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拋物線的簡單幾何性質 y2 2px l a b 過焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線截得的線段ab叫做拋物線的通徑 長為2p p越大 開口越闊 關于x軸對稱 無對稱中心 關于x軸對稱 無對稱中心 關于y軸對稱 無對稱中心 關于y軸對稱 無對稱中心 e 1 e 1 e 1 e 1 拋物線的幾何性質特點 1 只位于半個坐標平面內 雖然它可以無限延伸 但沒有漸進線 2 只有一條對稱軸 沒有對稱中心 3 只有一個頂點 一個焦點 一條準線 4 離心率e是確定的 即e 1 5 一次項系數的絕對值越大 開口越大 練習 求適合下列條件的拋物線的方程 2 頂點在原點 焦點是 0 5 3 焦點是f 0 8 準線是y 8 1 頂點在原點 關于x軸對稱 并且經過點m 5 4 4 頂點在原點 以x軸為對稱軸 通徑長為m m 0 例1探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分 如圖 光源位于拋物線的焦點處 已知燈口圓的直徑為60cm 燈深40cm 求拋物線的標準方程 f a b 分析 在探照燈的軸截面所在平面內建立直角坐標系 使反光鏡的頂點 即拋物線的頂點 與原點重合 x軸垂直于燈口直徑 設拋物線的標準方程為y2 2px p 0 由題意得 點a的坐標為 40 30 代入方程得 所以所求拋物線的標準方程是y2 x 例3 已知拋物線y2 4x 設a 2 0 p是拋物線上的點 求 pa 的最小值 例4 已知ab是拋物線y2 2px的任意一條焦點弦 且a x1 y1 b x2 y2 1 求證 y1y2 p2 x1x2 p2 4 2 若弦ab被焦點分成長為m n的兩部分 求證 1 m 1 n 2 p 已證 3 設 為直線ab的傾斜角 求證 當 90o時 取得 ab 的最小值2p 已證 4 求證 焦點f對a b在準線上射影的張角為90o 5 若弦ab過焦點 求證 以ab為直徑的圓與準線相切 已證 例5 設拋物線的焦點為f 經過點f的直線交拋物線于a b兩點 點c在拋物線的準線上 且bc x軸 證明 直線ac經過原點o 課堂小結 1 拋物線的簡單幾何性質 2 拋物線與橢圓 雙曲線幾何性質的不同點 3 應用性質求標準方程的方法和步驟 關于x軸對稱 無對稱中心 關于x軸對稱 無對稱中心 關于y軸對稱 無對

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