專題能力訓練10三角變換與解三角形能力突破訓練1.在ABC中,若sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,則A的取值范圍是()A.B.C.D.2.已知=-22,則sin +cos 等于()A.-72B.72C.D.-3.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,則角B的值為()A.蟺6B.蟺3C.D.4.在ABC中,ABC=蟺4,AB=,BC=3,則sinBAC等于()A.1010B.105C.D.555.(2017湖北七市一調)已知ABC中,角A,B,C對邊分別為a,b,c,C=120,a=2b,則tan A=.6.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=.7.設ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若三邊的長為連續的三個正整數,且ABC,3b=20acos A,則sin Asin Bsin C=.8.在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.9.(2017北京,理15)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面積.10.設ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角.(1)證明:B-A=蟺2;(2)求sin A+sin C的取值范圍.11.設f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的單調區間;(2)在銳角ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f=0,a=1,求ABC面積的最大值.思維提升訓練12.若0蟺2,-蟺20,cos,cos,則cos等于()A.33B.-33C.D.-6913.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足csin A=acos C.當sin A-cos取最大值時,角A的大小為()A.蟺3B.蟺4C.蟺6D.14.(2017湖北荊州一模)在ABC中,邊AB的垂直平分線交邊AC于點D,若C=蟺3,BC=8,BD=7,則ABC的面積為.15.(2017河北石家莊二檢)已知sinsin,則sin 4的值為.16.在銳角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,則tan Atan Btan C的最小值是.17.在ABC中,三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,蟺3C蟺2,且.(1)判斷ABC的形狀;(2)若|=2,求的取值范圍.參考答案專題能力訓練10三角變換與解三角形能力突破訓練1.C解析由正弦定理,得a2b2+c2-bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,則cosA0A,0A2.D解析=-=2coscos+sin=-22,sin+cos=-,故選D.3.D解析由(a2+c2-b2)tanB=ac,得,即cosB=,則sinB=0BBC,abc.設a=b+1,c=b-1(b1,且bN*),由3b=20acosA得3b=20(b+1),化簡,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-(舍去),a=6,c=4,sinAsinBsinC=654.8.解(1)由余弦定理及題設得cosB=又因為0B,所以B=蟺4.(2)由(1)知A+C=cosA+cosC=cosA+cos=cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=cos因為0A0,所以A,于是sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2因為0A蟺4,所以0sinA22,因此22-2由此可知sinA+sinC的取值范圍是11.解(1)由題意知f(x)=sin2x-由-蟺2+2k2x+2k,kZ,可得-蟺4+kx+k,kZ;由蟺2+2k2x+2k,kZ,可得蟺4+kx+k,kZ.所以f(x)的單調遞增區間是(kZ);單調遞減區間是(kZ).(2)由f=sinA-=0,得sinA=,由題意知A為銳角,所以cosA=由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得1+bc=b2+c22bc,即bc2+,且當b=c時等號成立.因此bcsinA所以ABC面積的最大值為思維提升訓練12.C解析cos,0蟺2,sin又cos,-蟺20,sin,cos=cos=coscos+sinsin=13.A解析由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC.因為0A0,從而sinC=cosC.又cosC0,所以tanC=1,則C=蟺4,所以B=-A.于是sinA-cossinA-cos(-A)=sinA+cosA=2sin因為0A,所以蟺6A+,從而當A+蟺6=蟺2,即A=蟺3時,2sin取最大值2.故選A.14.20或24解析本題易錯點在利用正弦定理時,產生缺解.在CDB中,設CD=t,由余弦定理得49=64+t2-28tcos60,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.當t=3時,CA=10,ABC的面積S=108sin60=20;當t=5時,CA=12,ABC的面積S=128sin60=24故ABC的面積為20或2415.-解析因為sin=cos=cos,所以sinsin=sincossin=cos2=,所以cos2=因為蟺2,所以20,tanBtanC0,所以tanA+2tanBtanC2,當且僅當tanA=2tanBtanC時,等號成立,即tanAtanBtanC2,解得tanAtanBtanC8,即最小值為8.17.解(1)由及正弦定理,得sinB=sin2C,B=2C或B+2C=.若B=2C,C蟺2,B(舍去).