角，反之不成立；鈍角是第二象限角，反之也不成立【例1】 下列各種說法正確的是()A終邊相同的角一定相等 B第一象限的角就是銳角C銳角是第一象限的角 D小于90的角都是銳角解析：根據銳角和第一象限的角的定義來進行判定因為銳角的集合是|090，第一象限的角的集合是|k360k36090，kZ，所以當k0時，角的范圍就與銳角的范圍相一致，故銳角是第一象限的角，C正確60角與300角是終邊相同的角，它們并不相等，故選項A錯誤；390角是第一象限的角，但它不是銳角，故選項B錯誤；30角是小于90的角，但它不是銳角，故選項D錯誤答案：C反思 (1)解決此類問題的關鍵在于正確理解象限角、銳角、小于90的角、090的角等概念(2)本題也可采用排除法，這時需掌握判斷說法是否正確的技巧判斷說法正確需要證明，而判斷說法錯誤只需舉一反例即可探究二 終邊相同的角的問題求與已知角終邊相同的角，首先將這樣的角表示成k360(0360，kZ)的形式，然后采用賦值法或解不等式求解，確定k的值，求出適合條件的角【例2】 在角的集合|k9045，kZ中，(1)有幾種終邊不相同的角？(2)有幾個在360360范圍內的角？分析：從代數角度看，取k，2，1,0,1,2，可以得為，135，45，45，135，225，；從圖形角度看，是以45角為基礎，依次加上(或減去)90的整數倍，即依次按逆時針(或順時針)方向旋轉90所得各角，如圖所示，結合圖形求解解：(1)在給定的角的集合中，終邊不相同的角共有4種，分別是與45，135，225，315角的終邊相同的角(2)令360k9045360，得k又因為kZ，所以k4，3，2，1,0,1,2,3所以在360360范圍內的角共有8個反思 把代數計算與對圖形的認識結合起來即數形結合，會使這類問題處理起來更容易些數形結合是解決數學問題的重要方法之一，做題時要注意自覺地應用探究三 已知角終邊所在象限，求(nN)終邊所在象限一般地，要確定 (nN)所在的象限，可以作出各個象限的從原點出發的n等分的射線，它們與坐標軸把周角等分成4n個區域，從x軸的非負半軸起，按逆時針方向把這4n個區域依次循環標上號碼1,2,3,4，則標號是幾的區域，就是當為第幾象限的角時，終邊落在的區域，所在的象限就可直觀地看出【例3】 已知是第一象限的角，求終邊所在位置解法一：因為是第一象限的角，所以k360k36090，kZ所以k120k12030，kZ所以當k3n，nZ時，n360n36030；當k3n1，nZ時，n360120n360150；當k3n2，nZ時，n360240n360270所以的終邊在第一象限或第二象限或第三象限，如圖(1)所示 圖(1) 圖(2)解法二：如圖(2)所示，先將各象限分成三等份，再從x軸正向上方起，依次將各區域標上1,2,3,4，則標有1的區域即為的終邊所落在的區域，故的終邊在第一象限或第二象限或第三象限點評 上述兩種解法各有優缺點，解法一可以求出具體的，但運算量大，解法二只能粗略判斷所在的象限，但操作簡單探究四 終邊相同的角的集合之間的關系解決與角有關的集合問題的關鍵是弄清集合中含有哪些元素其方法有：一是將集合中表示角的式子化為同一種形式(這種方法要用到整數分類的有關知識，即分類討論)；二是用列舉法把集合具體化，對各集合中表示角的式子中的k賦值，并將角的終邊畫在坐標系中，直至重復出現相同位置的終邊為止，根據各類集合中角的終邊的情況，判斷角的集合的關系【例4】 已知集合A|30k18090k180，kZ，集合B|45k36045k360，kZ，求AB解：因為30k18090k180，kZ，所以當k為偶數，即k2n(nZ)時，30n36090n360，nZ；當k為奇數，即k2n1(nZ)時，210n360270n360，nZ，所以集合A中角的終邊在如圖陰影()區域內，集合B中角的終邊在如圖陰影()區域內所以集合AB中角的終邊在陰影()和()的公共部分內所以AB|30k36045k360，kZ規律總結 區域角表示的步驟：借助圖形，在直角坐標平面內找出角的范圍所對應的區域；確定360360范圍內的基本角，即區域起始及終止邊界所對應的角；寫出終邊相同的角的集合解決終邊相同的角的集合問題，一般都是利用圖象數形結合解題探究五 易錯辨析易錯點：考慮不全面，忽視對稱軸可分為兩個半軸【例5】 已知，角的終邊關于y軸對稱，則與的關系為_錯解：因為，角的終邊關于y軸對稱，所以90k360(kZ)錯因分析：上述解法僅是關于y軸非負半軸對稱的情況，而忽視了關于y軸非正半軸對稱的情況正