3 3單自由度彈性體系的水平地震作用與抗震設計反應譜 一 單自由度體系的水平地震作用 對于單自由度體系 把慣性力看作反映地震對結構體系影響的等效力 用它對結構進行抗震驗算 1 水平地震作用基本公式 2 作用在質點上的慣性力等于質量m乘以它的絕對加速度 即地面加速度和質點相對加速度 若將上式代入 2 并考慮到遠小于而忽略不計 則得 即 為桿件柔度系數 某點在單位力下的側向位移 上式等號左邊為地震作用時質點產生的相對位移 等號右側為該瞬時慣性力使質點產生的相對位移 因此 可以認為 在某瞬時地震作用使結構產生的相對位移是該瞬時的慣性力引起的 將解微分方程所得的相對位移的解書P35式3 32代入上式得 由上式可見 水平地震作用是時間t的函數它的大小隨時間而變化 在抗震設計中 不需要求出每一時刻的地震作用數值 只需要求出最大絕對值即可 則取上式的最大絕對值F 設 令 3 代入式 3 并以代替F 則得 質點加速度最大值 地震動峰值加速度 地震系數 動力系數 水平地震作用標準值 建筑的重力荷載代表值 2 各系數的求解 a 地震系數k是地震動峰值加速度與重力加速度之比 峰值加速度即地震時在某處所記錄下來的加速度最大值 很顯然 與地震烈度有因果關系的影響 地面加速度越大 地震烈度一般越大 不同的對應不同的地震烈度 即有不同對應不同烈度 從而根據 中國地震動參數區劃圖 所規定的地震動峰值加速度取值 與設計基本加速度取值相當 可得到抗震設防烈度與地震系數的對應關系參見書P38表3 1 b 動力系數是地震作用下最大反應加速度與地面最大加速度之比 單質點體系的最大加速度 絕對加速度 地面最大加速度 所以 因為 所以 由上式可知 動力系數是與地面運動加速度記錄的和結構自振周期T 還有阻尼比有關 當地面加速度記錄和阻尼比給定時 就可根據不同的T值算出動力系數 不同的T對應不同的從而得到一條曲線 稱為動力系數反應譜曲線 從定義不難看出 動力系數曲線實質上是一種加速度反應譜曲線 動力系數等于質點最大加速度與地面運動加速度之比 下圖為地震時 地面加速度記錄和阻尼比分別為0 05 0 01 0 02 0 10時繪制的動力系數反應譜曲線 分析表明 雖然在每次地震中測得的地面加速度曲線不同 但根據他們繪制的動力系數反應譜曲線卻有共同的特征 這就給應用反應譜曲線確定地震作用提供了可能性 從而根據結構自振周期T 就可以方便地求出動力系數值 當結構自振周期小于某一數值時 反應譜曲線隨T增加而急劇上升 當T到達某一數值時 動力系數達到最大值 當T大于某一數值時 曲線波動下降 這一數值與場地的振動卓越周期相符 所以 當結構自振周期與場地卓越周期相等或相近時 地震反應最大 類似于結構在動力荷載作用下的共振現象 所以結構自振周期應遠離場地卓越周期 不同的地震加速度記錄對應不同的反應譜曲線 雖然這些曲線有共同的特征 但仍有差別 在結構抗震設計中 只采用按某一次地震記錄加速度繪制的反應譜曲線作為設計依據顯然是不合理的 根據不同的地面運動記錄的統計分析表明 場地的特性 震中距的遠近 對反應譜曲線有明顯的影響 所以 按場地類別 近震 遠震 分別繪制出反應譜曲線 然后統計分析 找出每種場地 近震 遠震有代表性的平均反應譜曲線 作為設計用的標準反應譜曲線 c 地震影響系數為了簡化計算 將上述地震系數和動力系數的乘積用表示 稱為地震影響系數 由上式可知 地震影響系數即為單質點彈性體系在地震時最大反應加速度與重力加速度的比值 另外由下式可知 單質點體系的最大加速度 絕對加速度 抗震規范 是以地震影響系數作為抗震設計依據的 其數值應根據地震烈度 場地類別 設計地震分組和結構自振周期以及阻尼比確定 若沒有專門規定 建筑結構阻尼比一般取0 05 則地震影響系數值可按下圖采用 參見書P40圖3 12適用于周期小于6s的結構 現將曲線的特征及相關系數取值情況說明如下 周期區段 時 區段 這一段取水平線 數值均為其中 稱為設計特征周期 即設計所用的地震影響系數特征周期 近年來 地震經驗表明 在宏觀烈度相似的情況下 處在大震級遠震中距下的柔性建筑 其震害要比中 小震級近震中距的情況嚴重的多 理論分析也發現 震中距不同時 反應譜特征不同 抗震設計中 對同樣場地條件 同樣烈度地震 按震源機制 震級大小和震中距遠近區別對待是有必要的 所以 89規范規定 設計特征周期取值根據近 遠震和場地類別來確定 我國絕大多數地區只考慮設計近震 需要考慮設計遠震的地區很少 約占縣級城鎮的8 新規范 將設計近震 遠震改稱為設計地震分組 可更好地體現震級和震中距的影響 建筑工程的設計地震分為三組 根據設計地震分組和場地類別書P39給出了特征周期數值表3 2 區段 曲線呈雙曲線 且緩慢下降 區段 直線下降段 說明 關于T的計算 質點重力荷載代表值 作用在質點上單位水平集中力在自由端產生的側移 當T 0時 因為由于T 0所以為剛性體系 即質點本身最大反應加速度即為地面最大反應加速度 不放大 所以而即由此 關于的取值 地震資料統計結果表明 受地震烈度 地震環境等影響較大 而動力系數最大值受地震烈度 地震環境影響不大 抗震規范 取將與不同的值相乘 便可以得到不同設防烈度下的值 參見書P40表3 3 當建筑阻尼比不等于0 05時 計算參見教材P40 二 計算原理同上 公式不同 注意形狀參數和阻尼調整系數的確定 特征周期 曲線下降段的衰減指數 直線下降段的斜率調整系數 阻尼調整系數 小于0 55時 應取0 55 地震影響系數 地震影響系數最大值 結構周期 回顧抗震設計原則 三水準 小震不壞 中震可修 大震不倒 兩階段 第一階段設計 按小震 50年設計基準期 超越概率為63 的地震 作用效應和其他荷載效應的基本組合演算結構構件的承載能力 以及在小震作用下驗算結構的彈性變形 以滿足第一水準抗震設防目標的要求 第二階段設計 在大震 50年設計基準期 超越概率為2 3 的地震 作用下驗算結構的彈塑性變形 以滿足第三水準抗震設防目標的要求 第二水準 不進行計算 用構造措施滿足中震 50年設計基準期 超越概率為10 的地震 即基本設計烈度也通常作為國家的抗震設防烈度 解 1 求結構體系的自振周期 2 求水平地震影響系數 查表確定 查表確定 查表確定 3 計算結構水平地震作用 周期計算 F 1 5m 12m F 0 5 F 0 5 F 0 5 F 0 5 二 重力荷載代表值的確定 結構的重力荷載代表值等于結構和構配件自重標準值Gk加上各可變荷載組合值 第i個可變荷載標準值 第i個可變荷載的組合值系數 多自由度地震作用分析又稱作振型分解反應譜法 顧名思義不難想到是利用振型分解反應譜來解決多自由度體系的地震反應 1 反應譜理論的適用條件實際上反應譜理論有如下三個假定 1 結構的地基是剛性盤體 這一假定對一般建筑物由于其長度遠小于地震波的波長 可認為近似滿足 但對于大跨度橋梁和大型水壩等結構 這一假定是不合理的 3 4多自由度彈性體系的地震反應分析 振型分解反應譜法 3 地面運動過程可以用地震記錄來表示 雖然地震儀在高頻和低頻部分有失真 但是除地震記錄外 沒有更可靠的資料能說明地震地面運動的規律 2 結構是理想彈性體 在小震作用下 結構不破壞 可近似看作彈性體 但在大震 罕遇地震作用下 我國抗震設計原則是 大震不倒 允許結構進入非彈性狀態 此時反應譜理論不適用 2 計算簡圖 對于多層框架結構 應按集中質量法將上下層之間的結構重力荷載 樓面 或屋面 可變荷載集中于樓面 或屋面 標高處 設他們的質量為mi并假設這些質點由無重量的彈性直桿支承于地面上 即可將多層框架簡化成多質點彈性體系 實際工程中 多層或高層工業與民用建筑可簡化成多質點體系來計算 3 多質點體系的運動狀態 m2 mn m1 mi mn 1 Xg t 與單質點體系類似 其中xg t 表示地面水平位移 是時間的函數 它的變化規律可以由地震時地面運動實測記錄求出 xi t 表示質點對于地面的相對彈性位移 是求解的重點 解 例 求圖示體系的頻率 振型 已知 1 多自由度彈性體系動力分析回顧 顯然 這一比值與時間t無關 體系按振動過程中 任一時刻各質點的位移比值等于即始終保持不變 同理取時得到下面的式子 第一振型第二質點的振幅 第一振型第一質點的振幅 第二振型第二質點的振幅 第二振型第一質點的振幅 顯然 這一比值也與時間無關 體系按振動過程中 任一時刻各質點的位移比值等于 也始終保持不變 綜上所述 對應于頻率和的運動方程的特解是相應于這樣的兩種振動 前者各質點按的比值作簡諧調振動 后者各質點按的比值作簡諧振動 他們在各自的振動過程中 振動形式保持不變 而只改變大小和方向 上面兩式非常重要 在后面計算振型參與系數時會用到 按振型振動時的運動規律 按i振型振動時 質點的位移為 質點的加速度為 質點上的慣性力為 質點上的慣性力與位移同頻同步 振型可看成是將按振型振動時的慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移 2 振型的正交性 證明見書P47 i振型 i振型上的慣性力 j振型 i振型上的慣性力在j振型上作的虛功 i振型 j振型 j振型上的慣性力 j振型上的慣性力在i振型上作的虛功 由虛功互等定理 主振型的正交性 兩個不同的主振型的對應位置上的質點位移相乘 再乘以該質點的質量 然后將各質點所求出的上述乘積作代數和 其值等于零 3 求解多質點彈性體系 Xi t 設不考慮阻尼影響 根據疊加原理 可寫出質點mi的位移表達式 可以寫成下面的形式 單位力F 1作用在質點k上 質點i產生的水平位移 稱為柔度系數 對于n個質點的體系 線性微分方程組的通解可寫成 單質點體系在諧波的作用下的振型稱為基本振型 由上式可知 任一地震波都可以分解為若干諧波的疊加 多質點體系按振型分解法計算地震作用時 可以簡化為具有基本振型的等效單質點體系進行分析 一個多質點體系會有多個振型 是不是所有振型都需要考慮呢 需要指出的是 實驗結果表明 振型越高 阻尼作用所造成的衰減越快 所以通常高振型只在振動初始才比較明顯 以后則逐漸衰減 第j振型第i質點的振幅 一般來說 低階振型對結構振動的影響要大于高階振型的影響 對一般較規則的建筑物 選擇的振型個數可以取其地震作用計算時的質點數 大多數情況下為樓層數 若質點數較多時 根據計算結果可以只取前幾個振型 即低階振型 進行疊加 也即 在建筑抗震設計中 僅考慮較低的幾個振型的影響 周期越大 也就是頻率越小 質點作簡諧振動的振型越低 設計中 一般先取最大周期所對應的簡諧振動的振型作為第一振型 質點的受力分析 取隔離體第i個質點 Si Ri 其中 彈性恢復力 阻尼力 kri 第i個質點產生單位位移 其余質點不動在第r個質點產生的彈性反力 4 多質點彈性體系的水平受力平衡方程 cri 第i個質點產生單位速度 其余質點速度為0 在第r個質點產生的阻尼力 多質點體系的運動方程根據力的平衡列出方程如下 其中 k m c均為矩陣形式 上式即為多質點彈性體系在地震作用下的運動微分方程組 運動方程的求解 詳細過程參見書P50 此處簡略介紹 將體系任一質點i的位移按主振型展開 其中 稱為廣義坐標 它是時間的函數 為第j振型質點i的相對位移 不考慮阻尼 多質點體系運動方程求解經過廣義坐標的變換 可得到以下方程 它是n個以廣義坐標組成的一組獨立的微分方程 它與單質點體系在地震作用下的微分方程 基本相同 所不同的只是單質點體系方程中的換成了 換成了同時 等號右邊多了一個系數 叫做振型參與系數 多質點體系各振子在地震作用下微