第1講圓與圓錐曲線的基本問題高考定位1.圓的方程及直線與圓的位置關系是高考對本講內容考查的重點，涉及圓的方程的求法、直線與圓的位置關系的判斷、弦長問題及切線問題等；2.圓錐曲線中的基本問題一般以橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、幾何性質等作為考查的重點，多為選擇題或填空題.真 題 感 悟 1.(2018浙江卷)雙曲線y21的焦點坐標是()A.(，0)，(，0) B.(2，0)，(2，0)C.(0，)，(0，) D.(0，2)，(0，2)解析由題可知雙曲線的焦點在x軸上，因為c2a2b2314，所以c2，故焦點坐標為(2，0)，(2，0).故選B.答案B2.(2016浙江卷)已知橢圓C1：y21(m1)與雙曲線C2：y21(n0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21C.mn且e1e21 D.mn且e1e21解析由題意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.答案A3.(2018北京卷)已知直線l過點(1，0)且垂直于x軸.若l被拋物線y24ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為_.解析由題意知，a0，對于y24ax，當x1時，y2，由于l被拋物線y24ax截得的線段長為4，所以44，所以a1，所以拋物線的焦點坐標為(1，0).答案(1，0)4.(2018天津卷)在平面直角坐標系中，經過三點(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為_.解析設圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)，則解得D2，E0，F0，即圓的方程為x2y22x0.答案x2y22x0考 點 整 合1.圓的方程(1)圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r.2.直線與圓相關問題的兩個關鍵點(1)三個定理：切線的性質定理，切線長定理，垂徑定理.(2)兩個公式：點到直線的距離公式d，弦長公式|AB|2(弦心距d).3.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d(d為M點到準線的距離).4.圓錐曲線的標準方程(1)橢圓：1(ab0)(焦點在x軸上)或1(ab0)(焦點在y軸上)；(2)雙曲線：1(a0，b0)(焦點在x軸上)或1(a0，b0)(焦點在y軸上)；(3)拋物線：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).5.圓錐曲線的幾何性質(1)橢圓：e；(2)雙曲線：e；漸近線方程：yx或yx；(3)拋物線：設y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)為拋物線上的點，F為其焦點.焦半徑|CF|x1；過焦點的弦長|CD|x1x2p；x1x2，y1y2p2.熱點一直線與圓的有關問題 考法1求圓的方程【例11】 (1)(2018北京東城區月考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_.(2)一個圓經過橢圓1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_.解析(1)圓C的圓心在x軸的正半軸上，設C(a，0)，且a0.則圓心C到直線2xy0的距離d，解得a2.圓C的半徑r|CM|3，因此圓C的方程為(x2)2y29.(2)由題意知，橢圓上、下頂點的坐標為(0，2)，(0，2)，左、右頂點的坐標為(4，0)，(4，0)，由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0，2)，(0，2)，(4，0)，設圓的標準方程為(xm)2y2r2(m0)，則有解得所以圓的標準方程為y2.答案(1)(x2)2y29(2)y2探究提高求具備一定條件的圓的方程時，其關鍵是尋找確定圓的兩個幾何要素，即圓心和半徑，待定系數法也是經常使用的方法.在一些問題中借助平面幾何中關于圓的知識可以簡化計算，如已知一個圓經過兩個點時，其圓心一定在這兩點連線的垂直平分線上，解題時要注意平面幾何知識的應用.考法2圓的切線問題【例12】 (1)在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線l：2xy40相切，則圓C面積的最小值為()A. B.C.(62) D.(2)若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_.解析(1)由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點O，要使圓C的面積最小(D為切點)，只需圓C的半徑或直徑最小，又圓C與直線2xy40相切，所以由平面幾何知識，當OC所在直線與l垂直時，|OD|最小(D為切點)，即圓C的直徑最小，則|OD|，所以圓的半徑為，圓C的面積的最小值為Sr2.(2)依題意得OO1A是直角三角形，|OO1|5，SOO1A|OO1|OA|AO1|，因此|AB|4.答案(1)A(2)4探究提高(1)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式.(2)過圓外一點求解切線長轉化為圓心到圓外點距離，利用勾股定理處理.考法3直線與圓的位置關系【例13】 已知過原點的動直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點A，B.(1)求圓C1的圓心坐標；(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程；(3)是否存在實數k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.解(1)由x2y26x50，得(x3)2y24，所以圓C1的圓心坐標為(3，0).(2)設線段AB的中點M的坐標為(x，y)，當線段AB不在x軸上時，有C1MAB，則kC1MkAB1，即1，整理得y2，又當直線l與圓C1相切時，易求得切點的橫坐標為.所以此時M的軌跡C的方程為y2.當線段AB在x軸上時，點M的坐標為(3，0)，也滿足式子y2.綜上，線段AB的中點M的軌跡C的方程為y2.(3)由(2)知點M的軌跡是以C為圓心，r為半徑的部分圓弧EF(如圖所示，不包括兩端點)，且E，F.又直線L：yk(x4)過定點D(4，0)，當直線L與圓C相切時，由，得k，又kDEkDF，結合如圖可知當k時，直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點.探究提高此類題易失分點有兩處：一是不會適時分類討論，遇到直線問題，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是數形結合求參數的取值范圍時，定要注意“草圖不草”，如本題，畫出軌跡C時，若把端點E，F畫成實心點，借形解題時求出的斜率就會出錯.【訓練1】 (1)(2018全國卷)直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點，則|AB|_.解析由題意知圓的方程為x2(y1)24，所以圓心坐標為(0，1)，半徑為2，則圓心到直線yx1的距離d，所以|AB|22.答案2(2)(2016江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2，4).設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；設點T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數t的取值范圍.解圓M的方程化為標準形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6，7)，半徑r5，由題意，設圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0).則b5.解得b1，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.kOA2，可設l的方程為y2xm，即2xym0.又BCOA2，由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d2，即2，解得m5或m15.直線l的方程為y2x5或y2x15.由，則四邊形AQPT為平行四邊形，又P、Q為圓M上的兩點，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即10，解得22t22.故所求t的范圍為22，22.熱點二圓錐曲線的定義、方程、性質的應用考法1定義與標準方程的應用【例21】 (1)(2015浙江卷)如圖，設拋物線y24x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A. B. C. D.(2)已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析(1)由圖形知，由拋物線的性質知|BF|xB1，|AF|xA1，xB|BF|1，xA|AF|1，.故選A.(2)由題設知，又由橢圓1與雙曲線有公共焦點，易知a2b2c29，由解得a2，b，則雙曲線C的方程為1.答案(1)A(2)B探究提高(1)準確把握圓錐曲線的定義和標準方程及其簡單幾何性質，注意焦點在不同坐標軸上時，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式.(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數法，可結合草圖確定.考法2幾何性質與標準方程的應用【例22】 (1)(2018全國卷)已知F1，F2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F1F2P120，則C的離心率為()A. B. C. D.(2)(2018北京卷)若雙曲線1(a0)的離心率為，則a_.解析(1)由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設|F1F2|2c，PF1F2為等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，點P坐標為(c2ccos 60，2csin 60)，即點P(2c，c).點P在過點A，且斜率為的直線上，解得，e，故選D.(2)由題意可得，得a216，又a0，所以a4，故答案為4.答案(1)D(2)4探究提高解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題，其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、圖形的結構特征、點的坐標的范圍等.【訓練2】 (1)(2018全國卷)已知橢圓C：1的一個焦點為(2，0)，則C的離心率為()A. B. C. D.(2)(2018全國卷)雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()A.yx B.yxC.yx D.yx解析(1)不妨設a0.因為橢圓C的一個焦點為(2，0)，所以焦點在x軸上，且c2，所以a2448，所以a2，所以橢圓C的離心率e.故選C.(2)法一由題意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx，故選A.法二由e，得，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx，故選A.答案(1)C(2)A1.確定圓的方程時，常用到圓的幾個性質：(1)直線與圓相交時應用垂徑定理構成直角三角形(半弦長，弦心距，圓半徑)；(2)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(3)圓心在任一弦的中垂線上；(4)兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(5)圓的對稱性：圓關于圓心成中心對稱，關于任意一條過圓心的直線成軸對稱.2.橢圓、雙曲線的方程形式上可統一為Ax2By21，其中A，B是不等的常數，AB0時，表示焦點在y軸上的橢圓；BA0時，表示焦點在x軸上的橢圓；AB0時表示雙曲線.3.對涉及圓錐曲線上點到焦點距離或焦點弦問題，恰當選用定義解題，會效果明顯，定義中的定值是標準方程的基礎.4.在橢圓焦點三角形PF1F2中，F1PF2，則SPF1F2c|y0|b2tan .5.求雙曲線、橢圓的離心率的方法：方法一：直接求出a，c，計算e；方法二：根據已知條件確定a，b，c的等量關系，然后把b用a，c代換，求.6.通徑：過雙曲線、橢圓、拋物線的焦點垂直于對稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通徑長為，過橢圓焦點的弦中通徑最短；拋物線通徑長是2p，過拋物線焦點的弦中通徑最短.橢圓上點到焦點的最長距離為ac，最短距離為ac.一、選擇題1.(2018全國卷)已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點.若PF1PF2，且PF2F160，則C的離心率為()A.1 B.2C. D.1解析由題設知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由橢圓的定義得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故橢圓C的離心率e1.故選D.答案D2.(2018全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則點(4，0)到C的漸近線的距離為()A. B.2 C. D.2解析法一由離心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以雙曲線C的漸近線方程為yx.由點到直線的距離公式，得點(4，0)到C的漸近線的距離為2.故選D.法二離心率e的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是yx，由點到直線的距離公式得點(4，0)到C的漸近線的距離為2，故選D.答案D3.已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|PN|的最小值為()A.54 B.54C.53 D.53解析由條件可知，兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作點C1關于x軸的對稱點C1(2，3)，則(|PC1|PC2|)min|C1C2|5.所以(|PM|PN|)min54.答案B4.(2017杭州測試)已知橢圓E：1(ab0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交E于A，B兩點.若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析因為直線AB過點F(3，0)和點(1，1)，所以直線AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中點的橫坐標為1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，選D.答案D5.(2018全國卷)直線xy20分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A.2，6 B.4，8C.，3 D.2，3解析圓心(2，0)到直線的距離d2，所以點P到直線的距離d1，3.根據直線的方程可知A，B兩點的坐標分別為(2，0)，(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面積S|AB|d1d1.因為d1，3，所以S2，6，即ABP面積的取值范圍是2，6.答案A6.設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y22px(p0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D.1解析如圖，由題可知F，設P點坐標為，顯然，當y00時，kOM0時，kOM0，要求kOM最大值，不妨設y00.則()，kOM，當且僅當y2p2時等號成立.故選C.答案C二、填空題7.(2018江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線1(a0，b0)的右焦點F(c，0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是_.解析不妨設雙曲線的一條漸近線方程為yx，所以bc，所以b2c2a2c2，得c2a，所以雙曲線的離心率e2.答案28.(2015浙江卷)已知實數x，y滿足x2y21，則|2xy4|6x3y|的最大值是_.解析因為實數x，y滿足x2y21，則2xy40，6x3y0，所以|2xy4|6x3y|42xy6x3y3x4y10.令z3x4y10，則3x4y10z0.當直線3x4y10z0與圓x2y21相切時，z取最值，故1，z5 或z15，|2xy4|6x3y|的最大值為15.答案159.設拋物線y24x的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若FAC120，則圓的方程為_.解析由題意知該圓的半徑為1，設圓心坐標為C(1，a)(a0)，則A(0，a)，又F(1，0)，所以(1，0)，(1，a).由題意知與的夾角為120，得cos 120，解得a.所以圓的方程為(x1)2(y)21.答案(x1)2(y)2110.(2018紹興仿真考試)在平面直角坐標系xOy中，點A(0，3)，直線l：y2x4，設圓C的半徑為1，圓心C在直線l上，若圓C上存在點M，使|MA|2|MO|，則點M的軌跡方程是_，圓心C的橫坐標的取值范圍是_.解析設點M(x，y)，因為|MA|2|MO|，所以2，整理得x2(y1)24，所以點M的軌跡是以P(0，1)為圓心，半徑為2的圓.設圓C的圓心C(t，2t4).由題意可得圓C與圓P至少有一個公共點，所以13，解得t.所以圓心C的橫坐標的取值范圍是.答案x2(y1)2411.(2018寧波調研)過拋物線y22px(p0)的焦點F，且傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點，若弦AB的垂直平分線經過點(0，2)，則p等于_，|AB|_.解析由題意知直線AB的方程為yx，垂直線平分線方程為yx2，聯立上面兩直線方程得y1，x1，即AB的中點坐標為.設A，B則1，p，1p，p.|AB|2p.答案12.(2018北京卷)已知橢圓M：1(ab0)，雙曲線N：1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為_；雙曲線N的