1 1任意角和弧度制 1 1 1任意角 第一章三角函數 高中新課程數學必修 問題提出 1 角是平面幾何中的一個基本圖形 角是可以度量其大小的 在平面幾何中 角的取值范圍如何 2 體操是力與美的結合 也充滿了角的概念 2002年11月22日 在匈牙利德布勒森舉行的第36屆世界體操錦標賽中 李小鵬跳 踺子后手翻轉體180度接直體前空翻轉體900度 震驚四座 這里的轉體180度 轉體900度就是一個角的概念 3 過去我們學習了0 360 范圍的角 但在實際問題中還會遇到其他角 如在體操 花樣滑冰 跳臺跳水等比賽中 常常聽到 轉體10800 轉體12600 這樣的解說 再如鐘表的指針 擰動螺絲的扳手 機器上的輪盤等 它們按照不同方向旋轉所成的角 不全是0 3600范圍內的角 因此 僅有0 360 范圍內的角是不夠的 我們必須將角的概念進行推廣 任意角 知識探究 一 角的概念的推廣 思考2 如圖 一條射線的端點是o 它從起始位置oa旋轉到終止位置ob 形成了一個角 其中點o 射線oa ob分別叫什么名稱 思考3 在齒輪傳動中 被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的 一般地 一條射線繞其端點旋轉 既可以按逆時針方向旋轉 也可以按順時針方向旋轉 你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉600所形成的角 與按順時針方向旋轉600所形成的角是否相等 思考4 為了區分形成角的兩種不同的旋轉方向 可以作怎樣的規定 如果一條射線沒有作任何旋轉 它還形成一個角嗎 規定 按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角 按順時針方向旋轉形成的角叫做負角 如果一條射線沒有作任何旋轉 則稱它形成了一個零角 畫圖表示一個大小一定的角 先畫一條射線作為角的始邊 再由角的正負確定角的旋轉方向 再由角的絕對值大小確定角的旋轉量 畫出角的終邊 并用帶箭頭的螺旋線加以標注 思考5 度量一個角的大小 既要考慮旋轉方向 又要考慮旋轉量 通過上述規定 角的范圍就擴展到了任意大小 對于 210 150 660 你能用圖形表示這些角嗎 你能總結一下作圖的要點嗎 思考6 如果你的手表慢了20分鐘 或快了1 25小時 你應該將分鐘分別旋轉多少度才能將時間校準 120 450 思考7 任意兩個角的數量大小可以相加 相減 如50 80 130 50 80 30 你能解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎 以50 角的終邊為始邊 逆時針 或順時針 旋轉80 所成的角 思考8 一個角的始邊與終邊可以重合嗎 如果可以 這樣的角的大小有什么特點 k 360 k z 知識探究 二 象限角 思考1 為了進一步研究角的需要 我們常在直角坐標系內討論角 并使角的頂點與原點重合 角的始邊與x軸的非負半軸重合 那么對一個任意角 角的終邊可能落在哪些位置 思考2 如果角的終邊在第幾象限 我們就說這個角是第幾象限的角 如果角的終邊在坐標軸上 就認為這個角不屬于如何象限 或稱這個角為軸線角 那么下列各角 50 405 210 200 450 分別是第幾象限的角 450 思考3 銳角與第一象限的角是什么邏輯關系 鈍角與第二象限的角是什么邏輯關系 直角與軸線角是什么邏輯關系 思考4 第二象限的角一定比第一象限的角大嗎 象限角只能反映角的終邊所在象限 不能反映角的大小 思考5 在直角坐標系中 135 角的終邊在什么位置 終邊在該位置的角一定是135 嗎 知識探究 三 終邊相同的角 思考1 32 328 392 是第幾象限的角 這些角有什么內在聯系 32 392 328 思考2 與 32 角終邊相同的角有多少個 這些角與 32 角在數量上相差多少 思考3 所有與 32 角終邊相同的角 連同 32 角在內 可構成一個集合s 你能用描述法表示集合s嗎 s k 360 k z 即任一與 終邊相同的角 都可以表示成角 與整數個周角的和 思考4 一般地 所有與角 終邊相同的角 連同角 在內所構成的集合s可以怎樣表示 思考5 終邊在x軸正半軸 負半軸 y軸正半軸 負半軸上的角分別如何表示 x軸正半軸 k 360 k z x軸負半軸 180 k 360 k z y軸正半軸 90 k 360 k z y軸負半軸 270 k 360 k z 思考6 終邊在x軸 y軸上的角的集合分別如何表示 終邊在x軸上 s k 180 k z 終邊在y軸上 s 90 k 180 k z 思考7 第一 二 三 四象限的角的集合分別如何表示 第一象限 s k 360 90 k 360 k z 第二象限 s 90 k 360 180 k 360 k z 第三象限 s 180 k 360 270 k 360 k z 第四象限 s 90 k 360 k 360 k z 思考8 如果 是第二象限的角 那么2 2分別是第幾象限的角 90 k 360 180 k 360 180 k 720 2 360 k 720 45 k 180 2 90 k 180 理論遷移 例1在0 360 范圍內 找出與 950 12 角終邊相同的角 并判定它是第幾象限角 129 48 第二象限角 s 45 k 180 k z 315 135 45 225 405 585 例2寫出終邊在直線y x上的角的集合s 并把s中適合不等式 360 720 的元素寫出來 小結作業 1 角的概念推廣后 角的大小可以任意取值 把角放在直角坐標系中進行研究 對于一個給定的角 都有唯