考點1 考點2 考點3 考點4 考點5 返回目錄 考綱解讀 考向預測 返回目錄 從近兩年的高考試題來看 橢圓的定義 橢圓的幾何性質 直線與橢圓的位置關系 求橢圓的標準方程是高考的熱點 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 難度屬中等偏高 但試題難度較前幾年大大降低 不再作為 壓軸 題目 客觀題主要考查對橢圓的基本概念與性質的理解及應用 主觀題考查較為全面 在考查對橢圓基本概念與性質的理解及應用的同時 又考查直線與圓錐曲線的位置關系 考查學生分析問題 解決問題的能力 運算能力以及數形結合思想 預測2012年高考仍將以橢圓的定義 性質和直線與橢圓的位置關系為主要考點 重點考查運算能力與邏輯推理能力 返回目錄 1 橢圓的定義平面內與兩個定點f1 f2的距離的和等于常數 大于 f1f2 的點的軌跡叫做橢圓 這叫做橢圓的焦點 兩焦點的距離叫做橢圓的 兩個定點 焦距 返回目錄 2 橢圓的標準方程和幾何性質 a a bb bb a a x軸 y軸 原點 返回目錄 a 0 a 0 0 b 0 b 0 a 0 a b 0 b 0 2a 2b 0 1 返回目錄 一動圓與已知圓o1 x 3 2 y2 1外切 與圓o2 x 3 2 y2 81內切 試求動圓圓心的軌跡方程 分析 兩圓相切時 圓心之間的距離與兩圓的半徑有關 據此可以找到動圓圓心滿足的條件 考點1橢圓的定義 返回目錄 解析 兩定圓的圓心和半徑分別為o1 3 0 r1 1 o2 3 0 r2 9 設動圓圓心為m x y 半徑為r 則由題設條件可得 mo1 1 r mo2 9 r mo1 mo2 10 由橢圓的定義知 m在以o1 o2為焦點的橢圓上 且a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 故動圓圓心的軌跡方程為 返回目錄 平面內一動點與兩個定點f1 f2的距離之和等于常數2a 當2a f1f2 時 動點的軌跡是橢圓 當2a f1f2 時 動點的軌跡是線段f1f2 當2a f1f2 時 軌跡不存在 已知 abc中 a 1 0 c 1 0 且邊a b c成等差數列 求頂點b的軌跡方程 返回目錄 設b x y a c 2b bc ba 4 又 a c為定點 由橢圓定義知 動點b的軌跡是以a c為焦點的橢圓 設其方程為 c 1 a 2 b2 3 橢圓方程為 又a b c不共線 y 0 即x 2 所求b點的軌跡方程為 x 2 返回目錄 返回目錄 分析 利用待定系數法求橢圓方程 考點2橢圓的標準方程 1 已知橢圓以坐標軸為對稱軸 且長軸是短軸的3倍 并且過點p 3 0 求橢圓的方程 2 已知橢圓的中心在原點 以坐標軸為對稱軸 且經過兩點p1 1 p2 求橢圓的方程 解析 1 若焦點在x軸上 設方程為 a b 0 橢圓過p 3 0 又2a 3 2b a 3 b 1 方程為 若焦點在y軸上 設方程為 a b 0 橢圓過點p 3 0 又2a 3 2b a 9 b 3 方程為 所求橢圓的方程為或 返回目錄 返回目錄 2 設橢圓方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 橢圓經過p1 p2點 p1 p2點坐標適合橢圓方程 6m n 1 3m 2n 1 m n 所求橢圓方程為 則 兩式聯立 解得 返回目錄 運用待定系數法求橢圓標準方程 即設法建立關于a b的方程組 先定型 再定量 若位置不確定時 考慮是否兩解 有時為了解題需要 橢圓方程可設為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 由題目所給條件求出m n即可 返回目錄 1 已知點p在以坐標軸為對稱軸的橢圓上 且p到兩焦點的距離分別為5 3 過p且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點 求橢圓的方程 2 中心在原點 對稱軸為坐標軸 離心率為 長軸長為8 返回目錄 解析 1 設所求的橢圓方程為 a b 0 或 a b 0 由已知條件得2a 5 3 2c 2 52 32 解得a 4 c 2 b2 12 故所求方程為或 2 由已知得 a 42a 8 c 2 b2 16 4 12 焦點可在x軸上 也可在y軸上 所求橢圓方程為或 返回目錄 考點3橢圓的幾何性質 已知橢圓 a b 0 的左 右焦點分別為f1 c 0 f2 c 0 若橢圓上存在點p使 則該橢圓的離心率的取值范圍為 返回目錄 分析 利用正弦定理得 pf1 pf2 的關系 結合定義可得 pf2 再根據焦點弦長的最大 最小值建立不等關系 解析 在 pf1f2中 由正弦定理知 即 pf1 e pf2 又 p在橢圓上 pf1 pf2 2a 將 代入得 pf2 a c a c 同除以a得1 e 1 e 得 1 e 1 返回目錄 1 求橢圓離心率的題目大致分為兩類 一類利用橢圓定義及性質直接得出離心率e的式子 或與橢圓的統一定義有關 另一類利用條件 題設條件 獲得關于a b c的關系式 最后化歸為關于a c 或e 的關系式 關于a c的齊次方程 再依e 化成關于e的方程 利用方程思想求離心率 2 橢圓性質的挖掘 設橢圓 1 a b 0 上任意一點p x y 則當x 0時 op 有最小值b 這時 p在短軸端點處 當x a時 op 有最大值a 這時p在長軸端點處 返回目錄 橢圓上任意一點p x y y 0 與兩焦點f1 c 0 f2 c 0 構成的 pf1f2稱為焦點三角形 其周長為2 a c 橢圓的一個焦點 中心和短軸的一個端點構成直角三角形 其中a是斜邊 a2 b2 c2 過焦點f1的弦ab 則 abf2的周長為4a 3 離心率e 在求法中要有整體求值思想或變形為 返回目錄 已知f1 f2是橢圓的兩個焦點 p為橢圓上一點 f1pf2 60 1 求橢圓離心率的范圍 2 求證 f1pf2的面積只與橢圓的短軸長有關 設橢圓方程為 a b 0 pf1 m pf2 n 在 pf1f2中 由余弦定理可知 4c2 m2 n2 2mncos60 m n 2a m2 n2 m n 2 2mn 4a2 2mn 4c2 4a2 3mn 即3mn 4a2 4c2 又mn a2 當且僅當m n時取等號 4a2 4c2 3a2 即e e的取值范圍是 1 返回目錄 解析 返回目錄 2 證明 由 1 知mn b2 mnsin60 b2 即 pf1f2的面積只與短軸長有關 返回目錄 考點4直線與橢圓關系的應用 2010年高考課標全國卷 設f1 f2分別是橢圓e 工程 0 b 1 的左 右焦點 過f1的直線l與e相交于a b兩點 且 af2 ab bf2 成等差數列 1 求 ab 2 若直線l的斜率為1 求b的值 分析 根據橢圓定義求 ab 將直線l的方程代入橢圓方程 由 ab 求b 返回目錄 解析 1 由橢圓定義知 af2 ab bf2 4 又2 ab af2 bf2 得 ab 2 設直線l的方程為y x c 其中c 設a x1 y1 b x2 y2 則a b兩點的坐標滿足方程組y x cx2 1 返回目錄 化簡得 1 b2 x2 2cx 1 2b2 0 則x1 x2 x1x2 因為直線ab的斜率為1 所以 ab x2 x1 即 x2 x1 則 x1 x2 2 4x1x2 解得b b 不合題意 故舍去 返回目錄 1 直線方程與橢圓方程聯立 消元后得到一元二次方程 然后通過判別式 來判斷直線和橢圓相交 相切或相離 2 消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標 通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式 這是進一步解題的基礎 3 直線y kx b k 0 與圓錐曲線相交于a x1 y1 b x2 y2 兩點 則 ab x1 x2 y1 y2 返回目錄 2010年高考遼寧卷 設橢圓c a b 0 的右焦點為f 過f的直線l與橢圓c相交于a b兩點 直線l的傾斜角為60 af 2fb 1 求橢圓c的離心率 2 如果 ab 求橢圓c的方程 返回目錄 解析 設a x1 y1 b x2 y2 由直線l的傾斜角為60 及af 2fb知y10 1 直線l的方程為y 3 x c 其中 聯立y x c 得 3a2 b2 y2 2b2cy 3b4 0 解得 返回目錄 因為af 2fb 所以 y1 2y2 即得離心率e 2 因為 ab y2 y1 所以 由得b a 所以a 得a 3 b 所以橢圓c的方程為 返回目錄 考點5橢圓方程與性質的綜合應用 2009年高考廣東卷 已知橢圓g的中心在坐標原點 長軸在x軸上 離心率為 兩個焦點分別為f1和f2 橢圓g上一點到f1和f2的距離之和為12 圓ck x2 y2 2kx 4y 21 0 k r 的圓心為點ak 1 求橢圓g的方程 2 求 akf1f2的面積 3 問是否存在圓ck包圍橢圓g 請說明理由 返回目錄 分析 由e 2a 12 求a b 方程可求 akf1f2的面積代入s ah 只要橢圓的長軸端點在圓ck內 則圓ck包圍橢圓g 解析 1 設橢圓g的方程為 a b 0 半焦距為c 則2a 12 解得c 3 所以b2 a2 c2 36 27 9 所以所求橢圓g的方程為 a 6 返回目錄 2 點ak的坐標為 k 2 f1f2 2 6 2 3 若k 0 由62 02 12k 0 21 15 12k 0 可知右端點 6 0 在圓ck外 若k0 可知左端 6 0 在圓ck外 所以不論k為何值 圓ck都不能包圍橢圓g 返回目錄 探索性問題主要考查學生探索解題途徑 解決非傳統完備問題的能力 是命題者根據學科特點 將數學知識有機結合并賦予新的情境創設而成的 要求學生自己觀察 分析 創造性地運用所學知識的方法解決問題 它能很好地考查數學思維能力以及科學的探索精神 因此越來越受到高考命題者的青睞 返回目錄 已知f1 f2是橢圓 a b 0 的左 右焦點 p是橢圓上一點 且 f1pf2 90 求橢圓離心率的最小值 返回目錄 解析 解法一 如圖所示 f1pf2 90 f1bf2 90 obf2 45 e sin obf2 sin45 橢圓離心率的最小值為 返回目錄 解法二 利用余弦定理 f1bf2 90 cos f1bf2 0 即a2 2c2 e 則橢圓離心率的最小值為 解法三 利用基本不等式 設 pf1 m pf2 n m2 n2 4c2 又2a m n 4a2 m2 n2 2mn 2 m2 n2 8c2 即a2 2c2 e 則橢圓離心率的最小值為 返回目錄 1 橢圓上任意一點m到焦點f的所有距離中 長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離 且最大距離為a c 最小距離為a c 2 過焦點弦的所有弦長中