第三章Lyapunov穩定性理論 Lyapunov穩定性的定義Lyapunov穩定性的定理線性系統Lyapunov穩定性分析非線性系統Lyapunov穩定性分析應用實例 在SSO LFO中的應用 1 Lyapunov穩定性的定義 控制系統的首要條件 穩定線性定常系統 Nyquist穩定判據 Routh判據等線性時變與非線性 Lyapunov第二法 無需求出系統的解 但構造Lyapunov函數困難 逐點法與域的方法 1 Lyapunov穩定性的定義 系統狀態方程的解 狀態空間中的一條軌跡 曲線 1 Lyapunov穩定性的定義 系統的平衡狀態 1 Lyapunov穩定性的定義 坐標變換 主要研究系統在平衡 坐標原點 狀態的穩定性 1 Lyapunov穩定性的定義 超球域 歐幾里德范數 n 2 圓 n 3 球 1 Lyapunov穩定性的定義 Lyapunov意義下的穩定性 1 Lyapunov穩定性的定義 Lyapunov意義下的穩定性 1 Lyapunov穩定性的定義 Lyapunov意義下的穩定性 1 Lyapunov穩定性的定義 Lyapunov意義下的穩定性 1 Lyapunov穩定性的定義 Lyapunov意義下的穩定性 1 Lyapunov穩定性的定義 Lyapunov意義下的穩定性 1 Lyapunov穩定性的定義 標量函數的正定性 1 Lyapunov穩定性的定義 判斷以下標量函數的正定性 1 Lyapunov穩定性的定義 Sylvester準則 判斷二次型標量函數的正定性 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov第一法 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov第一法 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov第二法 基本思路 系統能量衰減 系統將達到靜止狀態如果存在漸近穩定平衡點 則在平衡點處衰減到最小Lyapunov函數 能量函數 V X t 或V X 無需求解系統的狀態方程 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 1 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 1 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 1 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 1 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 2 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 2 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 2 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 3 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 3 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 4 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov穩定性定理 4 2 Lyapunov穩定性定理 Lyapunov第二法 能夠找到Lyapunov函數 能量函數 并判斷出系統是穩定的 則系統必為穩定 若判斷出系統是不穩定的 不能就此判斷系統肯定不穩定 2 Lyapunov穩定性定理 3 線性系統的Lyapunov穩定性分析 線性定常系統的Lyapunov穩定性分析 3 線性系統的Lyapunov穩定性分析 確定使系統漸近穩定的K的范圍 4 非線性系統的Lyapunov穩定性分析 線性系統 局部漸近穩定 大范圍漸近穩定 非線性系統 大范圍不是漸近穩定 但在局部可能是漸近穩定 4 非線性系統的Lyapunov穩定性分析 找出原點周圍最大范圍內滿足穩定條件的能量函數 4 非線性系統的Lyapunov穩定性分析 克拉索夫斯基方法變量梯度法Lure型Lyapunov函數 4 非線性系統的Lyapunov穩定性分析 Lure非線性控制系統 即先將系統的非線性部分孤立出來 將其視為余下線性系統的反饋控制 這就使得該非線性系統具有反饋控制系統的形式 尋找使這個反饋控制系統在不確定性約束條件下具有絕對穩定性的充分必要條件的問題就是著名的魯里葉問題 4 非線性系統的Lyapunov穩定性分析 Lure非線性控制系統 逐點法域的方法 4 非線性系統的Lyapunov穩定性分析 4 非線性系統的Lyapunov穩定性分析 5 應用實例 在SSO中的應用 次同步諧振SSR subsynchronousresonance次同步振蕩SSO subsynchronousoscillation 1970和1971年 美國mohave電廠兩臺大型機組的大軸損壞 線路電流中包含30 5Hz的振蕩分量 與軸系二階固有振蕩頻率互補 汽輪發電機帶串聯補償 SSR 軸系扭振各種開關操作 HVDC PSS SVC等都可能引起 SSO我國 1980年代發生了幾次 目前比較嚴重 尤其是TCSC的線路 5 應用實例 在SSO中的應用 SSR SSO 5 應用實例 在SSO中的應用 IEEE工作組第一標準模型 SSR SSO 5 應用實例 在SSO中的應用 SSR SSO IEEE第二標準模型 5 應用實例 在SSO中的應用 Lyapunov第二法 基于魯里葉型Lyapunov函數的電力系統次同步諧振穩定運行域的分析 SSR的IEEE第一基準軸系模型 D1 D6 分別為對應軸系的自阻尼系數 k1 k5 為相鄰兩段軸系間的彈性系數 M1 M6 分別為對應軸系的轉動慣量 軸系運動方程 基于魯里葉型Lyapunov函數的電力系統次同步諧振穩定運行域的分析 式中 i 1 2 3 4 5 6 k0 k6 0 T5 P0sin T6 0 Ti為對應段的輸入轉矩或功率 為對應的轉角和角速度 為工頻 為了求得軸系平衡點 令 只有當時軸系才有穩定運行點 其中 此時軸系存在兩類似孤立的以2 為周期的平衡點 分別為 只有是穩定的 僅需考察在其鄰域內的局部漸進穩定性 令 軸系方程可改寫為 僅當時 才是Lure控制系統 要求 改寫為標準的Lure控制系統 對于Lure系統 可構造如下的Lyaponov函數 成立的充分條件是 由于A矩陣是正半定 故條件 1 成立 條件 8 成立的充分條件是由于 故可取和 以上條件簡化為 只要以上條件成立 則構造的即為Lyapunov函數 5 應用實例 在LFO中的應用 低頻振蕩LFO Lowfrequencyoscillation 由于系統本身的阻尼不足 很小的擾動就可能使一些阻尼很弱的模態激發出來 表現為發電機轉子角之間的搖擺 聯絡線上的功率持續振蕩 5 應用實例 在LFO中的應用 電網規模越來越大區域電網互聯高增益勵磁調節器的廣泛使用 低頻振蕩增多的原因 1996 8 10美國WECC大停電典型的由于低頻振蕩造成的大面積停電事故 我國 隨著大區聯網的出現 低頻振蕩現象也逐漸增多 其嚴重性甚至超過暫態穩定性 成為系統安全穩定運行主要障礙 5 應用實例 在LFO中的應用 10 29 2005年10月29日22 21 22 26 振蕩頻率0 77Hz 鄂西北存在弱阻尼振蕩模式 7 1 2006年7月1日21 00 21 06 振蕩頻率1 1 2Hz 河南500kV系統故障 5 應用實例 在LFO中的應用 特征值法 特征值 特征向量 阻尼比 相關因子 目前電力系統認為 阻尼比大于3 即表明系統阻尼較強 5 應用實例 在LFO中的應用 振蕩衰減到10 所需的周波數為 5 應用實例 在LFO中的應用 阻尼比為3 時振蕩衰減到10 所需的時間 5 應用實例 在SSO LFO中的應用 低頻振蕩LFO Lowfrequencyoscillation 阻尼比為3 時的振蕩衰減曲線 5 應用實例 在SSO LFO中的應用 低頻振蕩LFO Lowfrequencyoscillation 阻尼比為3 時的振蕩衰減曲線 湖北電網的斗孝線功率振蕩現象 田口法的關鍵是正交表和信噪比 RSNR 正交表工具用來確定實驗的方式和次數 正交表可記為Lc ab 全介正交表滿足c abL 表示正交表c 表示總共要做c次實驗a 表示每個因素都有a個水準B 表示最多可考慮b個因素田口法通過將因素的變化視為噪聲 以一種新的指標 信噪比 來表示系統的魯棒性能 SNR越大表示魯棒性能越好 基于田口法與Lyapunov函數的魯棒性PSS參數設計 式中 r為實驗次數 y為品質特性指標 分別適用于品質特性指標越小越好 lowerisbetter LB 一般最好 nominalisbest NB 和越大越好 higherisbetter HB 的不同問題的應用 基于Lyapunov函數的系統穩定性指標 電力系統動態特性可描述為式中 x為狀態向量 u為外部輸入向量 在研究系統小干擾穩定性時 在平衡點通過泰勒級數展開式并略去二階及高階項 這樣線性化后能夠得到式中 考慮沒有外部輸入 此時的系統方程為可見 在進行小干擾穩定性分析時 在運行點附近 電力系統可以近似看作一個線性定常連續系統 采用二次型Lyapunov函數Jop來表征系統在小干擾情況下的穩定性能 式中 x為狀態變量向量 Q為權重矩陣 基于PSS參數優化的特點 比較關注的是與發電機轉速 有關的信息 因此將Q取為一個n階方陣 n為狀態矩陣的階數 其對應狀態方程中發電機轉速變化量 的行和列的對角線上的元素為1 其余元素均為零 該式反映的是整個系統在運行點附近對于發電機轉速變化 的穩定性能指標 因此需要通過最小化Jop來得到最好的穩定品質 根據李雅普諾夫第二法 線性連續定常系統在平衡點x 0為大范圍漸進穩定的充要條件是 對于給定的正定實對稱矩陣Q 必存在正定的實對稱矩陣P 滿足如下李雅普諾夫方程對應的能量函數及其導數為Lyapunov函數Jop可改寫為 由于系統是漸進穩定的 因此x 0 基于線性定常的假設 可進一步簡化為式中 P為一個正定實對稱矩陣 x 0 為狀態變量的初始值向量 基于田口法信噪比的目標函數 PSS參數優化設計模型 PSS