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高二數學 2 4 1拋物線及其標準方程 1 2 3 1a拋物線及其標準方程 gsp 橢圓 雙曲線的第二定義 m m 與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數的點m的軌跡 當時 點m的軌跡是橢圓 當 時 點m的軌跡是雙曲線 0 e 1 e 1 當 時 點m的軌跡是拋物線 e 1 l 解 以過f且垂直于l的直線為x軸 垂足為k 以f k的中點o為坐標原點建立直角坐標系xoy 兩邊平方 整理得 m x y f 依題意得 這就是所求的軌跡方程 標準方程 把方程y2 2px p 0 叫做拋物線的標準方程 其中p為正常數 表示焦點在x軸正半軸上 且p的幾何意義是 焦點坐標是 準線方程為 焦點到準線的距離 若拋物線頂點在原點 焦點在坐標軸上 其開口方向有哪幾種可能 向左 向上 向下 把方程y2 2px p 0 叫做拋物線的標準方程 其中p為正常數 表示焦點在x軸正半軸上 且p的幾何意義是 焦點坐標是 準線方程為 想一想 坐標系的建立還有沒有其它方案也會使拋物線方程的形式簡單 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 焦點到準線的距離 y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 p的意義 拋物線的焦點到準線的距離 方程的特點 1 左邊是二次式 2 右邊是一次式 決定了焦點的位置 3 焦點坐標中橫 縱 坐標的值是一次項系數的1 4 準線方程中的數值是一次項系數的 1 4 四種拋物線的對比 數形共同點 1 原點在拋物線上 2 對稱軸為坐標軸 3 焦點到準線的距離均為p 4 焦點與準線和坐標軸的交點關于原點對稱 口訣 對稱軸要看一次項 符號確定開口方向 看x的一次項系數 正時向右 負向左 看y的一次項系數 正時向上 負向下 求p 例1已知拋物線的標準方程是y2 6x 求它的焦點坐標和準線方程 焦點為準線方程為 例2已知拋物線的焦點坐標是f 0 2 求它的標準方程 解 因為焦點在y軸的負半軸上 并且 2 p 4 所以所求拋物線的標準方程是x2 8y 例3已知拋物線的準線方程為x 1 求拋物線的標準方程 解 因為準線方程是x 1 所以p 2 且焦點在x軸的負半軸上 所以所求拋物線的標準方程是y2 4x 例4求滿足下列條件的拋物線的標準方程 1 過點 3 2 2 焦點在直線x 2y 4 0上 1 2 例5點m到點f 4 0 的距離比它到直線l x 5 0的距離小1 求點m的軌跡方程 mf 1 x 5 解 直接法 設m x y 則由已知 得 另解 定義法 由已知 得點m到點

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