1.2.2 絕對值不等式的解法課堂導學三點剖析一、絕對值不等式的典型類型和方法(一)【例1】 解下列不等式:(1)1|x+2|8.解析：(1)法一:原不等式故原不等式的解集為x|-1x3或-7x-3.法二:原不等式,-1x3或-7x-3.原不等式的解集為x|-1x3或-7x或x.原不等式的解集為x|x.法二:將原不等式轉化為|x-3|+|x+4|-80,構造函數y=|x-3|+|x+4|-8,即y=作出函數的圖象如圖.從圖象可知當x或x0,故原不等式的解集為x|x或x.溫馨提示 在本例中主要利用了絕對值的概念,|x|a)的解集以及數形結合的方法,這些方法都是解絕對值不等式的典型方法.各個擊破類題演練1解下列不等式:(1)|1;(2)|x+3|-|2x-1|+1.解析:(1)原不等式-1x1或x-4或x4.故原不等式的解集為x|-1x1或x-4或x4.(2)由x+3=0,得x1=-3,由2x-1=0,得x2=.當x+1,解得x10,而x-3,故此時無解;當-3x+1,解得x,這時不等式的解為x+1,即x2,這時不等式的解為x2.綜合上述,原不等式的解集為x|x2.變式提升1(1)解不等式|x2-5x+5|1.解析:不等式可化為-1x2-5x+51,即解之,得1x2或3x4.所以原不等式的解集為x|1x2或3x4.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|a有解的a的取值范圍.解法一:將數軸分為(-,3),3,4,(4,+)三個區間.當x3時,得(4-x)+(3-x)有解條件為1;當3x4,得(4-x)+(x-3)1;當x4時,得(x-4)+(x-3)a,則x4.a1.以上三種情況中任何一個均可滿足題目要求,故是它們的并集,即仍為a1.解法二:設數x、3、4在數軸上對應的點分別為P、A、B,由絕對值的幾何意義,原不等式即求|PA|+|PB|1時,|x-4|+|x-3|1.二、絕對值不等式的典型類型和方法(二)【例2】 解不等式|x2-9|x+3.解析：方法一:原不等式由得x=-3或3x4,由得2x3x.解析:當x9x2,即5x2+4x-10,解之,得-1x,0x.由知原不等式的解集為x|xx2-3|x|+2.解析:在同一坐標系內分別畫出函數y=|x2-3x+2|和y=x2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的圖象(如圖所示).由圖可知,原不等式的解集為x|x0或1x0,故原不等式等價于x-10,x1,顯然x+10.原不等式的解集為x|x1或x=-1.三、絕對值不等式的證明【例3】 設f(x)=ax2+bx+c,當|x|1時,總有|f(x)|1,求證:當|x|2時,|f(x)|7.證明:由于f(x)是二次函數,|f(x)|在-2,2上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f()|,故只要證明|f(2)|7,|f(-2)|7;當|2時,有|f()|7.由題意有|f(0)|1,|f(-1)|1,|f(1)|1.由|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|3+1+3=7,|f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|1+3+3=7.|b|=|f(1)-f(-1)|(|f(1)|+|f(-1)|)(1+1)=1,當|2時,|f()|=|=|c|=|c|c|+|1+2=27.因此當|x|2時,|f(x)|7.類題演練3已知f(x)=x2+ax+b(x、a、bR,a、b是常數),求證:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于.證明:假設|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于,即有|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|.于是|f(1)+f(3)-2f(2)|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|0,則f(x)max=f(1)=a+b,f(x)min=f(-1)=-a+b.若a=0,則f(x)=b且b2=1,|f(x)|.若a0,則f(x)max=f(-1)=-a+b,f(x)min=f(1)=a+b.綜上,知不等式成立.證法二:|f(x)|2-()2=(ax+b)2