考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 考點(diǎn)5 返回目錄 考綱解讀 考向預(yù)測(cè) 返回目錄 從近兩年的高考試題來(lái)看 橢圓的定義 橢圓的幾何性質(zhì) 直線與橢圓的位置關(guān)系 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的熱點(diǎn) 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 難度屬中等偏高 但試題難度較前幾年大大降低 不再作為 壓軸 題目 客觀題主要考查對(duì)橢圓的基本概念與性質(zhì)的理解及應(yīng)用 主觀題考查較為全面 在考查對(duì)橢圓基本概念與性質(zhì)的理解及應(yīng)用的同時(shí) 又考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 考查學(xué)生分析問(wèn)題 解決問(wèn)題的能力 運(yùn)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想 預(yù)測(cè)2012年高考仍將以橢圓的定義 性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系為主要考點(diǎn) 重點(diǎn)考查運(yùn)算能力與邏輯推理能力 返回目錄 1 橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1 f2的距離的和等于常數(shù) 大于 f1f2 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 這叫做橢圓的焦點(diǎn) 兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的 兩個(gè)定點(diǎn) 焦距 返回目錄 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) a a bb bb a a x軸 y軸 原點(diǎn) 返回目錄 a 0 a 0 0 b 0 b 0 a 0 a b 0 b 0 2a 2b 0 1 返回目錄 一動(dòng)圓與已知圓o1 x 3 2 y2 1外切 與圓o2 x 3 2 y2 81內(nèi)切 試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程 分析 兩圓相切時(shí) 圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān) 據(jù)此可以找到動(dòng)圓圓心滿足的條件 考點(diǎn)1橢圓的定義 返回目錄 解析 兩定圓的圓心和半徑分別為o1 3 0 r1 1 o2 3 0 r2 9 設(shè)動(dòng)圓圓心為m x y 半徑為r 則由題設(shè)條件可得 mo1 1 r mo2 9 r mo1 mo2 10 由橢圓的定義知 m在以o1 o2為焦點(diǎn)的橢圓上 且a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 返回目錄 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)f1 f2的距離之和等于常數(shù)2a 當(dāng)2a f1f2 時(shí) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓 當(dāng)2a f1f2 時(shí) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段f1f2 當(dāng)2a f1f2 時(shí) 軌跡不存在 已知 abc中 a 1 0 c 1 0 且邊a b c成等差數(shù)列 求頂點(diǎn)b的軌跡方程 返回目錄 設(shè)b x y a c 2b bc ba 4 又 a c為定點(diǎn) 由橢圓定義知 動(dòng)點(diǎn)b的軌跡是以a c為焦點(diǎn)的橢圓 設(shè)其方程為 c 1 a 2 b2 3 橢圓方程為 又a b c不共線 y 0 即x 2 所求b點(diǎn)的軌跡方程為 x 2 返回目錄 返回目錄 分析 利用待定系數(shù)法求橢圓方程 考點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸 且長(zhǎng)軸是短軸的3倍 并且過(guò)點(diǎn)p 3 0 求橢圓的方程 2 已知橢圓的中心在原點(diǎn) 以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸 且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)p1 1 p2 求橢圓的方程 解析 1 若焦點(diǎn)在x軸上 設(shè)方程為 a b 0 橢圓過(guò)p 3 0 又2a 3 2b a 3 b 1 方程為 若焦點(diǎn)在y軸上 設(shè)方程為 a b 0 橢圓過(guò)點(diǎn)p 3 0 又2a 3 2b a 9 b 3 方程為 所求橢圓的方程為或 返回目錄 返回目錄 2 設(shè)橢圓方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 橢圓經(jīng)過(guò)p1 p2點(diǎn) p1 p2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程 6m n 1 3m 2n 1 m n 所求橢圓方程為 則 兩式聯(lián)立 解得 返回目錄 運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 即設(shè)法建立關(guān)于a b的方程組 先定型 再定量 若位置不確定時(shí) 考慮是否兩解 有時(shí)為了解題需要 橢圓方程可設(shè)為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 由題目所給條件求出m n即可 返回目錄 1 已知點(diǎn)p在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上 且p到兩焦點(diǎn)的距離分別為5 3 過(guò)p且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 求橢圓的方程 2 中心在原點(diǎn) 對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸 離心率為 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8 返回目錄 解析 1 設(shè)所求的橢圓方程為 a b 0 或 a b 0 由已知條件得2a 5 3 2c 2 52 32 解得a 4 c 2 b2 12 故所求方程為或 2 由已知得 a 42a 8 c 2 b2 16 4 12 焦點(diǎn)可在x軸上 也可在y軸上 所求橢圓方程為或 返回目錄 考點(diǎn)3橢圓的幾何性質(zhì) 已知橢圓 a b 0 的左 右焦點(diǎn)分別為f1 c 0 f2 c 0 若橢圓上存在點(diǎn)p使 則該橢圓的離心率的取值范圍為 返回目錄 分析 利用正弦定理得 pf1 pf2 的關(guān)系 結(jié)合定義可得 pf2 再根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最大 最小值建立不等關(guān)系 解析 在 pf1f2中 由正弦定理知 即 pf1 e pf2 又 p在橢圓上 pf1 pf2 2a 將 代入得 pf2 a c a c 同除以a得1 e 1 e 得 1 e 1 返回目錄 1 求橢圓離心率的題目大致分為兩類 一類利用橢圓定義及性質(zhì)直接得出離心率e的式子 或與橢圓的統(tǒng)一定義有關(guān) 另一類利用條件 題設(shè)條件 獲得關(guān)于a b c的關(guān)系式 最后化歸為關(guān)于a c 或e 的關(guān)系式 關(guān)于a c的齊次方程 再依e 化成關(guān)于e的方程 利用方程思想求離心率 2 橢圓性質(zhì)的挖掘 設(shè)橢圓 1 a b 0 上任意一點(diǎn)p x y 則當(dāng)x 0時(shí) op 有最小值b 這時(shí) p在短軸端點(diǎn)處 當(dāng)x a時(shí) op 有最大值a 這時(shí)p在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處 返回目錄 橢圓上任意一點(diǎn)p x y y 0 與兩焦點(diǎn)f1 c 0 f2 c 0 構(gòu)成的 pf1f2稱為焦點(diǎn)三角形 其周長(zhǎng)為2 a c 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形 其中a是斜邊 a2 b2 c2 過(guò)焦點(diǎn)f1的弦ab 則 abf2的周長(zhǎng)為4a 3 離心率e 在求法中要有整體求值思想或變形為 返回目錄 已知f1 f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) p為橢圓上一點(diǎn) f1pf2 60 1 求橢圓離心率的范圍 2 求證 f1pf2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān) 設(shè)橢圓方程為 a b 0 pf1 m pf2 n 在 pf1f2中 由余弦定理可知 4c2 m2 n2 2mncos60 m n 2a m2 n2 m n 2 2mn 4a2 2mn 4c2 4a2 3mn 即3mn 4a2 4c2 又mn a2 當(dāng)且僅當(dāng)m n時(shí)取等號(hào) 4a2 4c2 3a2 即e e的取值范圍是 1 返回目錄 解析 返回目錄 2 證明 由 1 知mn b2 mnsin60 b2 即 pf1f2的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān) 返回目錄 考點(diǎn)4直線與橢圓關(guān)系的應(yīng)用 2010年高考課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè)f1 f2分別是橢圓e 工程 0 b 1 的左 右焦點(diǎn) 過(guò)f1的直線l與e相交于a b兩點(diǎn) 且 af2 ab bf2 成等差數(shù)列 1 求 ab 2 若直線l的斜率為1 求b的值 分析 根據(jù)橢圓定義求 ab 將直線l的方程代入橢圓方程 由 ab 求b 返回目錄 解析 1 由橢圓定義知 af2 ab bf2 4 又2 ab af2 bf2 得 ab 2 設(shè)直線l的方程為y x c 其中c 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 則a b兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組y x cx2 1 返回目錄 化簡(jiǎn)得 1 b2 x2 2cx 1 2b2 0 則x1 x2 x1x2 因?yàn)橹本€ab的斜率為1 所以 ab x2 x1 即 x2 x1 則 x1 x2 2 4x1x2 解得b b 不合題意 故舍去 返回目錄 1 直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消元后得到一元二次方程 然后通過(guò)判別式 來(lái)判斷直線和橢圓相交 相切或相離 2 消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo) 通常是寫(xiě)成兩根之和與兩根之積的形式 這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ) 3 直線y kx b k 0 與圓錐曲線相交于a x1 y1 b x2 y2 兩點(diǎn) 則 ab x1 x2 y1 y2 返回目錄 2010年高考遼寧卷 設(shè)橢圓c a b 0 的右焦點(diǎn)為f 過(guò)f的直線l與橢圓c相交于a b兩點(diǎn) 直線l的傾斜角為60 af 2fb 1 求橢圓c的離心率 2 如果 ab 求橢圓c的方程 返回目錄 解析 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 由直線l的傾斜角為60 及af 2fb知y10 1 直線l的方程為y 3 x c 其中 聯(lián)立y x c 得 3a2 b2 y2 2b2cy 3b4 0 解得 返回目錄 因?yàn)閍f 2fb 所以 y1 2y2 即得離心率e 2 因?yàn)?ab y2 y1 所以 由得b a 所以a 得a 3 b 所以橢圓c的方程為 返回目錄 考點(diǎn)5橢圓方程與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 2009年高考廣東卷 已知橢圓g的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) 長(zhǎng)軸在x軸上 離心率為 兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1和f2 橢圓g上一點(diǎn)到f1和f2的距離之和為12 圓ck x2 y2 2kx 4y 21 0 k r 的圓心為點(diǎn)ak 1 求橢圓g的方程 2 求 akf1f2的面積 3 問(wèn)是否存在圓ck包圍橢圓g 請(qǐng)說(shuō)明理由 返回目錄 分析 由e 2a 12 求a b 方程可求 akf1f2的面積代入s ah 只要橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)在圓ck內(nèi) 則圓ck包圍橢圓g 解析 1 設(shè)橢圓g的方程為 a b 0 半焦距為c 則2a 12 解得c 3 所以b2 a2 c2 36 27 9 所以所求橢圓g的方程為 a 6 返回目錄 2 點(diǎn)ak的坐標(biāo)為 k 2 f1f2 2 6 2 3 若k 0 由62 02 12k 0 21 15 12k 0 可知右端點(diǎn) 6 0 在圓ck外 若k0 可知左端 6 0 在圓ck外 所以不論k為何值 圓ck都不能包圍橢圓g 返回目錄 探索性問(wèn)題主要考查學(xué)生探索解題途徑 解決非傳統(tǒng)完備問(wèn)題的能力 是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn) 將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的 要求學(xué)生自己觀察 分析 創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的方法解決問(wèn)題 它能很好地考查數(shù)學(xué)思維能力以及科學(xué)的探索精神 因此越來(lái)越受到高考命題者的青睞 返回目錄 已知f1 f2是橢圓 a b 0 的左 右焦點(diǎn) p是橢圓上一點(diǎn) 且 f1pf2 90 求橢圓離心率的最小值 返回目錄 解析 解法一 如圖所示 f1pf2 90 f1bf2 90 obf2 45 e sin obf2 sin45 橢圓離心率的最小值為 返回目錄 解法二 利用余弦定理 f1bf2 90 cos f1bf2 0 即a2 2c2 e 則橢圓離心率的最小值為 解法三 利用基本不等式 設(shè) pf1 m pf2 n m2 n2 4c2 又2a m n 4a2 m2 n2 2mn 2 m2 n2 8c2 即a2 2c2 e 則橢圓離心率的最小值為 返回目錄 1 橢圓上任意一點(diǎn)m到焦點(diǎn)f的所有距離中 長(zhǎng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離 且最大距離為a c 最小距離為a c 2 過(guò)焦點(diǎn)弦的所有弦長(zhǎng)中