三角形的證明專題一等腰三角形的性質與判定1.(2017山東濱州中考)如圖,在ABC中,AB=AC,D為BC上一點,且DA=DC,BD=BA,則B的大小為(B) A.40B.36C.30D.252.如圖所示,點D,E在ABC的邊BC上,連接AD,AE.AB=AC;AD=AE;BD=CE.以此三個等式中的兩個作為命題的題設,另一個作為命題的結論,構成三個命題:;.(1)以上三個命題是真命題的為(直接作答);(2)請選擇一個真命題進行證明(先寫出所選命題,然后證明).(1)解,.(2)證明方法一:AB=AC,B=C.又AD=AE,ADG=AEG.ADG=B+BAD,AEG=C+CAE,BAD=CAE.在ABD與ACE中,AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,則ABDACE(SAS).BD=CE.方法二:過點A作ABC的高AG,AB=AC,AGBC,BG=CG.又AD=AE,AGDE,DG=EG.BD=BG-DG,CE=CG-GE,BD=CE.專題二等邊三角形的性質與判定3.導學號99804031如圖,在ABC中,D是AB邊上的一點,且AD=DC=DB,B=30.求證:ADC是等邊三角形.證明DC=DB,B=DCB=30(等邊對等角).ADC=DCB+B=60.又AD=DC,ADC是等邊三角形(有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形).4.導學號99804032如圖,ABC是等邊三角形,1=2=3,求BEC的度數.解ABC是等邊三角形,AB=BC=CA,ABC=BCA=CAB=60.1=2=3,BAC-1=ABC-2=BCA-3,即CAF=ABD=BCE.在ABD和BCE和CAF中,ABDBCECAF(ASA).AD=BE=CF,BD=CE=AF.AD-AF=BE-BD=CF-CE,即FD=DE=EF.DEF是等邊三角形.FED=60.BEC=180-FED=180-60=120.5.導學號99804033如圖所示,等邊ABC和等邊DCE在直線BCE的同一側,AE交CD于點P,BD交AC于點Q,求證:PQC為等邊三角形.證明在等邊ABC和等邊DCE中,BC=AC,DC=EC,ACB=DCE=60,所以ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE.在BCD和ACE中,所以BCDACE(SAS).所以1=2.因為ACB=DCE=60所以ACD=180-ACB-DCE=60.所以BCQ=ACP.在BCQ和ACP中,所以BCQACP.所以CQ=CP.又因為QCP=60,所以PQC為等邊三角形.專題三直角三角形的性質與判定6.如圖所示,在ABC中,CD是AB邊上的高,且CD2=ADBD.求證:ABC是直角三角形.證明在RtACD中,由勾股定理得AC2=AD2+CD2.在RtBCD中,由勾股定理得BC2=BD2+CD2.AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=(AD+BD)2=AB2.ABC是直角三角形.7.導學號99804034如圖所示,點P是等邊三角形ABC內的一點,連接PA,PB,PC,以BP為邊作PBQ=60,且PB=BQ,連接CQ,若PAPBPC=345,連接PQ.求證:PQC是直角三角形.證明PAPBPC=345,設PA=3a,PB=4a,PC=5a.在PBQ中,PB=BQ=4a,且PBQ=60,PBQ是等邊三角形.PQ=4a.在PQC中,PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2,PQC是直角三角形.專題四線段垂直平分線與角平分線性質的應用8.(2016貴州畢節中考)到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的(D)A.三條高的交點B.三條角平分線的交點C.三條中線的交點D.三條邊的垂直平分線的交點9.(2017湖南益陽中考)如圖,在ABC中,AB=AC,BAC=36,DE是線段AC的垂直平分線,若BE=a,AE=b,則用含a,b的代數式表示ABC的周長為2a+3b.10.如圖所示,在RtABC中,ACB=90,AB的垂直平分線DE交AC于點E,交BC的延長線于點F,若F=30,DE=1,求BE的長.解ACB=90,FDAB,ACB=FDB=90.F=30,A=F=30.又AB的垂直平分線DE交AC于點E,EBA=A=30.RtDBE中,BE=2DE=2.11.導學號99804035如圖,已知AD是ABC的角平分線,DEAB于點E,DFAC于點F.求證:AD垂直平分EF.證明AD平分BAC,DEAB,DFAC,DE=DF.