1 6微積分基本定理 問題提出 1 定積分的含義是什么 其中a與b 區間 a b 函數f x 變量x f x dx分別叫什么名稱 a 積分下限 b 積分上限 a b 積分區間 f x 被積函數 x 積分變量 f x dx 被積式 2 定積分的幾何意義是什么 表示由直線x a x b a b y 0和曲線y f x 所圍成的曲邊梯形的面積 3 定積分有哪幾條基本運算性質 1 2 3 4 直接用定積分的定義計算的值是很煩瑣的 有些定積分幾乎不能直接用定義計算 因此尋求一個簡便 有效的計算原理求定積分的值 就成為一個迫切需要解決的問題 5 我們已經掌握了導數的概念和計算方法 如果能建立導數與定積分的內在聯系 利用導數來求定積分 那是非常理想和美妙的 微積分基本定理 探究 一 物體位移的幾種算法 思考1 一個作變速直線運動的物體的位移y與時間t的函數關系為y y t 那么它在時間段 a b 內的位移s等于什么 s y b y a 思考2 設物體的速度v與時間t的函數關系為v v t 那么它在時間段 a b 內的位移s用定積分怎樣表示 思考3 物體在時刻t的速度v t 與位移y t 的關系是什么 v t y t 思考4 綜上分析 物體在時間段 a b 內的位移s有哪些表示式 思考5 在下圖中 如何理解物體在時間段 a b 內的位移 探究 二 微積分基本定理 思考1 我們曾求得以速度v t t2 2作變速直線運動的汽車 在0 t 1時段內行駛的路程為定積分 若利用上述原理求定積分的值 如何計算 思考2 我們曾利用定積分的定義和性質求得 若利用上述原理求這兩個定積分 如何計算 思考3 一般地 如果f x 是區間 a b 上的連續函數 并且 那么等于什么 思考4 定積分叫做微積分基本定理 又叫做牛頓 萊布尼茲公式 為了方便 我們常把f b f a 記成 那么用微積分基本定理計算定積分的關鍵是什么 找到滿足的函數f x 思考5 對給定的函數f x 滿足的函數f x 是不惟一的 不同的f x 有什么差別 對定積分的值是否有影響 若 則 沒有影響 理論遷移 例計算下列定積分 1 2 1 微積分基本定理是微積分中最重要 最輝煌的成果 它揭示了導數和定積分之間的內在聯系 同時它也提供了計算定積分的一種有效辦法 小結作業 2 尋找滿足的函數f x 一般運用基本初等函數的求導公式和導數的四則運算法則 從反方向上求出f x 作業 p55練習 1 4 p55習題1 6a組 1 微積分基本定理習題課 第一課時定積分的計算 例1計算下列定積分 利用曲邊梯形的面積 你能從計算結果中發現什么結論嗎 1 2 3 2 2 0 結論 1 當定積分對應的曲邊梯形位于x軸上方時 定積分的值為正數 且等于曲邊梯形的面積 2 當定積分對應的曲邊梯形位于x軸下方時 定積分的值為負數 且等于曲邊梯形的面積的相反數 3 當定積分對應的曲邊梯形位于x軸上方部分的面積與位于x軸下方部分的面積相等時 定積分的值為零 4 若f x 為奇函數 則 5 若f x 為偶函數 則 其中a 0為常數 例2計算下列定積分 1 2 3 4 0 例3計算下列定積分 1