彈塑性力學(xué)課程期末復(fù)習(xí)總結(jié)第一篇 基礎(chǔ)理論部分第一章 應(yīng)力狀態(tài)理論 1.1 基本概念1 應(yīng)力的概念應(yīng)力：微分面上內(nèi)力的分布集度。從數(shù)學(xué)上看，應(yīng)力由于微分面上的應(yīng)力是一個(gè)矢量，因此，它可以分解成微分面法線方向的正應(yīng)力和微分面上的剪應(yīng)力。注意彈塑性力學(xué)中正應(yīng)力和剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定。2 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（1）一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念凡提到應(yīng)力，必須同時(shí)指明它是對(duì)物體內(nèi)哪一點(diǎn)并過(guò)該點(diǎn)的哪一個(gè)微分面。物體內(nèi)同一點(diǎn)各微分面上的應(yīng)力情況，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（2）應(yīng)力張量物體內(nèi)任一點(diǎn)不同微分面上的應(yīng)力情況一般是不同的，這就產(chǎn)生了一個(gè)如何描繪一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的問(wèn)題。應(yīng)力張量概念的提出，就是為了解決這個(gè)問(wèn)題。在直角坐標(biāo)系里，一點(diǎn)的應(yīng)力張量可表示為若已知一點(diǎn)的應(yīng)力張量，則過(guò)該點(diǎn)任意微分面上的應(yīng)力矢量就可以由以下公式求出：（1-1a）（1-1b）（1-1c）由式（1-1），還可進(jìn)一步求出該微分面上的總應(yīng)力、正應(yīng)力和剪應(yīng)力：（1-2a）（1-2b）（1-2c）（3）主平面、主方向與主應(yīng)力由一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念可知，通過(guò)物體內(nèi)任一點(diǎn)都可能存在這樣的微分面：在該微分面上，只有正應(yīng)力，而剪應(yīng)力為零。這樣的微分面即稱為主平面，該面的法線方向即稱為主方向，相應(yīng)的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主應(yīng)力、主方向的求解在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為求解以下的特征問(wèn)題：（1-3）式中，為該點(diǎn)應(yīng)力張量分量構(gòu)成的矩陣，為主應(yīng)力，為主方向矢量。由于應(yīng)力張量矩陣是實(shí)對(duì)稱方陣，根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)可知，式（1-3）必定存在實(shí)數(shù)的特征值，即主應(yīng)力必然存在。求解主應(yīng)力的特征方程如下：（1-4a）式中，I1、I2和I3分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。并且，（1-4b）（1-4c）（1-4d）應(yīng)注意在主應(yīng)力求出之后，相應(yīng)的主方向的求解方法。（5）最大剪應(yīng)力在與主方向成450角的微分面內(nèi)，剪應(yīng)力取極值。若規(guī)定，則最大剪應(yīng)力出現(xiàn)在過(guò)主應(yīng)力軸而平分和軸的微分面上，并且（1-5）（6）應(yīng)力球量與應(yīng)力偏量應(yīng)力張量的分解（1-6）式中，和分別稱為應(yīng)力球量和應(yīng)力偏量，并且。對(duì)應(yīng)力偏量，可以類似于應(yīng)力張量那樣，得到其主值及其三個(gè)不變量：（1-7a）（1-7b）（1-7c）（1-7d）（7）八面體上正應(yīng)力和剪應(yīng)力（1-8a）（1-8b） 1.2 靜力平衡方程（1-9a）（1-9b）（1-9c） 1.3 靜力邊界條件三類邊界：位移邊界、應(yīng)力邊界和混合邊界。尤其應(yīng)注意應(yīng)力邊界條件的表示形式：（1-10a）（1-10b）（1-10c）第二章 應(yīng)變狀態(tài)理論 2.1 基本概念 1位移、變形與應(yīng)變位移：物體內(nèi)各點(diǎn)位置的變化。變形：剛體位移+形狀的改變。描述物體內(nèi)微元體形狀改變的物理量，稱為應(yīng)變。應(yīng)變分為兩種不同的定義：正應(yīng)變和剪應(yīng)變。正應(yīng)變用于描述微分平行六面體棱邊的相對(duì)伸長(zhǎng)量，剪應(yīng)變用于描述棱邊間夾角的變化。 2一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)（1）應(yīng)變張量與一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念類似，為了描繪一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，需要引進(jìn)應(yīng)變張量的概念。在直角坐標(biāo)系里，應(yīng)變張量可表示為（2）應(yīng)變主方向、主應(yīng)變與應(yīng)變張量的不變量對(duì)物體內(nèi)任一點(diǎn)，至少都可以找到3個(gè)相互垂直的方向，沿這些方向的微分線段在物體變形后仍相互保持垂直，具有這種性質(zhì)的方向稱為應(yīng)變主方向，把這樣方向的微分線段的正應(yīng)變，稱為主應(yīng)變。與求解主應(yīng)力、主方向一樣，主應(yīng)變、應(yīng)變主方向的求解在數(shù)學(xué)上也歸結(jié)為求解一個(gè)特征問(wèn)題：（2-1）求解主應(yīng)變的特征方程如下：（2-2a）式中，、和分別稱為應(yīng)變張量的第一、第二和第三不變量。并且，（2-2b）（2-2c）（2-2d）（4）應(yīng)變球量與應(yīng)變偏量應(yīng)變張量的分解（2-3）（5）體積應(yīng)變（2-4） 2.2 幾何方程（Cauchy方程），（2-5）應(yīng)注意工程剪應(yīng)變與應(yīng)變張量分量之間的區(qū)別： 2.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（Saint Venant方程）保證物體連續(xù)性的必要條件（2-6a）（2-6b）（2-6c）（2-6d）（2-6e）（2-6f）第三章 本構(gòu)方程 3.1 基本概念1線彈性體的廣義Hooke定律（3-1）2彈性應(yīng)變能的概念由于彈性體的變形而儲(chǔ)存在物體內(nèi)部的勢(shì)能稱為彈性應(yīng)變能。單位體積的彈性應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，用表示。對(duì)彈性體，應(yīng)變能密度函數(shù)可表示為以下的一般形式：（3-2a）對(duì)線彈性體，應(yīng)變能密度函數(shù)的形式如下：（3-2b）3幾種常見(jiàn)的彈性體的基本概念（1） 各向異性彈性體（2） 具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體（3） 正交各向異性彈性體（4） 橫貫各向同性彈性體（5） 各向同性彈性體以上各種彈性體的概念，應(yīng)注意結(jié)合實(shí)際工程背景去理解。4各向同性彈性體的本構(gòu)方程（1）用應(yīng)力表示應(yīng)變的形式（3-3a），剪切模量。（2）用應(yīng)變表示應(yīng)力的形式（3-3b），式中，、稱為拉梅常數(shù)，而且，。5體變能與畸變能的概念彈性應(yīng)變能的分解體變能 應(yīng)力球量對(duì)應(yīng)的彈性應(yīng)變能密度概念。對(duì)各向同性彈性體，體變能可表示為，為體積模量。畸變能 應(yīng)力偏量對(duì)應(yīng)的彈性應(yīng)變能密度概念。對(duì)各向同性彈性體，畸變能可表示為6屈服、屈服條件、屈服函數(shù)、屈服面與加載條件、加載函數(shù)和加載面的概念屈服：首次由彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)的界限。屈服概念可以從低碳鋼試件的拉伸試驗(yàn)去理解。屈服條件一般是指物體內(nèi)任一點(diǎn)首次由彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)所滿足的條件。它是判斷材料受力到什么程度才開始出現(xiàn)塑性變形的準(zhǔn)則。若把屈服條件用數(shù)學(xué)函數(shù)形式表示，則相應(yīng)的函數(shù)即稱為屈服函數(shù)，屈服函數(shù)在應(yīng)力空間中對(duì)應(yīng)的曲面，稱為屈服曲面。加載條件、加載函數(shù)和加載面都是對(duì)應(yīng)于物體發(fā)生屈服之后的“屈服”概念后繼屈服概念。7幾種常見(jiàn)的彈塑性體模型（1） 理想彈塑性模型（2） 理想剛塑性模型（3） 彈塑性線性強(qiáng)化模型（4） 剛塑性線性強(qiáng)化模型（5） 冪次強(qiáng)化模型8塑性理論的基本假設(shè)9Druck公設(shè)與加卸載準(zhǔn)則（1）強(qiáng)化模型， 彈性狀態(tài)（3-4a）， 加載（3-4b）， 卸載（3-4c）， 中性變載（3-4d）（2）理想彈塑性模型， 彈性狀態(tài)（3-5a）， 加載（3-5b）， 卸載（3-5c）10主應(yīng)力空間中的屈服面形狀11常用的幾個(gè)屈服條件（1）Tresca屈服條件：一般形式為。在主應(yīng)力大小已知情況下，Tresca屈服條件應(yīng)用起來(lái)最為簡(jiǎn)便。即若假設(shè)，則有，此時(shí)Tresca屈服條件可改寫為或。（2）Mises屈服條件：一般形式為或。（3）CoulombMohr屈服條件12Mises的塑性位勢(shì)理論13簡(jiǎn)單加載定理3.2 彈塑性本構(gòu)方程1增量形式（3-6）2全量形式（3-7a）（3-7b）第四章 彈塑性力學(xué)問(wèn)題的提法和基本解法 4.1 彈塑性力學(xué)問(wèn)題所滿足的三個(gè)基本關(guān)系1 平衡關(guān)系參見(jiàn)式（1.9）2 幾何關(guān)系參見(jiàn)式（2.5）和式（2.6）3 本構(gòu)（物理）關(guān)系參見(jiàn)式（3.3）、式（3-6）和式（3.7）任何一個(gè)彈塑性力學(xué)問(wèn)題都要同時(shí)滿足以上三個(gè)基本關(guān)系，這三個(gè)基本關(guān)系和邊界條件構(gòu)成了彈塑性力學(xué)問(wèn)題的嚴(yán)格完整的提法。從彈塑性力學(xué)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題看，這是一組偏微分方程組+邊值條件的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，一個(gè)彈塑性力學(xué)問(wèn)題的求解，就歸結(jié)為求解一組偏微分方程組的邊值問(wèn)題。 4.2 彈塑性力學(xué)問(wèn)題的基本解法通常求解一個(gè)彈性力學(xué)問(wèn)題，是要確定15個(gè)基本的未知量，它們分別為：6個(gè)應(yīng)力分量和6個(gè)應(yīng)變分量，以及3個(gè)位移分量。求解塑性力學(xué)問(wèn)題，通常也要確定這15個(gè)基本的未知量，但由于材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后的非線性性，加上所服從的加載和卸載規(guī)律不一樣，所以求解過(guò)程遠(yuǎn)較彈性力學(xué)問(wèn)題復(fù)雜，往往需要采用數(shù)值解法。以下僅介紹一般的求解策略。1 位移解法（1） 基本思想以3個(gè)位移分量作為基本未知量，并首先求出；在求出3個(gè)位移分量后，由幾何方程確定6個(gè)應(yīng)變分量，再利用本構(gòu)方程確定6個(gè)應(yīng)力分量。（2） 定解方程及邊界條件位移解法的定解方程為以位移分量表示的平衡方程（L-N方程），邊界條件應(yīng)表述為位移分量表示的形式。2 應(yīng)力解法（1）基本思想以6個(gè)應(yīng)力分量作為基本未知量，并首先求出；在求出6個(gè)應(yīng)力分量后，由本構(gòu)方程確定6個(gè)應(yīng)變分量，再利用幾何方程確定3個(gè)位移分量。（3） 定解方程及邊界條件應(yīng)力解法的定解方程為靜力平衡方程 + 以應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程（B-M方程），邊界條件應(yīng)表述為應(yīng)力分量表示的形式。3 混合解法以部分位移分量和部分應(yīng)力分量作為基本未知量，并首先求出；然后利用幾何方程和本構(gòu)方程確定其它未知量的方法。4 逆解法和半逆解法第二篇 應(yīng)用部分第五章 簡(jiǎn)單彈塑性平面問(wèn)題 5.1 兩類平面問(wèn)題1平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的概念2平面問(wèn)題的基本方程 5.2 平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)解法無(wú)體力或常體力情況下，平面問(wèn)題采用應(yīng)力解法時(shí)，其定解方程為（1）平衡方程： + （2）B-M方程：若設(shè)Airy應(yīng)力函數(shù)滿足：，則平衡方程自動(dòng)恒滿足，協(xié)調(diào)方程（B-M方程）化為。可見(jiàn)，平面問(wèn)題采用應(yīng)力函數(shù)解法時(shí)，僅有一個(gè)基本未知量，相應(yīng)的定解方程為。 5.3 梁的彈塑性平面彎曲問(wèn)題的解 5.4 厚壁圓桶問(wèn)題的解軸對(duì)稱問(wèn)題的位移解法 5.5 半無(wú)限平面問(wèn)題及圓孔應(yīng)力集中問(wèn)題的解在極坐標(biāo)系里求解第六章 柱體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題 6.1 柱體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的基本假設(shè) 6.2 柱體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)解法 6.3 解決柱體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的比擬方法1薄膜比擬法僅適用于柱體的彈性扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，尤其注意它在薄壁桿件扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用。2沙堆比擬法僅適用于受扭柱體整個(gè)截面都進(jìn)入塑性的情況。3薄膜玻璃屋頂比擬法適用于柱體的彈塑性扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。第七章 薄板小撓度彎曲問(wèn)題 7.1 基本概念與基本假設(shè) 7.2 薄板小撓度彎曲問(wèn)題的位移解法 7.3 薄板小撓度彎曲問(wèn)題的經(jīng)典解法級(jí)數(shù)解法第三篇 能量原理及其應(yīng)用第八章 基本的能量原理 8.1 真實(shí)狀態(tài)與可能狀態(tài) 8.2 彈性體的應(yīng)變能與應(yīng)變余能1總應(yīng)變能的表達(dá)式線彈性體的應(yīng)變能密度函數(shù)的表