第五章第二節 矩陣的相似與對角化 相似矩陣的定義及性質 定義 設都是階矩陣 若存在可逆矩陣 使得 則稱矩陣是矩陣的相似矩陣 對進行運算稱為對進行相似變換 可逆矩陣稱為把矩陣變成矩陣的相似變換矩陣 性質1矩陣的相似關系是一種等價關系 P可逆 推論 若矩陣與對角陣相似 則是的個特征值 性質3 性質2 3的逆均不真 利用對角矩陣計算矩陣的冪和矩陣多項式 我們將A化為與之相似的對角形矩陣 它的高次冪就容易表出 利用上述結論可以很方便地計算矩陣A的多項式 證明 用相似變換將方陣對角化 定理得證 注意 如果的特征方程有重根 此時不一定有個線性無關的特征向量 從而矩陣不一定能對角化 但如果能找到個線性無關的特征向量 就能對角化 定理2方陣A的不同特征值所對應的特征向量是線性無關的 證明設 1 2 m是A的m個不同的特征值 1 2 m依次是與之對應的特征向量 現要證 1 2 m線性無關 觀察方程組x1 1 x2 2 xm m 0 等式兩邊左乘A A x1 1 x2 2 xm m A0即 1x1 1 2x2 2 mxm m 0 x1a1 x2a2 xmam 0 即l1x1a1 l2x2a2 lmxmam 0 一次次地左乘A 得 把上面m個等式合寫成矩陣形式 即 上式左端第二個矩陣的行列式是范德蒙行列式 由于li各不相同 故此行列式不等于零 因而此矩陣可逆 在此等式兩邊右乘此矩陣的逆矩陣 有 x1a1 x2a2 xmam 0 0 0 即xjaj 0j 1 m 由于aj 0 故xj 0所以向量組a1 a2 am線性無關 例1設矩陣 求 1 與A相似的對角矩陣 2 相似變換矩陣P 3 A100 因為 解 所以A有兩個特征值 1 顯然 A有三個線性無關的特征向量 所以A與對角矩陣 相似 2 以作為列向量 得矩陣 不唯一 排列順序可以不同 因為 則 3 依此類推 得知 又由 例2已知矩陣 1 求x與y 2 求一個滿足的可逆矩陣P 考慮從著手求參數 有時可以從跡相等入手 即 由上式得 解 因A與B相似 故 比較等式兩邊 的系數 得 x 0y 1 此時 2 由B知A的特征值為2 1 且分別可求得A的特征向量 以為列向量作矩陣則P可逆 且 由特征值 特征向量反求矩陣 例3 已知方陣的特征值是 相應的特征向量是 解 因為特征向量是3維向量 所以矩陣是3階方陣 因為有3個不同的特征值 所以可以對角化 即存在可逆矩陣 使得 其中 求得 因為復根必成對共軛出現 故l1與l2不可能是復的 故l1與l2為實根 由l1l2 0 知l1 l2 于是由定理1推論知 二階矩陣有二個單根 則必可對角化 例4設二階矩陣A A 0 證明 A必可對角化 證明 A 1 2 0 定理4方陣A的k重特征值 0所對應的特征向量至多有k個 定理5方陣A可對角化的充要條件是 A的ki重特征值 i恰好有ki個線性無關的特征向量 推論方陣A可對角化的充要條件是 A的ki重特征值 i矩陣 iE A的秩恰好是n ki 1 兩矩陣等價必相似嗎 反之呢 2 若n階矩陣A B相似 則相似嗎 思考題 2 相似